Solución al problema de los cinco sombreros: Estudio de variables

Damas, caballeros...
... hem... esta es una situación un poco complicada de explicar, pero creo que se puede enseñar (utilizando la primera acepción del término, que indicaría algo así como "mostrar"). Creo que lo primordial es pedir una sentida disculpa a todos vosotros, amigos y amigas del salón del estudio, pero lo cierto es que esto es una lección para no confiarse demasiado en la memoria, que puede fallar, y tratar de llevar una agenda (o, al menos, de estar más pendiente de la publicación del blog). Creo que comienzo a liarme con los estudios, amigos, y por eso me he confundido, creyendo que hoy a las once hacía el plazo de una semana desde la publicación de nuestro anterior problema. Mal calculado, eso es todo... El problema es que también tenía la ilusoria idea de que ya había dejado todo perfectamente programado, cuando de repente caigo en la cuenta de que no era así la cosa. Ruego mil excusas por semejante acto de imprudencia e irresponsabilidad (y otra más porque, en cierto sentido, no he cumplido una promesa levemente vinculante que os había hecho). Desearía que esto se conssiderara como una lección de que todo el mundo puede fallar muchas veces, y tras esta nueva introducción... cito (y modifico) la primera.

Ha pasado una semana desde la publicación del problema de los cinco sombreros, amigos y amigas del salón del estudio; como ya lo sabéis, esto quiere decir que ha llegado el momento de publicar la solución a nuestro particular enigma de la semana pasada.

Ha pasado una semana, un día y ocho horas y media desde que se publicó el problema de los cinco sombreros, amigas y amigos del salón del estudio. Esto quiere decir que ha llegado la hora (llegó y se pasó, mejor dicho) de publicar la solución a nuestro particular problema de la semana pasada (pasada pasada).

En el capítulo anterior os decía que había encontrado ciertas dificultades con el siguiente problema. Y quisiera compartir mis razonamientos con vosotros, porque si bien no son demasiado aplicables, es un buen ejemplo de cómo analizar profundamente un problema para entender causa y efecto, razón de ser de las cosas... Pero antes, creo justo que os transcriba textualmente la respuesta del libro, y quiero que tengáis esto bien presente, que algo se diga en un libro no es justificativo para decir que ese algo está bien. Eso va en contra de la idea del conocimiento. Cuando percibimos el conocimiento no debemos ser dóciles, me temo. Al contrario, la tarea del alumno o del estudiante es ser sumo inquisidor con lo que está leyendo o aprendiendo: "¿Esto tiene lógica? ¿Hay causalidad en lo que se dice aquí? Vayamos a los conceptos primitivos, analicemos a fondo lo que dice aquí, no dejemos que la fuerza de la autoridad o de la inercia nos haga estudiar cualquier cosa". Es imprecindible que todo se perciba con una actitud crítica y de cuestionamiento, que no todo lo que aparezca en el libro de ciencia sea la verdad absoluta, porque puede haber errores, porque no es correcto dejar de pensar sobre lo que se lee, porque, en definitiva, si no se razona ni se interpela con la lógica lo que se estudia, estamos generando un montón de futuros hombres que serán fácilmente guiados de las pestañas.

He aquí la respuesta, y quiero que a) recordéis que no es la verdad absoluta (y no por no serlo Adrián Paenza o el alumno que le envió el problema dejan de ser los genios que son), y b) intentad encontrar alguna forma de mejorar esta solución antes de que yo siga avanzando.

El señor C tenía un sombrero blanco, y eso fue lo que dijo.
¿Cómo lo supo? C hizo el siguiente razonamiento.
Si él y B tuvieran sombreros negros, A habría deducido que
tenía puesto un sombrero blanco, ya que puede ver los sombreros de los otros dos. Pero A no dijo nada. O, mejor dicho, sí dijo
algo: que no sabía qué sombrero tenía. Eso implicaba que él estaba
viendo que o bien B o bien C tenían un sombrero blanco.
Cuando le tocó el turno a B, él sólo podía ver el sombrero
de C, pero tenía la misma información que C: B sabía que o bien
él o bien C tenían un sombrero blanco. Si hubiera visto que C
tenía un sombrero negro, B habría podido decir que su propio
sombrero era blanco. Pero como no dijo nada, o mejor dicho, dijo
que no podía decirlo, entonces le tocó el turno a C.
Como B no pudo decidir, quería decir que C no tenía el sombrero
negro. Por lo tanto, a C le quedó el camino allanado, y sin
poder ver ningún sombrero, pudo determinar que él tenía uno
blanco. Y acertó.

Adrián Paenza añade un comentario a esta solución...

... 16 En Matemática… ¿Estás ahí? publiqué (pp. 162 y 164) varios problemas
sobre sombreros. Varios amigos me enviaron nuevos. Elegí éste que me mandó
Gustavo Stolovitzky. Gustavo es licenciado en Física en la UBA, doctor en Física
en Yale y ahora trabaja en los Estados Unidos, más precisamente en IBM, en el
departamento de Genómica funcional y sistemas biológicos. Fue, sin ninguna duda,
uno de los alumnos de quienes más aprendí en mi trayectoria como docente, además
de ser una persona realmente deliciosa...

¿Véis en dónde está fallando la respuesta que nos da el señor Paenza? Muchos de vosotros habéis seguido el mismo razonamiento que yo seguí, que está mucho más completo que el aquí expuesto, y quizás no haya sido justo en plantear la proposición del problemilla que generaba esto... (sí, podrían haberse visto los sombreros al entrar, Fantasmas, pero no era el caso :P Con todo, algún día me gustaría que me contaras con más tranquilidad el problema de los cuatro sombreros.

Todos habéis expuesto una cadena de razonamiento mucho más lógica que la que aquí se propone. Paso a reproducirla...

1. A no puede decir cuál es el color de su sombrero. Esto nos lleva a que B y C piensen cómo tendrían que tener los sombreros para que A haya dicho eso. Ambos saben que no pueden tener ambos un sombrero negro, pues entonces, y por descartes, A habría sabido de qué color era su sombrero de forma inmediata. Ambos piensan en las siguientes posibilidades o combinaciones, que luego C analizará tras la declaración de B:.
   
   
   
   • O bien B y C tenían sombreros blancos,
     
   • o bien B tenía uno negro y C uno blanco,
     
   • o bien B tenía el blanco y C el nnegro.
     
   
   
2. Luego B dice que él tampoco puede saber de que color tiene el sombrero, por lo que C deduce que (y siempre estableciendo probabilidades)...
   
   
   
   • Si él y B tuvieran sombreros blancos, B no podría saber cuál es su color.
     
     
     
     1. B sabe que en su cabeza puede haber otro sombrero blanco o bien uno negro, dada a la distribución de variables anterior.
        
     
     
   • Si él tuviera el sombrero negro y B el blanco, B podría saber cuál es su sombrero.
     
     
     
     1. C piensa: "B sabe cuál tiene que ser la distribución necesaria para que A no pudiera saber cuál era su sombrero. Uno de los dos tiene que tener el sombrero negro, no podemos tenerlo los dos. Si yo tuviese el negro, B sabría de forma instantánea que él tiene el blanco".
        
     
     
   • Si él tiene el sombrero blanco y B el negro, B sigue sin poder saber cuál es el color de su sombrero.
     
     
     
     1. Se aplica aquí el razonamiento del punto 2.1. Si C tiene el sombrero blanco, B queda sujeto a la posibilidad de que el que esté en su cabeza sea otro blanco o uno negro.
        
     
     
   
   
3. Luego para que ni A ni B sepan cuál es el color de sus sombreros, C siempre tiene que tener el sombrero blanco.
   

El problema con la respuesta de Paenza es que se saltea una cadena de pensamiento... que luego tiene que usar para dar el siguiente paso. Aquí he expuesto todas, o todas las que a mí me parecían que no caían en la redundancia absoluta, para que se entienda cuál es la diferencia. Cabe destacar, sin embargo, que cuando pensaba en este particular, comencé a preguntarme de qué forma se podría hacer encajar la solución incompleta (Paenza no contempla la posibilidad de que los dos tengan un sombrero blanco, sólo se queda en que B tiene el negro y C tiene el blanco, por ejemplo), y llegué a proponerme algunos nuevos planteos del problema... pero que derivaban a soluciones muy distintas. Creo que encontré formas de embellecer el problema, pero ya no sería lo mismo que antaño. Caí en la cuenta de que, para no alterar el enunciado original, podía agregar los razonamientos y las posibilidades que a Adrián Paenza se le había olvidado poner en la respuesta (o las había puesto de formas muy implícitas, las había salteado o las había ignorado por completo). Es por eso que hice la lista de más arriba.

En todo caso, veo que estos problemas os han entrenado bien y habéis expuesto todos una solución con todos los pasos correctamente aplicados. ¡Buen trabajo a todos los que lo han pensado! A los que lo pensaron y no lo resolvieron en sus casas, ¡felicitaciones, el primer paso y el más importante es emprender el camino del pensar!

Cerramos, por fin, este simpático problemilla de lógica lateral. Damas, caballeros, felicitaciones y muchas gracias (por la paciencia que a veces me tenéis, por el ánimo que le dáis a estos problemas, por lo feliz que me hacéis sentir cuando veo que aún hay sitio en este mundo para la lógica lateral y la ciencia pura).

¡Matemática a la carga!

El problema de los cinco sombreros

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Tenía mis serias dudas al momento de publicar este simpático problema, pero tras mucho reflexionar y darle vueltas en la mente, llegué a la conclusión de que, si bien con ciertas licencias, el problema puede resolverse con lógica lateral aplicada. Si bien el libro, en la parte de la solución, no recoge la posibilidad que yo añadiré en la solución, creo que está acertado, y que, modificar el problema, cosa que se me pasó por la cabeza cuando encontré ciertos detalles que no cazaban en la solución de Paenza, sería arruinar mucho el problema en lugar de embellecerlo o mejorarlo. Es menester que antes ustedes intenten resolverlo (o lo que es lo mismo, pensarlo largamente), y luego les diré las vueltecillas que me hicieron dar estos sombreros.

Tiene solución, aunque os recomiendo que le dediquéis mucho más tiempo del que soléis dedicarle a los demás problemas, a ver si lográis encontrar el mismo problemilla que yo encontré al resolverlo; si no es así, ya lo hablaremos en la entrada de la solución. ¿Listos?

En una habitación cerrada se ha hecho entrar a tres hombres. Antes de entrar debemos saber que en algún lugar indeterminado que está fuera del cuarto había cinco sombreros: tres blancos y dos negros. Antes de entrar les fue colocado un sombrero a cada uno, sin que los hombres conocieran el color de su sombrero.
A fines prácticos, comenzaremos a llamar a los hombres A, B y C. Ellos no saben cuál es el sombrero que tienen. Los tres hombres están ubicados de tal manera que A puede ver los sombreros de B y de C, B sólo puede ver el sombrero de C, y C no puede ver ningún sombrero.
Al salir de la habitación se les pregunta en orden (A, B y C) qué sombrero tienen puesto. Estas son las declaraciones de los señores A, B y C.
El señor A dijo que no podía determinar qué sombrero tenía. El señor B también dijo que no podía decir de qué color era su sombrero. Entonces el señor C dijo: "Entonces yo sé de qué color tengo mi sombrero.

¿Qué dijo? ¿Cómo podía saberlo?

P.S. Estad atentos. Recordad que C habló sólo después de que hablaron los demás. Pensad y decidme qué sacáis en claro.

El problema de las diez bolsas con las diez monedas

No me tiréis tomates, es que me gustan demasiado las monedas. Sin embargo, y a pesar de que muchos puedan recordar el segundo problema del salón del estudio (el problema de las ocho monedas y las dos pesadas), este pequeño enigma no es semejante en escencia. En principio, el anterior problema sólo tenía ocho monedas, y este tiene cien! En segundo lugar, el otro problema se basaba en una balanza de dos platillos, como las que había antes en las verdulerías, y este problema, por el contrario, se resuelve con una balanza digital (de esas que tienen numeritos verdes o amarillos). En última instancia, el anterior problema se resolvía con dos pesadas, mientras que este problema, y a pesar de tener noventa y dos monedas más, se ha de resolver con una sola pesada.

Creo que el beneficio de resolver o pensar este tipo de problemas es que te ayuda para cuando en una situación límite (con recursos limitados o escasos) necesitas encontrar una solución práctica y aplicable y que también sea sencilla. Como decía Albert Einstein, en tiempos de crisis la imaginación suele ser tan importenta como los conocimientos. Yo digo que, aplicado a este problema en específico, la imaginación será el único medio por el cual llegar a la solución, y los conocimientos (si bien estarán allí) quedarán opacados.

Como ayuda que os daré para resolver el enigma, sólo debéis leerlo atentamente, ajustaros a los datos que os ofresco y de allí usar la imaginación. La respuesta es muy sencilla, no es nada compleja, pero sí requiere concentración e imaginación (a mí me llevó cinco días encontrarla). Por lo demás, sobre decir que todo lo que necesitáis para resolverlo está allí. ¿Listos?

Se tienen diez bolsitas de tela numeradas del uno al diez (1, 2, 3...). En cada bolsita hay diez (10) monedas que en apariencia son todas iguales. Cada una de las monedas pesan diez gramos (10 g). Pero hay una excepción.
He dicho "en apariencia" porque en una de estas bolsitas hay monedas que pesan cada una un gramo más que el resto (11 gramos cada moneda). Luego en esta única bolsita tenemos diez monedas que pesan once gramos cada una. Esto es lo único que sabemos, pero no sabemos cuál es esa bolsita.
Tenemos una balanza digital que mide el peso exacto (o al menos todo lo exacto que necesitamos para este problema), de esas que tienen numeritos verdes y amarillos; pero sólo podemos usarla una vez (sólo podemos realizar una sola pesada, para que no queden dudas ni contradicciones).
La pregunta es "¿cómo saber en qué bolsa están las diez monedas que pesan once gramos con una sola pesada de esa balanza digital?". En otras palabras, el problema consiste en saber qué hacer, con una sol pesada, para determinar la bolsa en donde están las monedas que pesan diferente. La belleza de este problema está en pensar con creatividad.

¿Qué os decía, eh?

Siete días, damas y caballeros. Terminado ese plazo, como es costumbre, se publicará la solución. Como decíamos en la anterior entrada de matemática, nadie será menos o más inteligente por saber resolverlo o no. Lo importante está en haberlo pensado. Estos problemas sólo tienen por objetivo aprender a pensar. Y ya sabéis, si al leer el enunciado os surge alguna duda o contradicción con los datos (ya sea por un error de sintáxis o por no haberme explicado con claridad o por cualquier otro motivo), no dudéis en preguntarlo en la entrada para aclararlo con la mayor celeridad posible; recordad que si no tenéis en claro los datos del problema, será muy difícil pensarlo. Es preferible dejar todo en claro.

A pensar se ha dicho, señores. ¿Qué se les ocurre?

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

Podríamos llamarle "tercera temporada"

Damas y caballeros...
... como ya anunciaba más abajo, el salón del estudio volvería a abrir sus puertas al conocimiento formal en principios de septiembre. El caso de la La Sociedad del Misterio me ha mantenido un tanto alejado del blog, pero ya estamos de vuelta y tengo algunos lindos enigmas para compartir con todos vosotros. Pero antes de esos enigmas, creo yo, convendría arrancar esta, si lo deseáis, tercera temporada de matemáticas en el salón del estudio, como siempre lo hemos hecho. Recordaréis que la tercera entrada del blog estuvo dedicada a hablar de matemáticas, y desde entonces, hasta el mes de diciembre de dos mil nueve, se publicaron regular e irregularmente (todo hay que decirlo) problemas de matemáticas y entradas alusivas a ello. En diciembre todo el blog respiró de matemáticas hasta abril de este año, y desde entonces se publicaron un par de problemas hasta junio, mes en que el blog entró, por así decirle, en una especie de stand by (exámenes y pereza general).

Hace poco han terminado mis vacaciones (¡quiero más!) lo que indica que es menester comenzar a darle vida a este blog con las matemáticas. Agradezco aquí a Jengibre, porque con sus anuncios y sus divertidísimas entradas sobre Cruz y Raya me ha hecho comenzar septiembre con una sonrisa y una carcajada, y lo que empieza bien... generalmente termina bien.

Pero las matemáticas en cuanto a problemas y curiosidades no son lo único que predominan en este blog, damas y caballeros. Referidas a las matemáticas se han publicado ya otras entradas. He allí la tercera entrada del salón, que habla de las matemáticas en cuanto ciencia para descubrir y pensar. También puede citarse la poesía de diciembre pasado, en la que me despido de las matemáticas por un tiempo. Se podría decir que la introducción y reapertura de abril es una entrada alusiva al papel que cumple la lógica lateral en nuestras vidas y a su importancia. En suma, todos los momentos resaltables de este blog con respecto al inicio o fin de las temporadas de matemáticas han estado revestidos o coronados con la entrada especial. Incluso creo recordar publicar una en cuanto a la educación y al enseñar al pensar.

Creo que, como comenzamos temporada (o arrancamos luego de un paroncito), convendría hacer lo propio. Pero esta vez no seré yo quien divague, sino el señor Paenza, personaje que tiene peso en este blog y en gran parte de mi vida. Se reproducirá a continuación el prólogo de su libro Matemáticas... ¿estás ahí? VOL2, en el que el señor Paenza explica los motivos por los que escribe el libro, aclara que las matemáticas no es la calculadora y que el matemático no es el "elegido" (lo mismo que dije yo en abril), y que las matemáticas, bien enseñadas, son seductoras... atractivas y llenas de una magia especial. Habla sobre la enseñanza de la matemática como herramienta para alcanzar un pensamiento crítico y racional. Habla de la matemática como instrumento para la perfección de la ciencia y la mejora en la sociedad. El problema de que la matemática esté recubierta del mito "me llevé matemática a febrero" es generado por los difusores de la matemática, con lo que es necesario que a través de la divulgación científica (ya sea por libros, revistas especializadas, periódicos y, en cierta y retorcida medida, este blog, así como todos los que dediquen aunque más no sea un párrafo a la matemática) es el medio por el cual se contrarreste esta imagen impositiva.

Pero vamos a la cita. Después de eso, al trabajo. Seguir escribiendo yo sería quitarle importancia a las palabras de un genio como Adrián Paenza. Sólo añadiré una cosita: La última anécdota de este prólogo yo ya la he contado (de una forma mucho más resumida) en el problema de la Eminencia (el primer problema de este blog), pero he decidido ponerla aquí para que aquel que no quiera llegar hasta allá (se llama vagancia XD) pueda tenerla más a mano. Enseña una gran lección: "Hasta el más grande debe permitirse decir 'no entiendo'". Y este es un tema que ya he tocado mucho por aquí, aunque nunca está de más repetirlo: Somos seres humanos falibles y nada perfectos. El razonador ideal o utópoico que nos presenta Arthur Conan Doyle difícilmente pueda plasmarse en la realidad. El reconocer que somos falibles, que no siempre lo lograremos al primer intento, que tenemos la posibilidad de caer siempre, y que siempre podremos levantarnos tras esas caídas, es lo que nos hace ser seres humanos. Más aún, estoy arriesgado a pensar que la verdadera sabiduría, como proponía en cierta medida Sócrates, está en reconocernos ignorantes de todo lo que creemos saber. Reconocer que no somos máquinas perfectas de razonamiento y que somos capaces de poder errar (de equivocarnos, de no entender, de no comprender), no es un signo de debilidad o estupidez. Todo lo contrario. Es lo más sano que podemos llegar a hacer, es un signo de valentía, de deseo de superarse a sí mismo, de vencer nuestras propias limitaciones, y es evidencia de una inteligencia natural. Como escribí en una ocasión, más sensato es aquel que sabiendo que no sabe pregunta para saber (he aquí el inmenso valor que tiene reconocer la ignorancia), que aquel que, aún sabiendo que no sabe, deja pasar el tiempo y no se esfuerza para saber.

Con ustedes, el señor Adrián Paenza.

Prólogo

La inequitativa distribución de la riqueza marca una desigualdad
ciertamente criminal. Unos (pocos) tienen (tenemos)
mucho; otros (muchos) tienen poco. Muchos más tienen casi
nada. La sociedad ha sido, hasta aquí, más bien indiferente a las
desigualdades de todo tipo. Se las describe, sí, pero en general
el dolor termina en hacer una suerte de catarsis que parece
“exculpadora”. Bueno, no es así. O no debería serlo. Hasta aquí,
ninguna novedad.
La riqueza no sólo se mide en dinero o en poder adquisitivo,
también se mide en conocimiento, o mejor dicho, debería
empezar por ahí. El acceso a la riqueza intelectual es un derecho
humano, sólo que casi siempre está supeditado al fárrago
de lo urgente (nadie puede pretender acceder al conocimiento
si antes no tiene salud, ni trabajo, ni techo, ni comida en su
plato). Así, todos tenemos un compromiso moral: pelear para que
la educación sea pública, gratuita y obligatoria en los niveles
primario y secundario. Los niños y jóvenes tienen que ir a estudiar,
y no a trabajar.
Con la matemática sucede algo parecido. Es una herramienta
poderosa que enseña a pensar. Cuando está bien contada es
seductora, atractiva, dinámica. Ayuda a tomar decisiones educadas
o, al menos, más educadas. Presenta facetas fascinantes que aparecen escondidas y reducidas a un grupo muy pequeño que las disfruta. Y es hora de hacer algo, de pelear contra el preconcepto de que la matemática es aburrida, o de que es sólo para elegidos.
Por eso escribí Matemática… ¿Estás ahí? Porque quiero que le demos una segunda chance. Porque quiero que la sociedad advierta que le estamos escamoteando algo y que no hay derecho a que eso suceda. Hasta aquí, quienes comunicamos la matemática hemos fracasado, no sólo en la Argentina sino en casi todo el mundo.
Ha llegado la hora de modificar el mensaje. Obviamente, no soy el primero ni seré el último, pero quisiera ayudar a abrir el juego, como lo hice durante más de cuarenta años con alumnos de todas las edades. La matemática presenta problemas y enseña a disfrutar de cómo resolverlos, así como también enseña a disfrutar de no poder resolverlos, pero de haberlos “pensado”,porque entrena para el futuro, para tener más y mejores herramientas, porque ayuda a recorrer caminos impensados y a hacernos inexorablemente mejores.
Necesitamos, entonces, brindar a todos esa oportunidad.
Créanme que se la merecen.

Enseñar a pensar

El mundo académico se nutre de la circulación libre de
información. Cada uno aporta (literalmente) un granito de arena, y así se hace cada ladrillo. A veces viene un Newton, un Einstein, un Bohr, un Mendel, y trae él solo treinta ladrillos, pero en general es así: granito a granito.
ANÓNIMO
Miguel Herrera fue un gran matemático argentino, director de muchas tesis doctorales, en la Argentina y también en el exterior.
Lamentablemente, falleció muy joven. Herrera se graduó en Buenos Aires y vivió muchos años en Francia y los Estados Unidos, para luego retornar al país, donde permaneció hasta su muerte. Quiero aprovechar para contar una anécdota que viví con él y que me sirvió para toda la vida.
Luego de graduarme como licenciado (a fines de 1969), estuve por unos años fuera de la facultad trabajando exclusivamente como periodista. Una noche, en Alemania, más precisamente en Sindelfingen, donde estaba concentrado el seleccionado argentino de fútbol, comenté con algunos amigos que al regresar al país intentaría volver a la facultad para saldar una deuda que tenía (conmigo): quería doctorarme. Quería volver a estudiar para completar una tarea que, sin la tesis, quedaría inconclusa. Era un gran desafío, pero valía la pena intentarlo.
Dejé por un tiempo mi carrera como periodista y me dediqué de lleno a la investigación y a la docencia en matemática.
Luego de un concurso, obtuve un cargo como ayudante de primera con dedicación exclusiva, y elegí como tutor de tesis al doctor toral a Ángel Larotonda, quien había sido mi director de tesis de licenciatura. “Pucho” (así le decíamos a Larotonda) tenía muchísimos alumnos que buscaban doctorarse. Entre tantos,
recuerdo los nombres de Miguel Ángel López, Ricardo Noriega, Patricia Fauring, Flora Gutiérrez, Néstor Búcari, Eduardo Antín, Gustavo Corach y Bibiana Russo.
Doctorarse no era fácil. Requería (y requiere) no sólo aprobar un grupo de materias sino, además, escribir un trabajo original y someterlo al referato de un grupo de matemáticos para su evaluación. La tarea del tutor es esencial en ese proyecto, no sólo por la guía que representa, sino porque lo habitual es que sea él (o ella) quien sugiera al aspirante el problema a investigar y, eventualmente, resolver.
La situación que se generó con Pucho es que éramos muchos, y era muy difícil que tuviera tantos problemas para resolver, y que pudiera compartirlos con tantos aspirantes. Recuerdo ahora que cada uno necesitaba un problema para sí. Es decir que cada uno debía trabajar con su problema. La especialidad era Topología Diferencial. Cursábamos materias juntos, estudiábamos juntos, pero los problemas no aparecían.
Algo nos motivó a tres de los estudiantes (Búcari, Antín y yo) a querer cambiar de tutor. No se trataba de ofender a Larotonda,
sino de buscar un camino por otro lado. Noriega ya había optado por trabajar con el increíble Luis Santaló y nosotros, empujados y estimulados por lo que había hecho Ricardo, decidimos cambiar también. Pero ¿a quién recurrir? ¿Quién tendría problemas para compartir? ¿Y en qué áreas? Porque, más allá de que alguien quiera y posea problemas para sus estudiantes, también importa el tema: no todos son igualmente atractivos, y cada uno tenía sus inclinaciones particulares, sus propios gustos.
Sin embargo, estábamos dispuestos a empezar de cero, si lográbamos que alguien nos sedujera.
Así fue como apareció en nuestras vidas Miguel Herrera, quien recién había vuelto al país después de pasar algunos años
como investigador en Francia. Reconocido internacionalmente por su trabajo en Análisis Complejo, sus contribuciones habían sido altamente festejadas en su área. Miguel había formado parte del grupo de matemáticos argentinos que emigraron luego del golpe militar que encabezó Juan Carlos Onganía en 1966, y se fue inmediatamente después de la noche infame de “los bastones largos”. Sin embargo, volvió al país en otro momento terrible, porque coincidía con otro golpe militar, esta vez el más feroz de nuestra historia, que sometió a la Argentina al peor holocausto del que se tenga memoria.
Pero vuelvo a Herrera: su retorno era una oportunidad para nosotros. Recién había llegado y todavía no tenía alumnos. Lo fuimos a ver a su flamante oficina y le explicamos nuestra situación.
Miguel nos escuchó con atención y, típico en él, dijo: “¿Y por qué no se van al exterior? ¿Por qué se quieren quedar acá con todo lo que está pasando? Yo puedo recomendarlos a distintas universidades, tanto en Francia como en los Estados Unidos.
Creo que les conviene irse”.
Me parece que fui yo el que le dijo: “Miguel, nosotros estamos acá y no nos vamos a ir del país en este momento. Queremos preguntarte si tenés problemas que quieras compartir con nosotros, para poder doctorarnos en el futuro. Sabemos muy poco del tema en el que sos especialista, pero estamos dispuestos a estudiar. Y en cuanto a tu asesoramiento y tutoría, hacé de cuenta que somos tres alumnos franceses, que llegamos a tu oficina en la Universidad de París y te ofrecemos que seas nuestro director de tesis. ¿Qué nos vas a contestar? ¿Váyanse
de París?”.
Herrera era el profesor titular de Análisis Complejo. Al poco tiempo, Antín, en su afán de convertirse en crítico de cine y árbitro de fútbol (entre otras cosas), decidió bajarse del proyecto, pero Néstor Búcari (a partir de aquí “Quiquín”, su sobrenombre) y yo fuimos nombrados asistentes de Herrera y jefes de trabajos prácticos en la materia que dictaba. Si uno quiere aprender algo, tiene que comprometerse a enseñarlo… Ése fue nuestro primer contacto con nuestro director de tesis. Empezamos por el principio. La mejor manera de recordar lo que habíamos hecho cuando tuvimos que cursar Análisis Complejo (y aprobarla, claro) era tener que enseñarla. Y así lo hicimos.
Pero Quiquín y yo queríamos saber cuál sería el trabajo de la tesis, el problema que deberíamos resolver, Herrera, paciente, nos decía que no estábamos aún en condiciones de entender el enunciado, y ni hablar de tratar de resolverlo. Pero nosotros, que veníamos de la experiencia con Pucho, y nunca lográbamos que nos diera el problema, queríamos saber.
Un día, mientras tomábamos un café, Herrera abrió un libro escrito por él, nos mostró una fórmula y nos dijo: “Éste es el primer problema para resolver. Hay que generalizar esta fórmula.
Ése es el primer trabajo de tesis para alguno de ustedes dos”.
Eso sirvió para callarnos por un buen tiempo. En realidad, nos tuvo callados por mucho tiempo. Es que salimos de la oficina donde habíamos compartido el café y nos miramos con Quiquín, porque no entendíamos nada. Después de haber esperado tanto, de haber cambiado de director, de cambiar de tema, de especialidad, de todo, teníamos el problema, sí… pero no entendíamos ni siquiera el enunciado. No sabíamos ni entendíamos lo que teníamos que hacer.
Ésa fue una lección. El objetivo entonces fue hacer lo posible, estudiar todo lo posible para entender el problema. Claro, Herrera no nos dejaría solos. No sólo éramos sus asistentes en la materia para la licenciatura que dictaba sino que, además, nos proveía de material constantemente. Nos traía papeles escritos por él o por otros especialistas en el tema, y trataba de que empezáramos a acostumbrarnos a la terminología, al lenguaje, al tipo de soluciones que ya había para otros problemas similares.
En definitiva, empezamos a meternos en el submundo del Análisis Complejo. Por un lado, dábamos clases y aprendíamos casi a la par de los alumnos. Resolvíamos las prácticas y leíamos tanto como podíamos sobre el tema. Además avanzábamos por otro lado, e íbamos acumulando información al paso que él nos indicaba.
Quiquín fue un compañero fabuloso. Dotado de un talento natural, veía todo mucho antes que yo, y fue una guía imposible de reemplazar. Yo, menos preparado, con menos facilidad, necesitaba de la constancia y la regularidad. Y ése era y fue mi
aporte a nuestro trabajo en conjunto: él ponía el talento y la creatividad; yo, la constancia y la disciplina. Todos los días, nos encontrábamos a las ocho de la mañana. No había días de frío,
ni de lluvia, ni de calor, ni de resaca de la noche anterior: ¡teníamos
que estar a las ocho de la mañana sentados en nuestra oficina,
listos para trabajar! Para mí, que tenía auto, era mucho más
fácil. Quiquín venía de más lejos y tomaba uno y, a veces, dos
colectivos.
Lo que siempre nos motivaba y nos impulsaba era que a las
ocho, cuando recién nos habíamos acomodado, alguien golpeaba
sistemáticamente a la puerta. Miguel venía todos los días a
la facultad a ver qué habíamos hecho el día anterior: qué dificultades
habíamos encontrado, qué necesitábamos. Así construimos
una relación cotidiana que nos sirvió para enfrentar
muchas situaciones complicadas y momentos de dificultad en los
que no entendíamos, no nos salía nada y no podíamos avanzar.
Encontrarnos todos los días, siempre, sin excepciones, nos permitió
construir una red entre los tres que nos sirvió de apoyo
en todos esos momentos de frustración y fastidio.
El problema estaba ahí. Ya no había que preguntarle más
nada a Herrera. Era nuestra responsabilidad estudiar, leer, investigar,
preocuparnos para tratar de entender. Con Quiquín siempre
confiamos en Miguel, y él se ganó nuestro reconocimiento no
por la prepotencia de su prestigio, sino por la prepotencia de su
trabajo y su constancia. Miguel estuvo ahí todos los días.
Una mañana, de las centenares que pasamos juntos, mientras
tomábamos un café, nos miramos con Quiquín y recuerdo que
nos quedamos callados por un instante. Uno de los dos dijo algo
que nos hizo pensar en lo mismo: ¡acabábamos de entender el
enunciado! Por primera vez, y a más de un año de habérselo
escuchado a Miguel, comprendíamos lo que teníamos que hacer.
De ahí en adelante, algo cambió en nuestras vidas: ¡habíamos
entendido! Lo destaco especialmente porque fue un día muy feliz
para los dos.
Un par de meses más tarde, un día cualquiera, súbitamente
creímos haber encontrado la solución a un problema que los
matemáticos no podían resolver hacía ya siglos. ¡No era posible!
Teníamos que estar haciendo algo mal, porque era muy poco
probable que hubiéramos resuelto una situación que los expertos
de todo el mundo investigaban desde tanto tiempo atrás. Era
más fácil creer (y lo bien que hicimos) que estábamos haciendo
algo mal o entendíamos algo en forma equivocada, antes que
pensar que pasaríamos a la inmortalidad en el mundo de la
matemática. ¡Pero no podíamos darnos cuenta del error!
Nos despedimos esa noche, casi sin poder aguantar hasta el
día siguiente, cuando llegara Miguel. Lo necesitábamos para
que nos explicara dónde estaba nuestro error. Por la mañana,
Miguel golpeó a la puerta como siempre, y nos atropellamos
para abrirle. Le explicamos lo que pasaba y le pedimos que nos
dijera dónde nos estábamos equivocando. Entrecerró los ojos y
sonriente dijo: “Muchachos, seguro que está mal”. No fue una
novedad; nosotros sabíamos que tenía que estar mal. Y comenzó
a explicarnos, pero nosotros le refutábamos todo lo que
decía. Escribía en el pizarrón con las tizas amarillas con las que
siempre nos ensuciábamos las manos, pero no había forma.
Peor aún: Miguel empezó a quedarse callado, a pensar. Y se
sentó en el sofá de una plaza que había en la oficina. Tomó su
libro, el libro que él había escrito, leyó una y otra vez lo que
él había inventado y nos dijo, lo que para mí sería una de las
frases más iluminadoras de mi vida: “No entiendo”. Y se hizo
un silencio muy particular.
¿Cómo? ¿Miguel no entendía? ¡Pero si lo había escrito él!
¿Cómo era posible que no fuera capaz de entender lo que él
mismo había pensado?
Esa fue una lección que no olvidé nunca. Miguel hizo gala de
una seguridad muy particular y muy profunda: podía dudar, aun
de sí mismo. Ninguno de nosotros iba a dudar de su capacidad.
Ninguno iba a pensar que otro había escrito lo que estaba en su
libro. No. Miguel se mostraba como cualquiera de nosotros…
falible. Y ésa fue la lección. ¿Qué problema hay en no entender?
¿Se había transformado acaso en una peor persona o en
un burro porque no entendía? No, y eso que se daba el lujo de
decir frente a sus dos alumnos y doctorandos que no entendía
lo que él mismo había escrito.
Por supuesto, no hace falta decir que después de llevárselo
a su oficina, y de dedicarle un par de días, Miguel encontró el
error. Ni Quiquín ni yo pasamos a la fama, y él nos explicó en
dónde estábamos equivocados.
Con el tiempo nos doctoramos, pero eso, en este caso, es lo
que menos importa.
Miguel nos había dado una lección de vida, y ni siquiera lo
supo ni se lo propuso. Así son los grandes.

Creo que todos saben bien qué significa esto. Las matemáticas han vuelto al blog (Jengibre se agarra la cabeza con ambas manos y grita "noooooooooooooo"). El señor Paenza ha sido el que abre esta nueva temporada de Matemática a la carga.

Estad atentos. Pronto puede llegar un nuevo problema en el que la lógica lateral y el pensamiento analítico sea indispensable. Lo dicho, ¡estad atentos!

(cómo me gusta decir eso)

¡Matemática a la carga!

Premio Kreativo: La entrega a siete blogs

Damas, caballeros...
... el anhelado momento ha llegado. La espera ha dado sus frutos, y ahora es el momento en que descubriremos a los siete blogs que se alzarán con el "Premio Kreativo".

¿Os preguntáis quiénes serán? ¿Queréis saberlo vosotros? ¿Estáis preparados? Vamos, déjenme un poquito de diversión, que siempre quise estar en esta situación.

Redoble de tambores, por favor...
... OK, me acaban de informar que el redoblero de tambor ha tenido un pequeño percance. Vamos a los premios.

Los siete premiados

"¿A quiénes debo premiar?", fue lo que pensé cuando leí las condiciones y supe que estaba premiado. Tengo varios blogs en la lista de lectura del salón y en el escritorio de blogger, y, por consiguiente, la elección fue muy dura de realizar. Tuve que tener en cuenta muchos factores, y tratar de ser lo más objetivo posible. Algunos de estos blogs hace meses que están deshabitados ("El blog de Adrián Paenza ha dejado de vivir a finales de diciembre, "Reflejos de un espejismo" parece estar desierto otra vez). Finalmente tomé la decisión de que debía premiar a siete blogs, y que tendría que aplicar toda mi objetividad disponible. He tenido que recurrir al recurso (valga la redundancia) de premiar a otros blogs que ya estaba premiados.
En fin, dejemos por el momento que salgan los ganadores.

1. Los Fantasmas del Paraíso. Por ser uno de los pocos blogs que conozco con secciones regulares, por trabajar mucho para hacer todas las entradas, por la tenacidad que ponen sus miembros a la hora de crear el blog, porque persiguen la meta última de salir de la monotonía y luchar contra el aburrimiento. Porque uno de sus componentes principales es el humor, y qué mejor que el humor. Porque aquí la mentalidad va con la mente, la mente humana es maravillosa, y porque la mente ocupa un lugar preeminente en este blog. Por la variedad de temas que tratan (desde TV y cine hasta política y leyes, pasando por las situaciones más embarazosas de una vida cotidiana, así como las observaciones sobre un cuadro, protestas por la tala de abetos por Navidad, entre otras cosas). Porque cuando se inician largas charlas de cincuenta comentarios, no es muy probable que se detengan fácilmente. Porque siempre hay material para entretenerse y pasar el rato. Por esto, y por mucho más, el Premio Kreativo es otorgado (otra vez) a "Los Fantasmas del Paraíso".
   
2. La Sociedad del Misterio. Porque si hay un blog que se merece este premio, ese blog es la sociedad del misterio. Vamos, un montón de casos policiales por resolver y analizar, pruebas y pistas para investigar, un lugar entretenido en donde el rato pasar, ¿qué más se puede desear? "Que dejes de hacer rimas que terminen en ar, por favor", dicen ustedes. No, la seriedad con la que se trabaja, el toque de humor que se le imprime, la originalidad del blog y del concepto en general, la increíble narrativa y descriptiva que gastan los jefes de departamento, sus alocadas fiestas fin de caso, el hecho de tener un archienemigo jurado y declarado que hace recordar en cierto sentido a Hanibal Leckter y a Arsenio Lupin, el llevar dos años y medio de andadura, el tener un conejo detective para vigilar el almacén de pruebas, y una sublime mayoría de casos resueltos fielmente por los investigadores... convierten a la sociedad del misterio en un blog que merece llevar el premio. Jack, jefe, el premio es suyo, por hacernos pensar y recordar a Sherlock Holmes con un estilo original y siempre fresco.
   
3. Los Cuentos del Hada Jengibre. Porque no hay muchos blogs que sean como él, porque no siempre podemos encontrar algo de esta magnitud y este calibre. "Es sólo un rinconcito de luz y color", dice su creadora. Pero creo que el rincón se ha agrandado, y hoy en día es un blog lleno de vida y en pleno desarrollo hacia un futuro formidable. Porque es uno de los pocos blogs de Blogger que publican originales, porque es uno de los pocos blogs en general (tanto de Blogger como de Wordpress) que publican cuentos propios, por la música que acompaña todas las entradas dotándola de un nuevo cariz y haciendo que el lector viva más intensamente los textos, por la notoria capacidad de realizar entradas personales y emotivas, porque los cuentos son geniales y nos muestran el desarrollo y la madurez literaria en cada paso, porque es un lugar para los que aún creen y pueden creer, porque tiene grandes expectativas a futuro y es un excelente blog en el hoy. Por todo esto, y por mucho más, Jengibre, te concedo el Premio Kreativo. Sé que ya lo has ganado un par de veces, pero el premio se entrega a quien uno cree que se lo ha ganado, y la verdad es que creo que te lo mereces.
   
4. A título póstumo: Reflejos de un Espejismo. Porque con ese nombre no puedes quedarte indiferente, porque cuando entras no sabes qué te vas a encontrar, porque su autora sigue una línea fresca y original. Porque es un blog hecho por y para frikis, y todo hay que decirlo, yo soy uno de ellos. Porque sólo Cristal puede expresar y embotellar tantos sentimientos y usarlos de forma constructiva para poder reír y usar el sarcasmo. Porque habla de todo un poco y al final no habla de nada. Porque su autora ha escrito cosas que de verdad son geniales. Y porque el blog no está muerto, sólo un poco dejado de lado. Espero que pueda regresar para seguir con sus pintorescas entradas y las aventuras que vive en la universidad (aún no me queda claro si es de Física o de Astronomía, o de las dos cosas, pero sé que es de ciencia exactas). Cristal, este premio es para ti.
   
5. Otro a título póstumo: El blog de Adrián Paenza. Porque su blog (del cual es él la única cara visible) ha quedado en un punto y aparte desde el treinta y uno de diciembre. Porque durante un año estuvo llenando con problemas y curiosidades matemáticas todo el blog. Porque su fin era claro, directo, concreto y sano: hacer pensar y divertirse pensando. Porque trata de matemáticas, y las matemáticas y yo son conceptos que van tan ligado como el pan con la mermelada. Porque es un gran profesor que disfruta de hacer pensar y de pensar él mismo. Porque me enseñó una gran lección en la vida. Porque me hizo amar con pasión las matemáticas. Porque a él no le importan las matemáticas en sí, sino todo el amplio espectro de posibilidades que las matemáticas nos ofrece. Porque lo presenta todo de forma didáctica y amigable. Porque nunca, en toda la vida del blog, fue un profesor o un maestro o un gurú o un chamán, sólo fue un compañero de aventuras más en el increíble camino del pensamiento humano.
   
6. Diario de independencia. Porque es uno de los pocos blogs que me han mantenido en suspenso durante un par de semanas, porque propone un juego participativo como lo hacía este blog. Porque la historia que cuenta es maravillosa y extraordinaria. Porque domina con presteza el policial negro. Porque hace uso y abuso del lenguaje y trata con suma corrección la lengua de Cervantes. Porque se lo merece.
   
7. Zapato a la cabeza. Porque hace muy poco que lo encontré (bah, en realidad hace ya algunos meses, pero lo cierto es que es un blog joven), y porque su autora tiene un cierto sentido del humor y de la ironía que me fascina. Porque cuenta las desavenencias de una estudiante de ingeniería informática, y porque tiene preparado un plan de escape por si las moscas. Porque tiene un toque original y sabe hacer preguntas de gran calidad que te sacan una sonrisa y que te hacen pensar. Porque encontré el blog casi por casualidad en la sociedad del misterio. Porque habla de todo un poco y no deja de ser fresco. Porque su nombre deviene de un deseo increíble de arrojar algo a la cabeza. Y porque se lo merece. Key, el premio es todo tuyo.
   

Los ganadores del premio, damas y caballeros. Tuve que repetir algunos, pero la verdad es que sentía que se lo merecían. Y, como dato adicional, diré que tengo dos blogs más a los que quería premiar, pero el tope de siete me limitó XD

¡Elen síla lumenn omentielvo!

[Nota: El día en que se publica esto (es decir hoy) estoy algo enfermito, así que aún no encuentro solución para los enlaces gráficos. Jengibre ya ha mencionado un atisbo de luz en la oscuridad, así que luego veré qué diantres está ocurriendo].
[Nota2: Mañana (domingo) hay publicación especial; y el lunes se publica una especie de epílogo a esta serie de entradas].

Namarië, melon.

¿Cómo cruzan las mujeres el puente?

Buenas noches, amigos del salón. Lo prometido es deuda, y como ya ha pasado una semana de la publicación del problema de las cuatro mujeres y el puente, creo que es hora de publicar la solución. Le recomiendo al lector que, si no ha leído el problema, lo lea y trate de resolverlo antes de continuar leyendo. Antes que nada, daré la respuesta al enigma, y luego haré unas reflexiones de índole personal que, espero, sirvan como moraleja de este problema.
Primero lo primero; con ustedes, la solución:

Solución al problema de las cuatro mujeres, el puente y la linterna

1º viaje: cruzan mujeres 1 y 2.
2º viaje: vuelve la mujer 2 con la linterna. Pasaron cuatro minutos. [Es indistinto: puede pasar la mujer dos o la uno, a efectos prácticos da lo mismo].
3º viaje: la mujer 2 les da la linterna a la 3 y la 4, y estas últimas cruzan el puente.
4º viaje: la mujer 1 agarra la linterna de las 3 y 4; y va en busca de la mujer 2.
5º viaje: vuelven la mujer 1 y 2 al punto de llegada.

Conteo

1º viaje: 2 minutos.
2º viaje: 2 minutos.
3º viaje: 10 minutos.
4º viaje: 1 minuto.
5º viaje: 2 minutos.
2 + 2 + 10 + 1 + 2= 17 minutos.

Ahora sí. Hora de decir algunas cosas:
Lo primero es felicitar a Fantasmas. ¡Bien hecho! Él aplicó diligentemente el método y consiguió el resultado. Se dio cuenta de que si seguía pensando como lo estaba haciendo, no encontraría la respuesta. Por tanto, decidió verlo de otra forma y encontró la solución. Agradezco además, que haya dejado su hilo de razonamiento, porque así podemos apreciar mejor el bagaje de ideas que surcan la mente. Es más, creo que gracias a la contribución tan rica de Fantasmas, yo no tendré que hacer algo demasiado extenso. Pero por si acaso…

Conclusiones

¿Qué ocurrió? El problema se cerró. Ahora mismo no importa el haberlo resuelto o no, no importa nada de eso. Lo importante es que lo hayan pensado, creedme, eso es lo primordial en estas circunstancias. Mientras tengamos el entusiasmo de pensar y de ser creativos a la hora de resolver algo, ya tendremos el 75% del trabajo hecho. La satisfacción de hacer problemas no radica en saber que lo hemos resuelto bien, sino, en saber que lo hemos pensado. Como ya mencioné en la entrada anterior, esto se hace con la mejor intención… ¡pensar! Para mucha gente, pensar no será mucho; pero tiene un valor incalculable. Hoy por hoy el pensamiento está siendo dejado de lado, se ha convertido en algo prescindidle, y no se está respetando como tal.
Como ya dije, no importa haberlo hecho bien o mal, lo que importa es haberlo pensado. Ahora bien; supongamos que lo ha pensado y ha llegado a un punto muerto. Lo interesante en esa circunstancia sería pensar porqué no lo logró. No es una crítica, ni mucho menos, es una pregunta que ayuda a entender mejor el problema.
Fantasmas lo dijo en la entrada anterior. Él principió por hacer que fuera la de un minuto con todas las demás, y no le dio. Luego hizo que la de uno acompañara a las demás, empezando por la de dos en este caso, pero tampoco resultó. Entonces llegó a la conclusión de que las que tardaban más (la mujer 3 y 4) debían ir juntas para ahorrar cinco minutos. En efecto; así se resuelve el planteo. Todo esto consiste en que las mujeres se organicen para perder el menor tiempo posible. Y aquí se presenta una dificultad. Fantasmas habla de mezclar su idea original con su segunda idea, y de allí parte lo siguiente: las mujeres más rápidas ya tienen que estar en la otra orilla. Así es. La segunda clave de este problema está allí. En que las mujeres 1 y 2 deben estar antes que las mujeres 3 y 4, para poder pasarse la linterna y hacer que sólo tarden diecisiete minutos.

Moraleja

Fantasmas no se detuvo; a pesar de todo, siguió adelante tratando de razonar un sendero que antes no había explorado. ¡Hizo un dibujito y todo! ¡Eso es lógica lateral! Así es, la lógica lateral de este enigma se hallaba en el hecho de que tenía que pensarse una forma alterna para que las mujeres 1 y 2 pudieran estar al otro lado del puente, sin la necesidad de que la mujer 3 ó 4 volviera lo andado.


Contestación:
Fantasmas, ¿un dibujo? ¿Humo por la cabeza? Bueno, valió la pena ¿no?

Moraleja segunda:

«Cuando las cosas se quieren y se piensan, se logran».
«Hoy, somos más sabios que ayer».

Espero que este problema os haya gustado y mantenido entretenidos. ¡Será hasta que el universo disponga!

¡Elen sila lumen omentielmpo!

El puente, las cuatro mujeres y la linterna

No, no es el título de un cuento de “Las mil noches y una noche”. Es un problema de matemáticas, más bien, de lógica lateral. Sé que lo estaban extrañando, y he decidido volver a abrir esta sección. Antes que nada, amigos y amigas del salón, he de daros una noticia.
Debo rendir exámenes en diciembre.
La frase anterior lo resume todo, ¿verdad? Sí. En efecto, amigos, desde el veintiuno de diciembre tengo que dar mis exámenes de seis asignaturas. Como comprenderán, estoy al límite con deberes, tareas, estudios, repasos, resúmenes, ensayos, escuchas de material auditivo, búsqueda de información, etc. En fin, todo lo que se puede resumir en: “Estoy estudiando duro”. Así es, estoy estudiando duro.
Por esta causa, creo que —muy a mi pesar— tendré que dejar de publicar entradas, por el momento. Es necesario, porque cada entrada del salón es planificada meticulosamente antes de ser publicada. Es decir, no puedo poner cualquier cosa aquí y decir: “¿A ver cómo lo resolvéis?”. Eso es, en mi opinión, lo que caracteriza a un mal educador. Así que, como las entradas consumen mucho tiempo, y ese tiempo está ahora mismo siendo empleado para estudiar, no podré traerles muchas entradas más.
Pero para la despedida momentánea, creo que podré dejarles esta entrada, más una colaboración foránea (aunque ya hablaremos de eso a su debido tiempo).
En compensación, durante la única semana de vacaciones que tendré, me comprometo a escribir varias entradas sobre Física, muchos cuentos que me han venido a la cabeza, y un montón de entretenimientos más para seguir disfrutando. Dichas entradas, si no me equivoco, serán publicadas entre enero y febrero. Pero ojo, porque en la última semana de febrero también vuelvo a las andadas. Así que… notarán también, que no es muy regular la forma de publicación.
Vale, hecha ya las aclaraciones pertinentes, podemos comenzar.
Siempre se me presenta una duda a la hora de plantear un problema, y es: “¿Publico el problema original, o le doy mi propio estilo de planteamiento?”. Entenderán que, al elegir yo la segunda forma, todo se hace más complejo. [Nota: En el mundo de las matemáticas no existe plagio]. Ya que tengo que encontrar la forma de adaptar los contenidos, y de hacerlos entendibles. A decir verdad, me resultaría más fácil poner los problemas originales aquí, pero para eso daría lo mismo deciros: “Tomen este enlace, lean el problema, y dejen aquí la solución”. O: “Aquí podéis descargar el libro de problemas. Para el próximo martes quiero una solución a los problemas…”. Es decir, no tiene ningún chiste.
Así que… ¡A comenzar!
[Nota 2: Este problema es un capítulo del libro “¿Matemáticas… estás ahí? VOL3”, escrito por Adrián Paenza].
[Nota 3: Os recuerdo que esto es un problema de lógica lateral. Para más información podéis consultar la primera entrada al respecto. Como una breve síntesis diremos que es un problema que apunta a tomar rutas o caminos inexplorados, o que no se nos ocurrieron, para resolver determinadas situaciones. Este problema, por ejemplo, debe resolverse tratando de encontrar un camino alterno o una solución impensable. Es decir, pensar las cosas de otra forma a la que habitualmente se haría. Pensarlo desde otro ángulo, o punto de vista. Muchas veces, estos problemas sirven para agilizar la mente, encontrar soluciones alternas, y comprender que, si las cosas se piensan, tienen respuesta].

¡Vamos con el problema!

Hay cuatro mujeres. Las cuatro necesitan cruzar un puente. Las cuatro están del mismo lado, o sea, cruzarán desde la misma punta del puente, hacia la otra.

Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para cruzar el puente. Es de noche y sólo tienen una linterna. Como es un puente colgante, sólo pueden cruzar una o dos por vez (es decir, no más de dos) por vez. Y siempre, sin ninguna excepción, no se puede cruzar el puente sin linterna. La linterna tiene que ser transportada por cada grupo/persona siempre, no se puede arrojar desde un extremo al otro.

Las mujeres tienen distintas velocidades. Es decir, hay algunas que irán más rápido, y otras que irán más lentamente.
Esto es lo que tardan:
Mujer 1: tarda 1 minuto en cruzar.
Mujer 2: tarda 2 minutos en cruzar.
Mujer 3: tarda 5 minutos en cruzar.
Mujer 4: tarda 10 minutos en cruzar.
Estos son los tiempos que tardan cada una de las mujeres, en recorrer el puente de una punta a otra.

Como mencionamos anteriormente, se puede cruzar de a una o de a dos mujeres, pero no a más de eso. Es decir, no pueden estar cruzando al mismo tiempo tres mujeres. Sólo dos, o una. Ahora bien, cuando van dos mujeres, sólo se respeta la velocidad de la más lenta.
O sea:
Caso 1: Van la mujer uno y dos. La mujer uno tarda un minuto, la mujer dos tarda dos minutos. Siempre se respetará el tiempo que le toma a la mujer más lenta, en este caso, a la número dos. Entonces, ambas tardarán en cruzar el puente: dos minutos.
Caso 2: supongamos que van la mujer dos y la mujer tres. La dos tarda dos minutos, la tres tarda cinco minutos. Como siempre, se respetará el tiempo que le toma a la mujer más lenta. Es decir, tardarán en cruzar: cinco minutos.
Ejemplo: Van la mujer uno y tres. Tardan cinco minutos en cruzar el puente. Vuelve la mujer tres. En total usaron diez minutos.

Con todos estos elementos, ¿qué estrategia se os ocurre para que las mujeres pasen de un extremo a otro en diecisiete minutos? Recordad todos los factores del problema.
1. No pueden tardar más de diecisiete minutos.
2. Siempre deben cruzar con la linterna.
3. No pueden ir más de dos por cruce.
4. Todas tienen que estar del lado opuesto al que comenzaron. Es decir, transcurridos los diecisiete minutos, todas deben estar en el punto de llegada.
[Aclaración: Sí, las mujeres pueden cruzar el puente las veces que quieran. O sea, si alguna llega al punto de destino, puede volverse, siempre y cuando lleve consigo la linterna].

¡A pensar!

¡Elen sila lumenn omentielmpo!
Hasta que el universo disponga nuevamente.

[Nota 4: El problema. Para darles algunos detalles sobre el problema, os diré que no se resuelve con golpes bajos. Esto es: no tiene soluciones milagrosas. No es del estilo: “Hombre, se pasan la linterna por una cuerda y les sobra tiempo”, o: “Rompen las reglas y pasan de a tres”. Otra acotación para el problema es que debe planificarse, o sea, hallar una estrategia lógica, que se debe seguir, para lograr la solución. Por ejemplo: “¿Cuál debería ser el plan de las mujeres para…?”. Así que… ¡A pensar!].

[Nota 5: La solución será publicada dentro de siete días].

[Nota 6: Recordad: está prohibido ver las respuestas de vuestros compañeros. ¿Por qué? Porque aquí no hay premios. Nadie será mejor o peor por acertar o no, esto es un entretenimiento, y si alguien ve la respuesta de otro, se pierde el interés por pensar. Y… ¿¡Qué mejor que disfrutar pensando!? ¡A divertirse!].

Namarië.

Educación

Buenas noches, amigos y aventureros del salón. Como creo que habéis deducido, traigo algo nuevo para charlar con ustedes. Se trata de una reflexión de un hombre que yo considero un excelente hombre, un gran matemático, un mejor profesor y una persona excelente. Tiene un gran carisma, y puede hacer que te gusten las matemáticas en menos de lo que canta un gallo… Lo digo porque, lo crean o no, yo antes odiaba (en mayúsculas) las matemáticas. La forma en que la docente las daba, el modo de interpretación de la matemática, el aburrimiento que eso representaba para mi...
... Todos esos factores se conjugaron para que, al salir de la primaria, lo hiciera con un mal sabor de boca sobre las matemáticas. Es decir, nunca me gustaron las matemáticas como área de estudio. Ustedes se preguntarán: "Y si a este no le gustan las matemáticas... ¿qué hace organizando un blog en el que predominan las matemáticas?". Hacen bien en preguntárselo, pero recuerden el tiempo verbal.
Gracias a un librito milagroso ("¿Matemáticas... estás ahí?"), este joven que les escribe es un adicto a la ciencia pura. Así es, damas y caballeros, gracias a este hombre hoy puedo decir: "¡Adoro las matemáticas!". Fue gracias a sus libros que comencé a interesarme más por el lado oculto -el más bello- de las matemáticas. Considero, pues, a este hombre, el causante de que yo hoy sea loco perdido por esta ciencia humana.
Este señor (creo que ya lo han intuído, pero por si quedan dudas diré que se trata de "Adrián Paenza"), es profesor en la Universidad de Buenos Aires y es un gran profesor. A lo largo de toda su vida ha experimentado mucho como docente y como alumno, y hoy cuenta con mucha andadura por detrás. Es de esos maestros que te hacen decir: "Vaya, sí que vale la pena romperse el coco un poco y tratar de pensar". Así que, y aún sabiendo que yo soy el primero que critica a los profesores, debo alabar a este hombre.
Creo que algunos de ustedes lo saben... otros no. Pero mi sueño, en el día de mañana, es ser docente. Así que es casi un ícono referencial para mi. La imagen de profesor severo e irritado continuamente es la que más me desagrada, y pienso que la educación no debe ser medida con números.
Debe ser algo desenvuelto y tranquilo. Nada de estructura u orden social, ni cosas por el estilo (sí, teoría de Rosseau). Por estos motivos, me gustaría dejar la última parte de su libro "¿Matemáticas... estás ahí? VOL2". Se trata del epílogo del libro, en donde el señor Paenza habla de su experiencia como docente y estudiante, y deja, como recomendaciones generales, algunas pautas basadas en dicha experiencia.
En lo que a mi respecta, creo que tiene mucha razón y que si -en la mayoría de las escuelas- se adoptara estos métodos, se llegaría a resultados más beneficiosos que los actuales. El problema es que nadie quiere pensar, preguntar, o probar a ver si del error se aprende. Debemos olvidarnos de las competencias absurdas, de la alta sabiduría del profesor, del "Que dirán mis compañeros", del respeto casi reverencial para un docente. Como estudiante se tiene que poner muchas ganas y esfuerzo, no aflojar nunca, preguntar mil veces, porfiar hasta entender, hacer lo que haya que hacer para alcanzar el conocimiento deseado. Elaborar preguntas, hacer proyectos, usar la mente y seguir...
Pienso que deberíamos tener en claro que una sociedad cuyos individuos más jóvenes no pregunten ni sienta curiosidad, es una sociedad que está perdiendo cultura.
Me doy el lujo de dar una explicación personal antes de pasar a estar con el señor Paenza. ¿Cómo empieza el método científico? Lo primero es la observación, a base de la observación surge un problema... y aquí tenemos dos opciones:
1. Nos preguntamos: "¿Por qué surge este problema y qué se puede hacer para darle solución?".
2. Nos quedamos estáticos y no pasa nada.
Como comprenderán, si los grandes científicos, y aún los más renombrados filósofos, no se hubieran hecho preguntas ni hubieran tenido la necesidad imperante de saciar su curiosidad, hoy no seríamos la sociedad que somos.
Queremos avance y progreso, primero busquemos curiosidad y tezón en los estudiantes.
Ahora sí, los dejo con el Sr. Adrián Paenza:

Epílogo

Las reglas del juego

Uno de los más grandes errores que perpetramos en nuestras clases es que el maestro pareciera que siempre tiene la respuesta al problema que estuvimos discutiendo. Esto genera la idea en los estudiantes de que debe haber un libro, en alguna parte, con todas las respuestas correctas a todos los problemas interesantes,
Y que el maestro se las sabe todas Y que, además, si uno pudiera conseguir ese libro tendría todo resuelto. Eso no tiene nada que ver con la naturaleza de la matemática.
LEON HENKIN




Luego de muchos años de ser docente, de estar en la Facultad, de conversar con alumnos y profesores… o sea, luego de muchos años de dudar y convencerme de que cada día tengo menos cosas seguras, me parece que nada de lo que pueda proponer para pensar tiene el carácter de final, de cosa juzgada.
Por eso, se me ocurrió poner una cantidad de pautas a ser consideradas como bases en una clase (de matemática en principio, pero son fácilmente adaptables a otras situaciones similares) en el momento de comenzar un curso. Y como yo las he adoptado hace ya tiempo, quiero compartirlas.
Éstas son las reglas del juego:

• Es nuestra responsabilidad (de los docentes) transmitir ideas en forma clara y gradual. Lo que necesitamos de ustedes es que estudien y piensen.



• Ustedes nos importan. Estamos acá específicamente para ayudarlos a aprender.


• Pregunten. No todos tenemos los mismos tiempos para entender. Ni siquiera somos iguales a nosotros mismos todos los días.

• La tarea del docente consiste –prioritariamente en generar preguntas. Es insatisfactorio su desempeño si sólo colabora mostrando respuestas.

• No nos interesan las competencias estériles: nadie es mejor persona porque entienda algo, ni porque haya entendido más rápido. Valoramos el esfuerzo que cada uno pone para comprender.

* (Ésta vale sólo para el ámbito universitario). En esta materia no hay trabas burocráticas. En principio, toda pregunta que empiece con:

“Como todavía no rendí Matemática 2 en el CBC…”, o “Como todavía no aprobé Historia de la Ciencia…”, o “Como todavía no hice el secundario…”, o
“Como todavía no me inscribí…”, etcétera,

Y que concluya con: “¿Puedo cursar esta materia…?”, tiene por respuesta un: “¡Sí!”.

• Pongamos entusiasmo.

• La teoría está al servicio de la práctica. Este curso consiste en que uno aprenda a pensar cómo plantear y resolver cierto tipo de problemas.


• No se sometan a la autoridad académica (supuesta) del Docente. Si no entienden, pregunten, porfíen, discutan… hasta entender (o hasta hacernos notar que los que no entendemos somos nosotros).



¿CÓMO ESTUDIAR?


a) La primera recomendación es: tomen la práctica y traten de resolver los ejercicios. Si se dan por vencidos con uno o simplemente no saben una definición, lean la teoría y vuelvan a intentar tratando de razonar por analogía. Eviten estudiar primero y enfrentarse después con la práctica.

b) Traten de entender qué significa cada enunciado propuesto, ya sea de un ejercicio o un resultado teórico.

c) Traten de fabricar ejemplos ustedes mismos… ¡Muchos ejemplos! Es una buena manera de verificar que se ha comprendido un tema.

D) Dediquen una buena parte del tiempo a pensar… Ayuda, y es muy saludable.

Les recuerdo que aquí, pueden encontrar mucho más material para seguir este camino. Es el blog que dirige el mismísimo Adrián.

Quiero despedirme con una frase que Jengibre, allá por los primeros tiempos del salón, dejó en calidad de aporte:

"Si el hombre se hubiera ceñido a sus limitaciones, aún estaría en la caverna".

Nos vemos, hasta que el universo vuelva a juntarnos.

¡Elen sila lumenn omentielmpo!
Namarië, melon.

Microcuentos

Así es, amigos del salón. “Microcuento” una técnica que, como los haikus, en los últimos tiempos, se ha expandido mucho y es bastante novedosa, relativamente hablando.
Los microcuentos, a pesar de ser una palabra que deriva de “cuento”, no tiene muchas similitudes con el cuento que conocemos nosotros.
La estructura básica de un cuento clásico es: principio, nudo y desenlace. Este orden puede variar, y de allí surgen los distintos tipos de estructuras de cuento, y ahí nos metemos en otros temas. Pero lo cierto es que, alterados o no, esos son siempre los momentos del cuento. Por el contrario, el microcuento es algo muy distinto. No presenta ni un principio, ni un conflicto, ni un desenlace. Presenta características propias y que lo definen como tal.
Entre ellas podemos citar:
1. Es de longitud muy breve. Los más cortos son de siete y seis palabras.
2. Presentan al lector situaciones extrañas, abstractas y absurdas que a simple vista parecen efímeras, pero son de una gran profundidad.
3. Dejan al lector una sensación de desconcierto. El lector sufre la necesidad de volver a leerlo para saber que no se le escapó nada.
4. Son de carácter muy variado y abordan distintos temas.
5. Presentan hechos ambiguos. Esto es, el lector debe, en muchas ocasiones, inferir el significado de las palabras a base de las pistas o sugerencias que deja el breve texto. Es decir, es algo sugerente y no explícito. Da mucho más lugar al lector a hacer especulaciones y usar la imaginación.
6. También son conocidos con el nombre de: microrrelato, minicuento, minificción, microficción, cuento brevísimo, etc.
7. Sus orígenes se remontan a tiempos muy antiguos. Ya en la edad media se podían encontrar breves escritos de características similares a los microcuentos. En la época de Jesús, por ejemplo, si vemos el Evangelio con atención. Notaremos que todas las parábolas que él usa, sacadas del contexto bíblico, son pequeñas historias con características parecidas a la del microrrelato.
Pero el microcuento nació como tal en la década del 1950, en Argentina, cuando Adolfo Bioy Casares junto con Jorge Luis Borges publicaron una antología de cuentos breves. Luego volverían a hacerlo, mezclando los microcuentos con poemas. Y luego, en la década de los ochenta, todo terminaría por expandirse. Lo que había comenzado en Buenos Aires, pasaría a Estados Unidos y luego al resto de América.

A continuación algunos ejemplos de microcuentos (pido perdón a los lectores porque no recuerdo ni los títulos, ni los autores de estos microcuentos):

«Cuando despertó, vio que el dinosaurio seguía allí».

«El último hombre sobre la tierra estaba sentado sólo en un dormitorio, cuando alguien tocó a la puerta».

«Cuando abrió el periódico, vio su propio obituario».

«Vendo zapatos de bebé, sin usar».

Como podemos apreciar más arriba, esto nos deja un perfecto campo para conjeturar. Y esto, queridos amigos, lo harán ustedes. ¿Por qué? OH, quiero que comencemos a hacer esto mucho más movible y que ustedes comiencen a aportar sus propias opiniones. Recuerden que las interpretaciones de los segundos sentidos pueden variar según el individuo, y no hay nada concreto y absoluto.
¿Qué les dice el primero?
¿Qué refleja el segundo?
¿Qué tristeza posee el cuarto?
¿Qué quiere decir el tercero?
Realidades paralelas, bromas, trágicos accidentes, mundos imaginarios, todo lo que vosotros creáis que pueden significar, decidlo. De este modo podremos disfrutar un buen rato para pensar, y nos llevaremos un montón de puntos de vista distintos.
Hay una anécdota que me gustaría contar aquí. Se trata de lo que dijo una amiga muy querida con respecto al segundo microrrelato…
… traduzco toda la conversación que mantuvimos, íntegramente, para que podáis pillar el chiste:

—¿Qué significa para vos el del último hombre sobre la tierra?
—Que quizá una nueva raza se formó en la tierra después de la destrucción del ser —responde vuestro servidor—. ¿Vos, qué pensás?
—Creo que podés tener razón… ¿y extraterrestres?
—Me gusta… pero también puede que el hombre crea (a causa de X motivo), que es el superviviente de una catástrofe nuclear.
—Muy bueno… aunque… ¿Te acordás del problema que voz me planteaste una vez sobre la eminencia?
—Sí, es mi problema favorito.
—Bueno, tal vez, el hombre era el último de la tierra… pero podía ser que aún quedaran mujeres.

Allí queda ese punto. Debo admitir que me estuve riendo un buen rato de su razonamiento que, después de todo, es bastante correcto. A ver, al final hay mil respuestas para este microcuento, pero la suya me gustó particularmente ya que, como pueden saber en entradas anteriores, utiliza el mismo razonamiento que mi problema favorito.

Al ser algo tan sutil, tan bello y tan breve, siempre están las ganas de probar a ver qué sale. Como escritor aficionado en etapa de prueba que soy, admito que he intentado entrar al noble mundo de los microcuentos. Hasta ahora he hecho cuatro, espero seguir haciéndolos ya que, como dije antes, son muy lindos y agradables. ¿Para qué sirven? Verán, tienen una gran utilidad. No, no es sólo pensar; también conlleva el arte de saber medir las palabras. Es decir, muchas veces en un cuento, es mejor no decir mucho ya que puede que la lectura se vuelva tediosa con muchas palabras. Ahora bien, al tener que hacer algo tan breve como un microcuento, el resultado es, inexorablemente, aprender a valorar el peso de cada palabra. De este modo, al tener en claro cuál es el inmenso valor de las palabras, se puede economizar su uso y hacer algo mucho más breve y ameno. Esto, en un cuento, es indispensable.
Así que, si me permiten mostrarles parte de mi creación, aquí van algunos microcuentos de mi inventiva:

reflejo

Se miró en el espejo y no se vio.

La investigación más extraña del mundo

Cuando terminó de investigar, supo quién era su propio asesino.

Tiempo…

Eran las once. Cuando miró el reloj, marcaba las doce.
Eran las doce. Cuando miró el reloj, marcaba las diez.
Era la una. Cuando miró el reloj, marcaba las siete.
Eran las siete. Cuando miró el reloj, marcaba las once.

Sir Nícolas Vásquez de Aragón.

OH, y faltó uno más. Este es una versión reducida de otro cuento un poco más largo, que podéis encontrar en ”Los Cuentos del Hada Jengibre”.

El padre despertó aturdido por el
timbre del teléfono, y cuando descolgó el auricular una voz severa y potente le dijo: -Hemos arrestado a su hija por contrabando de caramelos.

Este último aún no tiene título… así que si queréis sugerir uno, podéis hacerlo. Tenía pensado nombrarlo “Contrabando de caramelos”, ¿vosotros qué pensáis?

Y así, mis queridos amigos, volvemos a finalizar una entrada del salón.
Será pues, hasta que el universo nos vuelva a juntar… hasta que volvamos a buscar más conocimientos y saber.

Curiosidad matemática...

Mi muy estimado público, perdonad la demora en esta entrega. La verdad, estoy teniendo algunos problemas con el cortar y copiar de Microsoft Word, pero creo que ya quedarán solucionados. Espero que esta entrada pueda publicarse por fin.....
Veremos que pasa. Si después de esto no consiguen ver la entrada propiamente dicha, es que he vuelto a fallar. No se preocupen, seguiré intentándolo.

Buenas tardes, aventureros del saber. Ya saliendo de nuestras breves vacaciones, ¡Increíble que sea un mes y medio de vacaciones! Volvemos al trabajo duro.
Para evitarnos un largo monólogo, vamos a ir al grano. Os dije al comienzo de este blog que no sólo veríamos las cosas que hasta ahora hemos visto, sino también, abordaríamos otros temas. Hoy vengo dispuesto a abordar un nuevo tema. Hoy volvemos a abrir una sección lejana y hermosa, que habíamos dejado un rato de lado. ¡Matemática a la carga! Pero a diferencia de entregas anteriores, hoy quiero proponerles una curiosidad matemática.
¿Están preparados para embarcarse en este buque? No, no vamos al triángulo de las Bermudas, vamos a ir directamente a la matemática, al centro de la razón y la lógica, vamos a ir hasta la ciencia madre de otras ciencias, y nos sumergiremos en sus tempestuosas aguas.
Con esta predisposición de espíritu aventurero, partamos.

¿Nunca os habéis preguntado eso de la reglas de los signos? Cuando somos críos, (bueno…. En mi caso tampoco es que haga mucho de eso….), viene la maestra y dice: “Estudiantes, hoy estudiaremos las reglas de los signos”. Luego se da vuelta y comienza a dar la explicación en el pizarrón.
Primero comienza así:
+ * += +
Ejemplo: +9 * +10= +90
Los estudiantes copian en sus carpetas.
Luego la maestra escribe en el pizarrón:
+ * -= -
Ejemplo: +9 * -10= -90
Ante esta revelación los estudiantes piensan lo siguiente: “¿¿¿EH…???” Nadie entiende nada, pero aún así copian y hacen caso, sumisamente, a lo que les indica su docente.
Luego la maestra sigue, y tal vez este sea el peor:
- * -= +
- Ejemplo: -9 * -10= +90

Esto termina de descolocar a los chicos. ¿Qué ocurrió aquí? El primero puede ser lógico, el segundo es algo rebuscado pero si la maestra lo dice tiene que ser verdad, ¿y el último? ¿Qué pasa con el último? ¿La maestra se enloqueció? Eso no tiene ni ton ni son, ¿verdad? Los estudiantes se vuelven extrañados, sorprendidos e incluso, admirados.
“Esto es imposible”, piensa uno. Se da vuelta y mira a su compañero de banco. Su amigo tiene la misma expresión de desconcierto en el rostro que él. “La profesora se terminó de chiflar”, piensa el otro. Mira a los lados buscando que el compañero más inteligente le explique, pero el más entendido tampoco tiene una respuesta plausible. Todos están en un aire de desconcierto total y allí comienzan los murmullos.
-¿Qué es esto? –pregunta uno.
-No sé –responde sorprendido, el otro.
-¿Qué le pasa a la maestra? –interroga el del fondo.
-¿Ustedes ven lo que yo veo? –dice uno que tiene miedo de estarse volviendo loco.
Otro cuchichea por lo bajo: -Más por más es igual a más; menos por más es igual a menos; y… ¿Menos por menos es igual a más? Esto no tiene sentido-.
-¿Qué ocurre con la profe? ¿Se habrá olvidado de desayunar? ¿Le falló el libro de docentes? ¿Hizo trampa en el magisterio?- son algunas de las perlas de sabiduría y preguntas que rondan el aula.
De inmediato la maestra se da cuenta de los cuchicheos, se voltea y pregunta: “¿Qué tanto conversan?” Luego se vuelve y continúa escribiendo. Los chicos, horrorizados, ven que ahora se meten las fracciones:
Ejemplo: +1/2 * +2/1= +1
Ejemplo: +3/4 * -1/2= -3/98
Ejemplo: -2/3 * -4/5= +8/15

Luego entran las divisiones y demás. Ejercicios combinados, divisiones, ecuaciones, planteamientos, trigonometría, números compuestos, números imaginarios, funciones, proporciones, razones, álgebra y siguen incontables ramas, que poco a poco, van arrastrando las reglas de los signos.

Los chicos, aún más atemorizados, se quedan callados. Un silencio seputcral inunda el salón de clases. La maestra se vuelve, y con el mejor tono de bruja que tiene, pregunta: “¿Alguien tiene una pregunta?”
Nadie habla, a pesar de que todos tienen la misma inquietud (“¿El mundo se dio vuelta y yo no me enteré?”). Nadie levanta la mano ni inquiere: “¿Profesora, por qué…?” Todos están expectantes a que su docente les de alguna explicación lógica o razonable; todos esperan a que ocurra un milagro. El milagro nunca ocurre, y la sombra de la duda se cierra para siempre sobre ellos, privando esa respuesta tan anhelada.

Es costumbre, después de ver esta escena, que muchos estudiantes, teman hacer preguntas a su profesor cuando no entienden algo. Un grave error, hay que decirlo, por parte de los docentes y educadores. La gran mayoría de los maestros, cada vez que les preguntan sobre algún tema o punto de la explicación en particular, se ofuscan y optan por dar una respuesta vaga, imprecisa y cargada de algo que dice: “No estoy para que me hagan preguntas”. No todos, lo admito, pero muchos lo hacen y me han tocado profesores de este estilo. Es algo chocante, luego, para el alumno, exponerse a una amonestación o sanción. Por consiguiente, la curiosidad del alumno queda acallada por el temor. Sumado, claro está, a que cada vez hay más jóvenes desinteresados del estudio, no se busca respuesta por ningún tema de curiosidad. Esto es, el estudiante sabe qué es lo que no entiende y qué quisiera profundizar, pero no se atreve a decirlo primero, porque cada vez el aprender y conocer le importa menos; y segundo, porque el profesor no se muestra abierto a responder inquietudes y a ampliar conceptos o profundizar en temas de interés. La educación, y esto es cierto, está decayendo mucho últimamente, y eso se debe a un desgano de ambas partes. Es decir, los profesores, al ver que no son escuchados pierden interés por enseñar, y se apaga la chispa de la pasión; y los estudiantes, a su vez, pierden interés por conocer. Es así, que es un gran círculo que va creciendo y que hay que intentar detener. El hecho de que no exista más curiosidad o interés por parte de los estudiantes, está demostrando que el ser humano está perdiendo sus ansias de conocer. La característica fundamental del ser, es precisamente, la de su eterno afán por conocer y explorar cosas desconocidas. Cuando evidenciamos esto, debemos tener en cuenta que hay varios factores que influyen en esta conducta, uso irresponsable de las nuevas tecnologías, desinterés de parte de los padres, entre otras. Tenemos que tener en cuenta que esta situación debe de cambiar imperativamente, porque hay que tener presente que esto puede conducir a un gran desastre. Sin curiosidad no hay conocimientos, y sin conocimientos no hay decisión, sin decisión no hay capacidad de discernimiento, y sin todo eso, los jóvenes de hoy en día, se convertirán en esclavos de mandatarios, obedeciendo órdenes como ovejas, sin entender ni poder interpretar el mundo que los rodea bajo su propio criterio y con un juicio independiente. Esto conseguiría una conducta masiva, y el pensamiento de: “Hago lo que hace la mayoría sin saber porqué lo hago, sólo los sigo porque son mayoría”. Por ende, he decidido publicar esto. Sí, lo sé, no haré mucho para contrarrestar el efecto nocivo que están teniendo las aulas, pero quizá podamos llegar a alguna conclusión y quizá, esto le pueda servir a alguien que ande paseando por la red.

Notarán, sin duda, que la curiosidad que les propongo es la siguiente:
+ * += + (Esta es bastante lógica)
+ * -= - (como bien dijimos, esta es menos lógica pero se sustenta de algún lado).
-*-= + (ahora sí, entramos en la dificultad).

En realidad no es ninguna dificultad, como ya vimos anteriormente en otros episodios de lógica lateral, visto desde otro ángulo todo puede ser resuelto fácilmente. Así que comencemos nuestra labor.
Así a simple vista, puede que esto nos parezca un problema irresoluble, pero, y siempre aplicando lógica lateral, podemos intentar alcanzar una solución para este enigma.
Ahora bien, vamos a tratar de pensar con lógica lateral, todos y cada uno de los casos que se nos presentaron. Como pista, les diré que esto sí tiene respuesta, y es muy simple, como todo lo lateral. ¿Listos?

Figuremos, pues, una recta numérica. En el centro el cero, hacia la derecha los números positivos, y hacia la izquierda los números negativos. Como cuando estudiamos los Z.
Ahora vamos a recordar cual era nuestra primera regla: +*+=+. Lo que nos quiere decir: “Un número positivo, por otro número positivo, dará un resultado con signo positivo”.
Imaginemos un coche, que avanza a treinta Km/h, y que han transcurrido cuatro horas.

En número sería:

Auto: V: 30 Km/h (V=velocidad) tiempo de desplazamiento: 4 h.
Entonces tenemos que el coche ha avanzado a treinta kilómetros por hora, durante cuatro horas. Entonces tendríamos: 30Km/h durante 4h = 30*4= 120Km. O sea, que en cuatro horas, y a una velocidad media de treinta kilómetros por horas, recorrió ciento veinte kilómetros. Ya que tenemos la deducción matemática, vamos a ir a una gráfica.
Pensemos en que la trompa del coche está ubicada hacia los números positivos, y hagámoslo avanzar a treinta kilómetros por hora, y durante cuatro horas.
[NOTA: Lo más recomendable es que hagan un dibujo].
Pensemos que si el auto se desplaza hacia delante, treinta kilómetros por hora, después de cuatro horas de avanzar, se ubicará en el 120 de los números positivos. ¿No me creéis? Hagan la prueba.
Tenemos solucionado esta primer regla… ¡Vamos a la segunda!

Imaginemos al mismo coche, con la trompa hacia los números positivos, y que está posicionado en el cero de nuestra recta numérica.
Recordemos la fórmula: -*+=- Lo que quiere decir, traducido al lenguaje normal, que: “Un número positivo, multiplicado por un número negativo es igual a un número negativo”.

Tenemos a nuestro auto, la trompa del coche apunta hacia la derecha (los números positivos), y damos comienzo a nuestros experimentos.
Supongamos que el auto avanza a treinta kilómetros por hora, durante cuatro horas…. Pero marcha atrás. Todos sabemos que los autos tienen marcha atrás, que es la más potente, y que como su nombre lo indica, sirve para hacer retroceder el auto. O sea, ir hacia atrás. Recordemos en qué posición estaba nuestro coche. Tenía la trompa hacia los positivos, lo que quiere decir, que si va marcha atrás, debe ir en dirección opuesta a la trompa. O sea, hacia los números negativos, o la izquierda de nuestra recta numérica.
Bien. Ponemos marcha atrás, y arrancamos. Treinta kilómetros por hora, durante cuatro horas. Pero, recordemos que avanzamos marcha atrás, o sea, retrocedemos en lugar de avanzar. Serían entonces, menos treinta kilómetros por hora. Lo que a número es traducido como: -30Km/h. durante: 4h. Lo que quedaría como: -30Km/h*4h=-120
¿Qué ocurrió aquí? El coche iba retrocediendo treinta kilómetros por hora, fíjense en la recta que dibujamos. El coche iba retrocediendo, hacia los números negativos, treinta kilómetros por cada hora. Una hora=treinta kilómetros hacia atrás. Cuatro horas=ciento veinte kilómetros hacia atrás. -30*+4=-120

Y ahora vamos con la pregunta que nos inquieta más. ¿-*-=+? ¿Cómo puede ocurrir este fenómeno? ¿Qué circunstancia sobrenatural tiene que acontecer para generar este efecto tremendamente ilógico? Ninguna causa sobrenatural, sólo fría lógica.
Traduzcamos a lenguaje común: “Un número negativo por otro número negativo, dará como resultado un número positivo”.
Veamos. Supongamos que tenemos nuestro coche, está ubicado en el cero, y ya lleva un largo rato yendo marcha atrás. Esto es, sigue con la misma velocidad (30Km/h) y sigue marcha atrás. Ahora se ha detenido en el cero, y el hombre que maneja se pregunta: “¿Dónde estaba yo hace cuatro horas?”
Quiero que veáis bien la pregunta: “¿Dónde estaba yo hace cuatro horas?” No es: “¿Dónde estaré yo en cuatro horas?” sino: “¿Dónde estaba?”
Entonces, continuemos. Yo he ido en mi coche, marcha atrás, 30 Km/h, y ahora estoy en el cero. Si sigo pisando el acelerador, y sigo marcha atrás, seguiré retrocediendo; pero ahora, yo quiero saber en qué lugar me hallaba yo hace cuatro horas. O sea, el -4.
Esta parte puede ser confusa al principio, pero traten de verlo bajo la luz de razón pura.
Háganse esta pregunta: “¿Adónde tendría que haber estado yo, hace cuatro horas, para llegar al cero a 30 Km/h marcha atrás?” el hombre, tuvo que haber estado en los 120 kilómetros, para que yendo siempre marcha atrás, a 30 Km/h durante 4 horas, llegara al cero.
Se los planteo de otra forma. Que tal si está en el punto cero a las tres de la tarde; siempre marcha atrás, siempre a 30 Km/h. hagamos que las manecillas del reloj vayan hacia atrás, cuatro horas. Estarían en las doce del mediodía. Muy bien, ¿en qué sitio estaba el auto a las doce del mediodía? Si sabemos que yendo marcha atrás a 30 Km/h, a las tres de la tarde el auto estaba en el punto cero.
La respuesta es muy sencilla. El auto tuvo que estar (hace cuatro horas) en el kilómetro 120, para que yendo a 30Km/h marcha atrás durante cuatro horas, pudiera llegar al cero. Como ya dijimos antes, si sigue acelerando marcha atrás seguirá yendo hacia los números negativos. No obstante, la pregunta está hecha en pasado.

O sea: -30Km/h [siempre 30Km/h marcha atrás (en este caso la marcha atrás se representa con el menos)] por -4 horas [las cuatro horas de desplazamiento (en este caso el signo menos está representando que fueron tres horas atrás)] es igual a +120 Km.
Veámoslo así:
Yo estoy en el kilómetro ciento veinte, me muevo hacia atrás 30 Km/h. después de una hora habré llegado a noventa kilómetros (siempre voy hacia atrás). Dentro de otra hora estaré en sesenta kilómetros (treinta kilómetros menos). Dentro de otra hora estaré en treinta kilómetros (otros treinta kilómetros menos). Y tras la cuarta hora estaré en el punto cero o de arranque (menos treinta kilómetros). O sea, que si voy 30Km/h marcha atrás, cada hora que pase restará treinta kilómetros. Por ende, a la pregunta: “¿En dónde estaba hace cuatro horas?” Se debe responder: “Hace cuatro horas estaba en el kilómetro 120”.
Y esta, damas y caballeros, es la forma de representar el porqué (-) * (-) = (+)

Este material, como no podía ser de otro modo, lo saqué de Adrián Paenza, gran matemático argentino, y de uno de sus libros. Aquí tienen un enlace a YouTube, en que el señor Paenza da esta explicación en su programa de TV: “Científicos, industria argentina”. Esta curiosidad, según cuenta él, se la sugirió un decano de una universidad de Madrid. Todo está en el vídeo.
Además, trasteando por Internet, encontré algo que puede serles útil. El blog de Adrián Paenza, es un blog dirigido por él mismo, en el que plantea problemas y curiosidades, dando la posibilidad a los lectores y comentaristas, de exponer sus teorías, hipótesis, posibles soluciones, postular dudas. Es un espacio que encontré interesante, y que puede serles, como ya dije, muy útil. Espero, sinceramente, que lo disfruten.
Espero, además, que puedan haber comprendido todo lo que les estuve tratando de explicar, y que el enlace a YouTube les sea más aclaratorio. Luego vamos a hablar de la conveniencia de la simplicidad, pero eso será otro día. También lo pueden encontrar en el blog de Paenza.
Pero si tenéis alguna duda, no dudéis en exponerla y juntos trabajaremos para solventarla y hacer todo más claro y ameno. Den consejos, sugerencias, críticas constructivas, así puedo ir mejorando poco a poco. Es la primera vez que intento hacer esto, así que tenedme paciencia, por favor. Que puedo haber explicado mal las cosas, enredado datos, o confundido ideas. Si notáis algo extraño, hacédmelo saber. Y si no entendéis algo recuerden, aquí nadie es mejor o peor por entender o no entender las cosas. Aquí todos somos iguales y todos tenemos derecho a equivocarnos, mil veces, si lo necesitamos, antes de aprender a hacerlo. Así que si tenéis que decir: “Necesito una segunda explicación”, no dudéis en hacerlo, pues os contestaré lo mejor que pueda y juntos, todos juntos, trabajaremos para que toda duda quede solventada.
Recuerden la introducción de este post. La gran mayoría de los problemas de aprendizaje surge del hecho de que los estudiantes no preguntan cuando sienten curiosidad o duda.
Así pues, hasta que el universo nos vuelva juntar, pidiéndonos comenzar otra vez el camino del saber.

P.S. En la barra lateral de la derecha, podéis apreciar nuevos cambios, e introducciones en el sumario de blogs interesantes que pueden gustaros.
P.P.S. Pequeño detalle… en el vídeo donde aparece Paenza, él da la misma explicación que dí yo. Sin embargo, el lo hace con 40Km/h y tres horas de desplazamiento. Espero que no les sea muy molesto, si lo desean, puedo cambiar los números del post para que coincidan con el vídeo y les sea más fácil ubicarse.

¡Lo logré!

[Edición: Voy a intentar poner un vídeo de YouTube en esta entrada. Para no perder el tema... el vídeo será, efectivamente, el mismo que les dejé más arriba; siempre quise probar qué sería dejar un vídeo y ahora que he dado con el código lo intentaré. Si algún día puedo, crearé un blog de prueba como cierto colega que tuvo esa brillante idea. Por ahora, así nos quedamos].

Solución al problema de las ocho monedas y las dos pesadas.

Bien, ha pasado un día más del establecido, pero he de excusarme diciendo que ayer no pudee publicar la solución porque estuve bastante atareado. Aún así creo que este problema ha sido bastante lindo.
Bien, pues ha llegado la hora de publicar la respuesta de ambos problemas, pero antes, a los que lo han hecho bien, les digo: “¡Felicitaciones!” A los que no, les digo que aquí lo que cuenta es el esfuerzo y el deseo de mejorar, además, claro, el empeño. Verán, como después de algún tiempo haciendo esto luego no les será ni difícil. Pero vamos a las soluciones:
A el primer problema el de las ocho monedas y las dos pesadas esta es la solución:
Este problema presenta ninguna dificultad, aún así se debe resolver analizando posibilidades. La solución propiamente dicha sería la siguiente:
Tengo ocho monedas, una de ellas es más pesada que las otra, y para descubrirlo tengo a mi disposición la balanza del verdulero, pero sólo puedo efectuar dos pesadas. A ver, el proceso para resolver el problema es confuso de explicar porque tiene que ver de acuerdo a la perspectiva de cada uno, lo mejor es sentarse un buen rato y pensar de forma lógica que se puede intentar. Lo más lógico sería separar a las monedas, y aquí entra la combinación y el tanteo de posibilidades. El: ¿Qué pasaría si…? Bien, como sería algo confuso publicar aquí todas las múltiples combinaciones posibles sólo pondré la que se necesita para encontrar la moneda más pesada:
Tomamos las ocho monedas, las dividimos, en seis y dos, y luego hacemos lo siguiente. Ponemos tres monedas en un platillo, y tres monedas en otro. Hay dos posibilidades:
Sabemos que la moneda más pesada debe de estar entre las ocho, al hacer la división de las monedas tenemos que la moneda más pesada puede estar en el grupo de dos o de seis, supongamos que quedó en el grupo de dos monedas. Al poner tres monedas en un platillo, y tres en otro la balanza quedaría equilibrada ya que esas seis monedas serían idénticas en todos aspectos, por lo cual sabemos sin temor a equivocarnos que la moneda más pesada es una de las dos que tenemos en la mano. Bien, ya hemos efectuado una pesada, sacamos las seis monedas de la balanza y ponemos las otras dos que teníamos en la mano. Una en cada platillo, una moneda será más pesada, por lo que uno de los platillos se irá hacia abajo… con lo cual, la moneda que esté en el platillo que se va hacia abajo es la moneda más pesada y por tanto, la que andábamos buscando.
Ahora bien, esto no se queda allí, hay una segunda posibilidad. Puede que la moneda más pesada estuviera entre las seis monedas que habíamos separado. Con lo cual, deberíamos seguir poniendo las seis monedas en la balanza, tres en un platillo y tres en otro, uno de los platillos se irá hacia abajo, entonces podemos ver que entre esas tres monedas de ese platillo se encuentra la moneda más pesada. Bien, descartamos las otras tres que estaban en el otro platillo y nos quedan tres monedas y una sola pesada, hacemos lo siguiente: Tomamos una de las tres monedas y la dejamos en nuestra mano, luego tomamos otra de las dos monedas que quedaban en el platillo y la ponemos en el otro platillo que había quedado vacío, ahora bien, el proceso es muy simple. Si la balanza se equilibra eso significa que la moneda que tenemos en nuestra mano es la más pesada, si por el contrario uno de los platillos se va hacia abajo, la moneda que esté en ese platillo será la que buscamos.
Ahora bien:
Separamos las ocho monedas, seis por un lado, y dos por el otro, ponemos las seis monedas en la balanza, tres en cada platillo, dos posibilidades, que la balanza se equilibre, con lo cual la moneda está entre las dos que tenemos en nuestra mano, o que la balanza se desequilibre, con lo cual sabemos que la moneda más pesada está en el platillo que se va hacia abajo. Si la balanza se equilibra, o sea, si se da la primera situación, debéis sacar las seis monedas de la balanza, y pesar las dos monedas que habíamos separado, una en cada platillo, obviamente, la más pesada hará que el platillo se vaya hacia abajo y ¡Eureka! Segunda posibilidad, la balanza se desestabiliza, la moneda debe estar entre las tres que están en el platillo que se va hacia abajo. Sacamos las tres del otro platillo y las guardamos en el bolsillo para comprar una manzana con las otras dos que ya habíamos descartado, y centramos nuestra atención en las tres monedas que quedan en la balanza. Agarramos una al azar, y pesamos las dos que quedan, una en cada platillo, si la balanza se equilibra la moneda que tenemos en la mano es la moneda que andábamos buscando. Si por el contrario la balanza se desestabiliza, la moneda que está en el platillo que se va hacia abajo, es la escurridiza.
¿Les gustó el problema? ¿Qué les pareció? ¿Piensan que fue demasiado infantil? Quiero escuchar vuestra opinión.
Ahora sí, la parte graciosa y divertida del problema…
¿Por qué el hombre no subía directamente por el ascensor hasta el décimo piso?
¡Sencillo. El hombre era muy bajito y sólo alcanzaba al botón número siete del ascensor.
¿Les gustó?
Bien, por ahora me despido hasta que el inmenso e infinito mar de la sabiduría vuelva a encontrarnos.
OH… y ya que creo que eso de las frases y perlas de sabiduría se nos fue olvidando quiero dejar una para que resuene en todos nosotros durante este día, ¿Listos? Allí va:
La Utopía es el sueño inalcanzable de una sociedad, y actúa como el horizonte. Si nos acercamos diez pasos hacia él, él se aleja diez pasos. Si nos acercamos cien pasos hacia él, el horizonte se aleja cien pasos. La utopía jamás llega porque es lo que nos mantienen vivos, y nos da la fuerza, el deseo de luchar por algo mejor.

Damas, caballeros, lógica…
A los del hemisferio norte desearles unas felices vacaciones de verano, y a los del hemisferio sur, felices recesos de invierno.

El problema de las ocho monedas y las dos pesadas.

Os doy la bienvenida nuevamente, a este gran salón del conocimiento. Y ahora volvemos con un clásico del salón, así es damas y caballeros. Con una de las secciones más esperadas del salón del estudio, (al menos por mi y un caballero) ¡Matemática a la carga!
Hoy vengo dispuesto a darle vida a este blog. Pero antes, desearía decir a los posibles nuevos visitantes del salón del estudio, que seguís invitados a participar comentando, compartiendo experiencias, perlas de sabiduría, puntos de vista, y en fin, haciendo más amplio el salón y llenando un poco más la biblioteca retrospectiva. Así que ya sabéis, seguís estando invitados a formar parte del salón del estudio.
Ahora sin más dilación os presento un nuevo problema matemático. Aquí no deben implementar el pensamiento lateral, sino, la lógica y el raciocinio. Es decir: ¿qué haría con lógica para resolver esto? Se trata de un concepto muy sencillo, y a la vez, la práctica de la lógica también lo es. Claro está, es lamentable que no se pueda aplicar siempre en la vida cotidiana, ya que el positivismo científico, y la determinación filosófica son cosas que ya casi no existen hoy por hoy. Pero, a pesar de ello, no está de más aplicar un poco de lógica a nuestras vidas.
El problema que les presentaré a continuación tiene una muy fácil solución, si es que le prestan atención, y un buen rato lo piensan con determinación. Aquí lo que más importa es que ustedes piensen, o sea, que le den vueltas en la cabeza al planteo, para poder encontrarle una solución posible. Como dato de ayuda les diré, que este problema sí tiene solución. Ahora, sólo les queda a ustedes pensarla. El enunciado está sacado de ¿Matemática estás ahí? Número 3, de Adrián Paenza, y como todo lo que este gran caballero de los números hace, es sublime.
He aquí pues, el problema de las ocho monedas y las dos pesadas.
NOTA: en términos científicos, el peso de un cuerpo está determinado por la cantidad de masa de este cuerpo multiplicada por la fuerza de gravedad de la tierra, (algo así como 9,8) y eso nos dará el peso del cuerpo. Pero, vulgarmente, se le suele confundir con cantidad de materia que posee un cuerpo, y este error se ve más claramente en la compra. ¿Péseme dos kilos de pan? Bien, el término pesar está mal usado, debería de ser: Masar, (por favor no se rían) y en el peor de los casos debería decir: “Péseme dos kilogramos fuerza de pan.” Con lo cual, nos seguiría sonando raro. Bien, la gente tiende a confundir cantidad de materia en un cuerpo, con atracción que ejerce la tierra, (u otro cuerpo que produzca un campo gravitatorio) sobre dicho cuerpo. Y para los menos entendidos en esto, la gente suele confundir el dinamómetro con la balanza. Ahora…. Ustedes se estarán preguntando: “¿y para qué diablos este tipo me está contando esto?” bien, yo también haría lo mismo, pero cuando sepan de que va el problema lo entenderán. Como va a ser muchísimo más fácil que nos entendamos como hablamos habitualmente, para este problema se utilizará la expresión: “Pesar, o peso.” Para hacer alusión a saber cual es la cantidad de masa de un cuerpo. Sí, lo sé, el error es grave, y ya está muy arraigado en la costumbre popular, y que yo venga y lo ponga aquí no contribuye mucho a esclarecer la terminología, pero esto lo hago únicamente para que el problema puedan entenderlo todos, y sea más familiar el vocabulario. Otro día, vamos a hablar sobre los errores de terminología en la vida diaria. Pero por lo pronto aquí tenéis el problema.
Cita.
Supongamos que tenemos ocho monedas, que en apariencia son iguales, pero, que una de esas ocho monedas es más pesada, (que tiene más masa) que las otras. Entonces siete monedas idénticas, en peso y apariencia, y una moneda diferente en peso a las demás. queremos saber cuál de esas ocho monedas es la que pesa más, y decidimos que la mejor forma sería ir a la verdulería, (lugar en donde se expenden frutas y verduras, por si el dialecto cambia) cuando vamos a la verdulería y le explicamos al tendero la situación, este de buena gana accede a prestarnos la balanza. La balanza del tendero es de esas antiguas que constan de dos platillos suspendidos en una cruz de metal. El platillo en donde se pone un cuerpo más pesado se va hacia abajo, y el platillo en donde no hay ningún cuerpo, o el cuerpo es más liviano que el otro, se eleva. Y cuando en cada platillo hay la misma cantidad de materia, estos se equilibran perfectamente. El verdulero nos dice que podemos usar la balanza, pero, que sólo podemos efectuar dos pesadas.
Nosotros, como somos tan curiosos, y queremos saber cual de las ocho monedas es la más pesada aceptamos de buen grado, y nos ponemos en frente de la balanza. Y sabemos que:
Tenemos ocho monedas, una de esas es más pesada que las otras, y sólo podemos encontrar la moneda más pesada efectuando dos pesadas en una balanza de platillos.
¿Cuál es la forma en que deberíamos hacerlo?
Final de cita.
El problema se resuelve fácilmente, siempre usando la lógica y la cabeza, no hay juegos de palabras ni nada por el estilo, no hay nada oculto, como la vez anterior. Aquí sólo hay lógica pura, y claro, algo de matemáticas. Recordadlo, debéis pensar bien antes de exponer la solución, y seguid pensando. Aquí lo importante es pensar, con un lápiz y un papel a mano, y unas buenas horas pensando puede que el enigma se solucione. Aquí os adelanto, el problema es, como se diría en mi país, una verdadera pavada. Se puede solucionar con gran facilidad, y es muestra de que el ser humano puede usar lógica para resolver muchas situaciones problemáticas.
Ah… y ya estáis avisados, el problema no se resuelve con golpes bajos, esto es: la solución no es que le vamos a contrariar al verdulero, y lo engañamos para hacer las pesadas que queremos, o cosas por el estilo. Damas, caballeros, lógica.
Bien, esta vez tenéis cinco días para resolver este enunciado, y luego nos tomamos vacaciones hablando sobre los libros de nuestra infancia, y algunos temas de literatura. Para agosto, bueno, para agosto hay sorpresas.
Ya sabéis, cinco días, prohibido leer las respuestas de los demás miembros del salón, y… ¡a pensad!
Hasta que el océano del conocimiento, vuelva a reunirnos…. Mas o menos… en cinco días.

P. S. Como me ha parecido que tenéis demasiado poco, y como estoy algo aburrido, quiero reírme un rato. No a vuestra costa, sino, con vosotros. Y aquí les dejo un pequeño anexo. El cual no es obligatorio contestar, pero sería interesante que lo hicieras para acompañar al conocimiento con un poco de risa y felicidad. ¿Qué os parece? Bien, a mi me gusta la idea, y allí va:
Cita.
Un hombre vive en un edificio de doce pisos. El hombre vive en el piso número 10, y todas las mañanas baja por el ascensor hasta la planta baja y se va a su trabajo. Al volver a su edificio, entra, sube al ascensor, llega hasta el piso número 7, se baja allí, y luego sigue hacia el piso 10 por las escaleras.
Final de cita.
¿Por qué no sube directamente en el ascensor hasta el piso número 10?
Ahora sí, no les limitaré el campo, tienen oportunidad para divagar si lo desean, y quiero ver que sale. Por supuesto, yo tengo la solución, y la publicaré en cinco días junto con la otra, pero hasta entonces, me gustaría ver algunas posibles soluciones de mis lectores.