SOLUCIÓN Nº 000XX - LA FIESTA QUE EXISTE Y NO EXISTE

En nuestro capítulo anterior...

... tras el planteo de este ejercicio, nos había quedado una duda pendiente.

¿Por qué se reían los alumnos y docentes?

Y ahora ha llegado el momento de develar este pequeño misterio. La solución de este ejercicio no es tal, y esto quiero hacer notar desde un principio. Cuando hablamos de paradojas, por lo general, la mayoría solemos tomarnos la cabeza con ambas manos, pero no creo que sea para tanto. El viernes un amigo me planteó este mismo problema (así como está en la entrada anterior), y desde entonces he cavilado sobre ponerlo aquí o no. La cuestión era la paradoja, algo que me habría resistido a plantear lo anterior como un problema común de matemática y lógica. Pero he pensado que, haciendo constar este detalle, no habría problemas. ¿Listos para la solución?

Los alumnos piensan lo siguiente: Como la condición de la fiesta es que sea sorpresa, llegados el jueves sin haber tenido la fiesta, el único día que queda es el viernes. Pero por descarte, la fiesta sserá ese día. Pero como nosotros ya lo sabemos, dejará de ser sorpresa y no se hará. Pero lo mismo ocurre si llega el miércoles y aún no tenemos fiesta. Tiene que ser, sí o sí, el jueves, lo que hace que deje de ser sorpresa. Y así también ocurre con el miércoles, el martes y el lunes. Luego esta mujer nos está tomando el pelo.

Como os dije la semana pasada, hay algo más de donde tirar en este problema. Fijaos en que la solución es contradictoria. Los estudiantes, si siguen sus razonamientos, irían el lunes con el convencimiento de que ese mismo día tiene que hacerse la fiesta. Pero como ellos ya lo saben, deja de ser sorpresa. Luego la fiesta no se hace. Pero como ellos no esperan entonces que la fiesta no pueda hacerse, ese día la fiesta puede ser sorpresa. Y así podríamos seguir ad aeternum. Si llamamos "p" a la sentencia "Hoy habrá fiesta", estamos diciendo que p y no p son verdaderas al mismo tiempo, o que p es verdadera y al mismo tiempo es falsa.

Es como si la rectora dijese: "La fiesta será el viernes y la fiesta será sorpresa. Llamaremos "p" a la sentencia "La fiesta será el viernes" y "q" a la proposición "La fiesta será sorpresa". En principio, q es falsa por lo que p afirma. Si la fiesta es, efectivamente, el viernes, p será verdadera. Pero como ya se sabe cuándo se hará la fiesta, la fiesta no es sorpresa (q es falsa). Luego la conjunción p y q es falsa. Como los estudiantes no esperan la fiesta el viernes, si la rectora se las da, resultaría que es una sorpresa (de donde q es verdadera y se tiene que p y q también es verdadera).

Mucho se ha discutido sobre esta paradoja, pero este trabajo se los dejo a vosotros. Por mi parte, lo percibo como un problema extraño de mecánica cuántica :P Pues eso, gente, sed felices.

Hala, el primer problema en más de un año (¿no?) y termina resultándonos una paradoja. Intentaré que los próximos sean más tiernos, ¿vale?

Solución al problema del prisionero sentenciado injustamente

Damas, caballeros…

… una semana ha pasado desde la publicación de nuestro anterior y (por el momento) último enigma de esta temporada. Creo que este enigma en particular necesita ser mucho más pensado y razonado que los anteriores. Creo que el señor Edgar Poe nos da su respuesta en la carta robada: “¿No será la aparente sencillez del misterio lo que lo torna complejo?”. En efecto, existe quien critica a Edgar Allan Poe por crear un cuento ficticio tan osado como lo es el policial.

Jorge Luis Borges, a quien admiro y respeto en cierta medida, dijo que el truco de Poe había sido intelectualizar en demasía todos sus escritos, dando por hecho un género no real. Según Borges, el género policial de Poe sería un género de fantasía, pero una fantasía ligada a la inteligencia. Las máximas de las matemáticas se quiebran ante el abstracto razonador, ante la imaginación intelectual, ante algo que pretende ser real pero que en realidad es pura fantasía. No estoy de acuerdo con lo que dice Borges. O al menos no con todo lo que dice.

Hay quien cuestiona a Poe y a Conan Doyle, pero lo cierto es que ambos dos han hecho lo mismo, al igual que lo hizo Chesterton. Poe ha creado un género extraordinario, y para que ese género exista nos ha creado a nosotros, los lectores de un género policial, los creadores del género policial. Estamos convencidos de que un libro no existe cerrado, sino que su género nace cuando alguien lo lee como tal.

Con todo, volvamos a lo que nos convoca. En efecto, quizás la solución se halle mucho más visible de lo que nos resulta creer, y al final todo se resume al ejemplo que da Dupin en ese mismo cuento. “El jugador inexperto dará los nombres que aparezcan con letras más pequeñas, en tanto que el jugador avanzado siempre dará los nombres que aparezcan en letras más grandes, para confundir al ojo del observador de ese mapa”. Quizás no sea necesario buscar grandes vueltas de tuerca. Quizás, como en la carta robada, el sobre aparezca a la vista de todo el mundo, y por eso mismo, todo el mundo lo ignora, pensando que la solución verdadera tiene que hallarse en los huecos más profundos de la mente humana.

Hace un tiempo hablamos de la navaja de Ockham. Esto es lo mismo. “La solución más sencilla tiende a ser siempre la correcta” es equivalente a “la evidencia de una solución puede conducirnos a ignorarla”. Cuando vemos que los zapatos de un cadáver, por ejemplo, están limpios y sin ninguna anomalía, y sabemos que la noche en que el hombre debería haber salido estaba más tormentosa que el diluvio universal, podemos pensar dos cosas:

El hombre no salió de su casa aquella noche.

1. El hombre salió de su casa, pero para llegar al teatro atravesó un camino cubierto con galerías y techos, cuya función era mantener seco el lugar por donde caminaba, por lo que, a pesar de la tormenta, bien podría haber salido sin mojarse los zapatos.
   

Aplicando la navaja de Ockham o la ley de la sencillez, el primer postulado, por ser el que menos entes o máximas propone, generalmente será siempre el correcto.

¿Cuál es la solución del enigma?

… el hombre se acerca al verdugo, piensa un momento mientras las palabras del juez resuenan en su mente, y luego el juez proclama “¡que elija su sentencia!”.
Toda la muchedumbre proclama a viva voz: “¡Que elija su sentencia! ¡Que se manifieste la verdadera justicia!”.
El verdugo extiende ambas manos, con un papelito en cada una, y el hombre, tras meditarlo profundamente, toma uno de los papeles y se lo come.
La multitud en pleno prorrumpe en una exclamación ahogada. El juez grita al acusado.
—¡Eres un insubordinado! ¿Lo veis todos? Si este hombre hubiese sido inocente de verdad, no habría temido la justicia de Dios, pues no habría permitido que un inocente fuese inculpado injustamente.
El acusado termina de tragar el papel y luego, tras aclararse la garganta, pide la palabra con un gesto de la mano.
—Antes de tirar la primera piedra —dice—, creo que yo sé cómo hacer para demostrar mi inocencia. ¿Por qué no vemos el papel que ha quedado en manos del verdugo? Si yo he tomado el papel que dice “inocente”, en el papel del verdugo quedará escrita la palabra “culpable”; y si yo he tomado el papel que declara mi culpabilidad, en la mano del verdugo quedará la leyenda que proclama “inocente”.
El pueblo, con esta nueva perspectiva de saber cuál había sido el veredicto, insta al verdugo a que les muestre el papel que aún conservaba. El hombre, a regañadientes, lo desdobla y se lo da a un ciudadano honesto que proclama:
—¡En este papel está escrita la palabra “culpable”! Por lo tanto, dando fe de la razón de las palabras del acusado, digo ante el juez y ante el pueblo, este hombre ha tomado y comido el papel que declara su inocencia, teniéndose en cuenta la veracidad de la prueba y la rigurosa verdad de la lógica.
El juez sabe que no tiene argumentos para contradecir absolutamente nada, por lo que golpea su banquillo con un martillo y grita a viva voz:
—¡El hombre es inocente! ¡Dejadle en libertad!

Como siempre, esta es una de las tantas soluciones que puede tener el enunciado. Fantasmas pronunció algunas en su primera intervención, y eran acertadas… aunque no concluyentes. El hecho de eliminar uno de los dos papeles deja sentado que no hay forma de demostrar lo contrario, por lo que el problema queda resuelto. Quizás alguno de los lectores recuerde este artículo de Mientras tanto en el mundo, publicado hace casi un año en la Sociedad del Misterio. Como podrán comprobar si lo leen, el mismo método que usó el acusado es el que utiliza el maleante para librarse de un juicio por atraco. Esto es lógica lateral, damas y caballeros.

Con esto concluimos el problema del prisionero sentenciado injustamente, y con los problemas de prisioneros y verdugos, para gran alivio de Key. Pero también cerramos una nueva etapa de matemáticas. Creo que esta ha sido una temporada fructífera y llena de cosas que nos han hecho pensar y reflexionar, y mientras exista reflexión y pensamiento, el mundo irá un poco mejor.

Desde aquí, mis más orgullosos aplausos a todos los que pensaron este problema, en el salón, en casa o en cualquier momento. Y para hacer extensivo, un fortísimo aplauso a todos los que pensaron los problemas de esta temporada de matemáticas. Lo importante es pensarlo, no resolverlo, no olvidéis eso nunca.

¡Elen síla lumenn omentielvo!
¡¡¡MATEMÁTICA A LA CARGA!!!


Será, amigos y amigas del salón del estudio, hasta que las matemáticas nos vuelvan a convocar para seguir la gran aventura que se abre en el horizonte.

Solución al problema del prisionero y de los dos guardianes

Damas, caballeros, ha llegado la hora de proponer aquí la solución al problema de la semana pasada. Como siempre decimos, esta es sólo una de las posibles soluciones que puede tener el enunciado, lo importante es haberlo pensado. Si alguien llega a la misma solución con otros razonamientos, o incluso si llega a otra solución igual de válida que esta, que siempre prefiera esa, porque es más suya, es más propia y tiene cierto toque personal (en esto también intervienen los sentimientos, aunque a primera vista no lo parezca). Las soluciones personales siempre serán mejores a las que aparecen en un libro: uno mismo las ha pensado, las ha razonado y le son más familiares, más cálidas y... familiares.

¿Listos? ¡Allá vamos!

En nuestro capítulo anterior...

... ¿tiene solución? Y en caso afirmativo, ¿qué tuvo que preguntar y a quién para salir a la libertad?

El hombre se acercó a uno de los dos guardianes al azar, llamó su atención y le preguntó resueltamente: "¿Qué me diría el otro guardia si yo le preguntara cuál es la puerta que conduce a mi libertad?". El guardia le señaló una de las puertas. El hombre se encaminó resueltamente hacia la puerta contraria a esta (la que el guardia no había señalado) la abrió, y al salir vió un vivo paraje cubierta de verde y color.

Antes de enunciar los razonamientos que llevan a esta solución, quiero hacer constar lo siguiente: Si el problema decía que la habitación tenía dos puertas, y sabemos que lo hicieron entrar a esa habitación para que decidiera su destino, ¿por dónde entró para que no estuviera avisado de antemano de cuál era la puerta que conducía a tal lugar? La respuesta: Lo hicieron bajar por una escalera desde el techo, claro está.

El problema se resuelve estableciendo posibilidades:

1. Si le pregunto al guardia mentiroso cuál es la puerta que conduce a mi libertad el guardia mentiroso me señalará la opuesta.
   
2. Si le pregunto cual es la puerta que me conduce al verdugo, me señalará la contraria (es decir, la puerta que me lleva al exterior).
   
3. Si yo le pregunto al guardián honesto cuál es la puerta que lleva al verdugo, entonces me la señalará y yo iré a la contraria.
   
4. Si yo le pregunto por la puerta que lleva a la salvación, me la indicará y yo iré hacia ella.
   
5. El problema es que no sé cuál es cuál. Supongamos que yo voy con el que miente creyendo que es el que dice la verdad, le pregunto cuál es la puerta de salida y me señalará la puerta del verdugo, y yo, al creer que es el guardián honesto, iré hacia allí, iluso de mí. Y si voy con el que dice siempre la verdad, pero lo hago creyendo que es el que miente, y le pregunto cuál es la puerta del verdugo, me la señalará tranquilamente, y yo, creyendo que me está mintiendo, iré hacia allí, también iluso de mí.
   
6. No puedo preguntarle a alguno de los dos quién es el que miente y quién es el que dice la verdad, porque entonces habré perdido la única pregunta que puedo hacer. Luego también está el inconveniente de que sería una pregunta al vacío, ya que no puedo confiar en ninguna de sus palabras.
   
7. Necesito preguntar algo genérico que sea válido para cualquiera de los dos guardianes.
   

• Mi pregunta es "hacia dónde está la puerta de salvación".
  
• Necesito encontrar una sola respuesta válida para ambos y que embone a la perfección (que no pueda ser usada en mi contra).
  

¿Qué me diría el otro guardia si le preguntara cuál es la puerta de salida?

1. Si le pregunto esto al guardia honesto que custodia la puerta de la salida, él me responderá que la otra puerta. Como siempre me dice la verdad, dirá que si le preguntara al guardia mentiroso cuál es la puerta de salida a la libertad este último me señalaría laque conduce al verdugo.
   
2. Si le pregunto al guardia honesto en la puerta del verdugo, me responderá que por su puerta (la del guardia honesto).
   
3. Si le pregunto al guardián mentiroso en la puerta de la libertad, el guardián me mentirá. Si yo le preguntara al guardián honesto cuál es la puerta que lleva a la libertad, el guardián honesto me la diría sin problemas; pero como el guardián mentiroso está torciendo siempre las palabras, le dirá que el otro señalaría la puerta equívoca (es decir, la puerta que el honesto está custodiando).
   
4. Si el mentiroso está custodiando la puerta del verdugo, entonces le responderá "por mí puerta", ya que el honesto señalaría la puerta correcta (la suya propia), y el mentiroso torcería sus palabras.
   

En cualquier caso, el prisionero siempre deberá elegir la puerta opuesta a la que le señalen.

Mención especial para Fantasmas, que, por una errata mía en la redacción, se puso a analizar qué pasaría si... y terminó con dolor de cabeza. Por eso he estimado conveniente que su trabajo salga en la entrada, a modo de premio por haberse montado semejante respuesta.

Espero que esto de despistarme dos días no se vuelva a repetir, pero en serio, comienzo a estar muy ocupado por estas fechas. Os mantendré informados, y quizás dentro de un par de días publiquemos el último problema de esta temporada (temporada que ha sido bastante fructífera, no lo podéis negar).

Pero eso es el mañana, y mientras sea hoy... carpe diem.

¡Matemática a la carga!

Solución al problema del hombre, el revólver y la cantina: La navaja de Okam

En nuestro episodio anterior...

¿Por qué dio las gracias si no recibió el vaso de agua?

Han pasado siete largos días desde la publicación de nuestro problemilla, así que juzgo conveniente dejar sentada aquí la solución. Ruego a todos los lectores que se hayan perdido el problema anterior que se pasen por la entrada en que lo consigno para intentar resolverlo por vosotros mismos antes de seguir leyendo aquí. A continuación consignaré la cadena de razonamiento que utilicé para arribar a la solución. Si les soy sincero, lo cierto es que con ese método de "sí", "no" o "es irrelevante" sólo conseguía marearme, así que me quedé calladito y comencé a reflexionar por cuenta propia, por lo que es más fácil resolver así el enunciado.

Partimos del punto de que el hombre se retira dando las gracias. Esto indica que el hombre sale de esa cantina habiendo conseguido lo que buscaba. Claro está, podía tratarse de que el hombre tenía más apego a su propia vida que al vaso de agua, y si se encontraba un chiflado maniático que entendía "revólver a la cabeza" por las palabras "vaso de agua", entonces habría que salir corriendo y dar las gracias (esperando que "gracias" no significara en su idioma temporada de patos ¡dispara!").
¿Qué buscaba el hombre? Si leemos atentamente el enunciado de cabo a rabo, observamos que el motivo de entrada del hombre a esa catina es un vaso de agua. Ahora bien, lo extraño es que el cantinero no le haya dado ese vaso, y aún así el hombre haya agradecido cordialmente.
Llegamos al punto cumbre de todo razonamiento: si el hombre no había ido a por un vaso de agua, y aunque no lo hubiera recibido dijo "gracias", ¿adónde está todo esto?
Si no le dieron el vaso de agua, al menos le dieron algo que pudiera suplir ese vaso de agua. En teoría, y casi siempre, suponemos que si alguien nos pide un vaso de agua será porque tiene sed, ¿verdad? Pero en este caso el hombre no sació su sed, sino que sin beber una sola gota agradeció al cantinero.
El problema se torna menos difuso: ¿qué otra utilidad puede tener un vaso de agua? Y la pregunta que va aparejada a esta: ¿cuál de todas esas posibilidades puede reemplazarse con un revólver a la cabeza?

Tenía ipo.

No me lancéis con tomates, mis queridos amigos, porque antes de publicar esto me cuidé de que fuera un problema de ingenio. Los problemas de ingenio se resuelven cuando hay ingenio, pero cuando el ingenio no llega, entonces ¿qué hacemos?Es lógica lateral (aunque es cierto que el problema deja muchos elementos fantásticos en el aire). Por ejemplo: ¿cómo demonios sabía el cantinero que este tipo tenía hipo? ¿El hipo se cura con un susto? ¿Si el hombrecito y el cantinero hubieran convenido antes en lo del arma, se habría llevado el hombre un verdadero susto? ¿No podía ser que diera las gracias por seguir vivo? ¿El cantinero estaba harto de que ese hombre lo fuera a molestar con un vaso de agua? Sin embargo (y rogando para que esta sea la satisfactoria solución que planteó Key en su comentario), esta termina siendo la respuesta a la que se puede arribar con este razonamiento.

Las preguntas que se podían formular estaban destinadas a limitar el campo de las posibilidades. Por ejemplo: ¿El hombre estaba contipado? ¿Era una pistola de agua? ¿El cantinero tenía intención verdadera de disparar? ¿El hombrecito tenía sed? De este modo se iban limitando posibilidades, y al final llegábamos al punto en que podíamos ejercitar nuestro razonamiento lateral.


Con todo, Fantasmas, quien ha sido el que ha propuesto otras soluciones (Key se ha abstenido de participar por principios morales), ha planteado respuestas interesantes y alternativas que son aplicables con los datos que tenía. Como siempre decimos aquí, lo importante no es acertar o errar, lo importante es usar la mente e intentar pensar. Y eso es muestra de valentía y temeridad, pues son pocos los que tratan de enfrentarse con los vagos pasillos de la mente humana.

Aquí expongo el porqué dije que lo de las preguntas me había llegado a confundir: porque después de preguntar cosas escenciales, terminé preguntando cosas como "¿el hombrecito era un espía?", "¿el cantinero había pactado hacer una cámara oculta?", "¿el lugar a donde entró el hombrecito, era de verdad una taberna?". Y he aquí uno de los más grandes errores de aquellos que se aventuran a conjeturar en casos policiales: irse por la tangente o comerse la banquina. Teniendo datos suficientes como para elaborar alguna teoría, lo que pretendemos es implicar variables desconocidas y que, si bien están sujetas a probabilidad, no están contempladas en la primera revisada de un problema o misterio.

Y aquí llegamos. El postulado de la navaja de Ockham refiere: "De dos teorías que tengan la misma consecuencia, hay una mayor probabilidad de que la más simple (para el señor de Ockham la simplicidad podía medirse de acuerdo a la menor cantidad de entes añadidos a una teoría o la menor cantidad de axiomas en la misma) sea la correcta". Sé que el postulado ha sido cuestionado grandemente a lo largo de la historia, pero quiero que recordemos que el mismo Ockham no propuso esto como una máxima que debiera considerarse siempre, y sólo podía emplearse en casos puntuales y empíricamente demostrables. Sherlock Holmes lo dice de la siguiente manera: "La solución más simple es casi siempre la correcta". Como he dicho, "casi" es una palabra muy poderosa. Tenienda las evidencias que respalden dos teorías distintas, e incluso habiendo demostrado que ambas son igualmente válidas, casi siempre la más sencilla (semánticamente puede ser la más compleja, lo importante es que la idea general que postule sea simple y llana) tiene mayor probabilidad (no toda la probabilidad) de ser la correcta. Tenemos casos que verdaderamente demuestran que la navaja de Ockham es perfectamente falible: toda la teoría de la física cuántica, de la relatividad, la teoría M... son demostraciones de que no siempre es una máxima aplicable, de que puede no estar sujeta a la verdad.

En el campo de lo penal, casi siempre es preferible contar con la mayor cantidad de evidencias para resolver misterios; pero evidencias no son entes postulados porque sí. Sabemos que siempre necesitaremos la mayor cantidad de evidencias posibles para desarrollar teorías que embonen con los hechos y pruebas que tenemos a disposición. Aún así, no siempre es recomendable sobrecargarse con evidencias, pues puede que la aglomeración nos impida disfrutar más de las pistas claves de un misterio. La música clásica y romántica, en contraposición a la barroca, genera aglomeración de sonidos; en cambio, Bach hace un alarde de simplicidad a la hora de escribir música, ya que cada voz puede distinguirse y apreciarse por sí sola (en la música del romanticismo sólo apreciamos un conjunto de notas musicales aglomeradas en acordes). Sin embargo, esa determinada cantidad de evidencias tiene que llevarnos a la creación de varias teorías que puedan embonar perfectamente en todas (saldríamos ya de la idea de pruebas ambiguas, ya que para la confección de dichas teorías se han usado el conjunto por entero de todas las pruebas a disposición). En este punto entraría la idea de lo "global", muy distinto a lo "aglomerado".

Una vez desarrolladas esas teorías, podemos tratar de encontrar la más sencillas (que postule menor cantidad de variables en tanto deducciones o razonamientos que se salgan del campo primo del primer análisis). Supongamos lo siguiente:

Pruebas y hechos (que son observados):

1. La carpeta de clase de mi hijo está incompleta.
   
2. Y en su cuaderno de comunicados hay una nota en la que su maestra advierte que el niño no ha estado asistiendo a clases con regularidad.
   

Conocimientos:

1. Yo sé que en los días que en la carpeta no se escribió nada mi hijo salió de casa.
   

Deducción:

1. Mi hijo no ha ido a clases.
   

Así de sencillo deberíamos poder referirlo cuando encontramos al fin la incoherencia que andábamos buscando. En este caso la incoherencia sería la siguiente: el niño ha dicho que él va al colegio (por lo menos no ha dicho lo contrario), cosa que se contradice con los hechos y pruebas que estoy observando ahora mismo. Aplicando la máxima de que las personas mienten y las pruebas no, mi hijo ha estado mintiendo, y he ahí la incoherencia. Ahora bien, podemos encontrar varias explicaciones al fenómeno.

Explicaciones o teorías:

1. Mi hijo no ha ido a clases.
   
2. Mi hijo no ha ido a clases porque se está drogando.
   
3. Mi hijo no ha ido a clases porque está frecuentando lugares de perdición.
   
4. Mi hijo no ha ido a clases porque se aburre debido a que tiene un alto coheficiente intelectual y se ha ido a la biblioteca pública en donde consulta cómics en conjunto con libros de astrofísica avanzada.
   

aplicando a este caso en concreto la navaja de Ockham —con la que sólo comulgo en ciertas cosas, ya que descree y afeita muchos escritos de Platón— la primera proposición, por ser la que menos conjeturas o subhipótesis (incluso podríamos hablar de riesgos corridos), resulta ser la más correcta (no descartando las otras posibilidades, sin embargo). Las otras posibilidades siguen siendo eso, aunque con un muy bajo nivel... ya que no tenemos ninguna otra prueba o evidencia que las respalde. Si las indagaciones sobre el caso nos dan más evidencias, terminaremos, al fin, pudiendo elaborar una teoría mucho más compleja, sin despegarnos de la primera y fundamental, que luego nos darán pie a una última conclusión. Por ejemplo, suponer que entre las pertenencias de mi hijo se encuentra un vale de descuento en una sala de videojuegos los días martes y jueves. Podríamos cotejar esa fecha con los días que no se consignan en su carpeta escolar, y podríamos decir que, entre las muchas posibilidades que tiene mi hijo de hacerse la chupina, la que ha elegido ha sido jugar en una sala de videojuegos.

El mismo postulado podemos utilizar en esta ocasión para nuestro razonamiento sobre el hipo. Havbiendo descartado otras evidencias o pruebas (eliminado variables) tenemos un determinado conjunto de hechos que nos deben servir para elaborar una deducción y una hipótesis de trabajo. Y, de nuevo con la proposición de la navaja, decimos que el "tenía hipo" resulta ser una respuesta tan buena como "estaban rodando una escena de una película de bajo presupuesto". Llegado el caso, podríamos preguntar si había alguna cámara tomando la escena, y al ser la respuesta no, no tendríamos mucho sustento para la segunda hipótesis (salvo que quisiéramos pensar que estaban ensayando, pero esto sí sería añadir conjeturas arriesgadas). La primera, por ser la más sencilla, y por no hallar respaldo en las evidencias la segunda, termina siendo, hasta que se demuestre lo contrario, la solución más correcta.

Con todo, como siempre decimos, lo importante aquí es pensar (el blog va de eso). Lo demás es algo secundario. Me han gustado las repuestas que este problema ha traído, y creo que eso debe ser rescatado. Damos por concluido, pues, el problema del hombrecillo, el revólver y la cantina (creo que ya he variado mucho el título, ¿no?). Será hasta que las matemáticas vuelvan a convocarnos.

¡Matemática a la carga!

Y a todos, mi más sincera enhorabuena.

Solución al problema de los cinco sombreros: Estudio de variables

Damas, caballeros...
... hem... esta es una situación un poco complicada de explicar, pero creo que se puede enseñar (utilizando la primera acepción del término, que indicaría algo así como "mostrar"). Creo que lo primordial es pedir una sentida disculpa a todos vosotros, amigos y amigas del salón del estudio, pero lo cierto es que esto es una lección para no confiarse demasiado en la memoria, que puede fallar, y tratar de llevar una agenda (o, al menos, de estar más pendiente de la publicación del blog). Creo que comienzo a liarme con los estudios, amigos, y por eso me he confundido, creyendo que hoy a las once hacía el plazo de una semana desde la publicación de nuestro anterior problema. Mal calculado, eso es todo... El problema es que también tenía la ilusoria idea de que ya había dejado todo perfectamente programado, cuando de repente caigo en la cuenta de que no era así la cosa. Ruego mil excusas por semejante acto de imprudencia e irresponsabilidad (y otra más porque, en cierto sentido, no he cumplido una promesa levemente vinculante que os había hecho). Desearía que esto se conssiderara como una lección de que todo el mundo puede fallar muchas veces, y tras esta nueva introducción... cito (y modifico) la primera.

Ha pasado una semana desde la publicación del problema de los cinco sombreros, amigos y amigas del salón del estudio; como ya lo sabéis, esto quiere decir que ha llegado el momento de publicar la solución a nuestro particular enigma de la semana pasada.

Ha pasado una semana, un día y ocho horas y media desde que se publicó el problema de los cinco sombreros, amigas y amigos del salón del estudio. Esto quiere decir que ha llegado la hora (llegó y se pasó, mejor dicho) de publicar la solución a nuestro particular problema de la semana pasada (pasada pasada).

En el capítulo anterior os decía que había encontrado ciertas dificultades con el siguiente problema. Y quisiera compartir mis razonamientos con vosotros, porque si bien no son demasiado aplicables, es un buen ejemplo de cómo analizar profundamente un problema para entender causa y efecto, razón de ser de las cosas... Pero antes, creo justo que os transcriba textualmente la respuesta del libro, y quiero que tengáis esto bien presente, que algo se diga en un libro no es justificativo para decir que ese algo está bien. Eso va en contra de la idea del conocimiento. Cuando percibimos el conocimiento no debemos ser dóciles, me temo. Al contrario, la tarea del alumno o del estudiante es ser sumo inquisidor con lo que está leyendo o aprendiendo: "¿Esto tiene lógica? ¿Hay causalidad en lo que se dice aquí? Vayamos a los conceptos primitivos, analicemos a fondo lo que dice aquí, no dejemos que la fuerza de la autoridad o de la inercia nos haga estudiar cualquier cosa". Es imprecindible que todo se perciba con una actitud crítica y de cuestionamiento, que no todo lo que aparezca en el libro de ciencia sea la verdad absoluta, porque puede haber errores, porque no es correcto dejar de pensar sobre lo que se lee, porque, en definitiva, si no se razona ni se interpela con la lógica lo que se estudia, estamos generando un montón de futuros hombres que serán fácilmente guiados de las pestañas.

He aquí la respuesta, y quiero que a) recordéis que no es la verdad absoluta (y no por no serlo Adrián Paenza o el alumno que le envió el problema dejan de ser los genios que son), y b) intentad encontrar alguna forma de mejorar esta solución antes de que yo siga avanzando.

El señor C tenía un sombrero blanco, y eso fue lo que dijo.
¿Cómo lo supo? C hizo el siguiente razonamiento.
Si él y B tuvieran sombreros negros, A habría deducido que
tenía puesto un sombrero blanco, ya que puede ver los sombreros de los otros dos. Pero A no dijo nada. O, mejor dicho, sí dijo
algo: que no sabía qué sombrero tenía. Eso implicaba que él estaba
viendo que o bien B o bien C tenían un sombrero blanco.
Cuando le tocó el turno a B, él sólo podía ver el sombrero
de C, pero tenía la misma información que C: B sabía que o bien
él o bien C tenían un sombrero blanco. Si hubiera visto que C
tenía un sombrero negro, B habría podido decir que su propio
sombrero era blanco. Pero como no dijo nada, o mejor dicho, dijo
que no podía decirlo, entonces le tocó el turno a C.
Como B no pudo decidir, quería decir que C no tenía el sombrero
negro. Por lo tanto, a C le quedó el camino allanado, y sin
poder ver ningún sombrero, pudo determinar que él tenía uno
blanco. Y acertó.

Adrián Paenza añade un comentario a esta solución...

... 16 En Matemática… ¿Estás ahí? publiqué (pp. 162 y 164) varios problemas
sobre sombreros. Varios amigos me enviaron nuevos. Elegí éste que me mandó
Gustavo Stolovitzky. Gustavo es licenciado en Física en la UBA, doctor en Física
en Yale y ahora trabaja en los Estados Unidos, más precisamente en IBM, en el
departamento de Genómica funcional y sistemas biológicos. Fue, sin ninguna duda,
uno de los alumnos de quienes más aprendí en mi trayectoria como docente, además
de ser una persona realmente deliciosa...

¿Véis en dónde está fallando la respuesta que nos da el señor Paenza? Muchos de vosotros habéis seguido el mismo razonamiento que yo seguí, que está mucho más completo que el aquí expuesto, y quizás no haya sido justo en plantear la proposición del problemilla que generaba esto... (sí, podrían haberse visto los sombreros al entrar, Fantasmas, pero no era el caso :P Con todo, algún día me gustaría que me contaras con más tranquilidad el problema de los cuatro sombreros.

Todos habéis expuesto una cadena de razonamiento mucho más lógica que la que aquí se propone. Paso a reproducirla...

1. A no puede decir cuál es el color de su sombrero. Esto nos lleva a que B y C piensen cómo tendrían que tener los sombreros para que A haya dicho eso. Ambos saben que no pueden tener ambos un sombrero negro, pues entonces, y por descartes, A habría sabido de qué color era su sombrero de forma inmediata. Ambos piensan en las siguientes posibilidades o combinaciones, que luego C analizará tras la declaración de B:.
   
   
   
   • O bien B y C tenían sombreros blancos,
     
   • o bien B tenía uno negro y C uno blanco,
     
   • o bien B tenía el blanco y C el nnegro.
     
   
   
2. Luego B dice que él tampoco puede saber de que color tiene el sombrero, por lo que C deduce que (y siempre estableciendo probabilidades)...
   
   
   
   • Si él y B tuvieran sombreros blancos, B no podría saber cuál es su color.
     
     
     
     1. B sabe que en su cabeza puede haber otro sombrero blanco o bien uno negro, dada a la distribución de variables anterior.
        
     
     
   • Si él tuviera el sombrero negro y B el blanco, B podría saber cuál es su sombrero.
     
     
     
     1. C piensa: "B sabe cuál tiene que ser la distribución necesaria para que A no pudiera saber cuál era su sombrero. Uno de los dos tiene que tener el sombrero negro, no podemos tenerlo los dos. Si yo tuviese el negro, B sabría de forma instantánea que él tiene el blanco".
        
     
     
   • Si él tiene el sombrero blanco y B el negro, B sigue sin poder saber cuál es el color de su sombrero.
     
     
     
     1. Se aplica aquí el razonamiento del punto 2.1. Si C tiene el sombrero blanco, B queda sujeto a la posibilidad de que el que esté en su cabeza sea otro blanco o uno negro.
        
     
     
   
   
3. Luego para que ni A ni B sepan cuál es el color de sus sombreros, C siempre tiene que tener el sombrero blanco.
   

El problema con la respuesta de Paenza es que se saltea una cadena de pensamiento... que luego tiene que usar para dar el siguiente paso. Aquí he expuesto todas, o todas las que a mí me parecían que no caían en la redundancia absoluta, para que se entienda cuál es la diferencia. Cabe destacar, sin embargo, que cuando pensaba en este particular, comencé a preguntarme de qué forma se podría hacer encajar la solución incompleta (Paenza no contempla la posibilidad de que los dos tengan un sombrero blanco, sólo se queda en que B tiene el negro y C tiene el blanco, por ejemplo), y llegué a proponerme algunos nuevos planteos del problema... pero que derivaban a soluciones muy distintas. Creo que encontré formas de embellecer el problema, pero ya no sería lo mismo que antaño. Caí en la cuenta de que, para no alterar el enunciado original, podía agregar los razonamientos y las posibilidades que a Adrián Paenza se le había olvidado poner en la respuesta (o las había puesto de formas muy implícitas, las había salteado o las había ignorado por completo). Es por eso que hice la lista de más arriba.

En todo caso, veo que estos problemas os han entrenado bien y habéis expuesto todos una solución con todos los pasos correctamente aplicados. ¡Buen trabajo a todos los que lo han pensado! A los que lo pensaron y no lo resolvieron en sus casas, ¡felicitaciones, el primer paso y el más importante es emprender el camino del pensar!

Cerramos, por fin, este simpático problemilla de lógica lateral. Damas, caballeros, felicitaciones y muchas gracias (por la paciencia que a veces me tenéis, por el ánimo que le dáis a estos problemas, por lo feliz que me hacéis sentir cuando veo que aún hay sitio en este mundo para la lógica lateral y la ciencia pura).

¡Matemática a la carga!

Solución al problema de las diez bolsas con diez monedas

Ha pasado una semana desde la publicación del enigma, damas y caballeros. Ruego a los lectores que no hayan visto el problema de siete días atrás, que se den una vueltecilla por allí, lean el enunciado y traten de pensarlo un rato antes de leerse esta entrada. Al fin y al cabo, estos problemas se realizan con el único objetivo de que los asiduos al salón disfruten pensando un rato. Nada más sano. Para los lectores que anhelen saber cuál es la solución, aquí se publica el razonamiento que he seguido y que se consigna en el libro de donde extraje el problema. Si alguien llegó a la misma solución por un camino distinto —cosa que, gracias a la lógica lateral, puede ocurrir sin problemas— y si la solución es la misma, ese razonamiento es igual de válido que este; no mejor ni peor, sólo un razonamiento más. Que este sea el razonamiento consignado en el libro, como ya os he dicho, no quiere decir que sea el último, el correcto y el mejor. Tened eso bien presente siempre.

Con ustedes, la solución...

... Tenemos las bolsas numeradas de modo que podamos hacer lo siguiente:
Sacar una moneda de la bolsa número 1.
Sacar dos monedas de la bolsa número 2.
Sacar tres monedas de la bolsa número 3.
Sacar cuatro monedas de la bolsa número 4.
Sacar cinco monedas de la bolsa número 5.
Sacar seis monedas de la bolsa número 6.
Sacar siete de la bolsa número 7.
Sacar ocho monedas de la bolsa número 8.
Sacar nueve monedas de la bolsa número 9.
Y sacar diez moneda de la bolsa número 10.
El lector advertido notará que se han sacado cincuenta y cinco monedas. Lo ideal sería disponerlas de forma ordenada, pero eso sólo si luego queremos rescatar todas las monedas diferentes.
Creo que con este sencillo método de pesar las monedas el lector se habrá dado cuenta de cómo seguir, si es que hasta el momento no había pensado en eso. Si es así, sugiero que detenga la lectura, cierre el blog, dé vueltas en la mente a esta peculiar forma de pesaje y intente hallar la solución. Sigo yo aquí con la solución.
Si todas las monedas pesaran diez gramos (10 g), entonces la balanza tendría que marcarnos 550 gramos. Pero como hay monedas que pesan once gramos, sabemos que el indicador de la balanza nos dirá otra cosa. Como hemos sacado las monedas de todas las bolsas, sabemos que allí debe haber alguna que otra que pese once gramos. ¿Cómo saberlo?
Supongamos que la balanza indica que todo eso está pesando 551 gramos. ¿Qué significa? Significa que sólo había una moneda que pesaba once gramos (de ahí ese gramo más), y nosotros sabríamos entonces que de la bolsa en la que estaban las monedas de once gramos sólo pusimos una moneda... es decir, en este caso, de la bolsa número 1.
Si la balanza nos dijera 552 gramos estaríamos en condiciones de afirmar que sólo hay dos monedas que pesan más que las demás. Esto es, de la bolsa en donde estaban las monedas de once gramos sólo se extrajeron dos monedas (la bolsa número dos). Así si la balanza pesara 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559 y 560... en este último caso sabemmos que hay diez monedas de entre todas las pesadas en la balanza que masan un gramo más (un gramo por diez más son diez gramos, sumados a los ciento cincuenta nos dan por resultado el ciento sesenta). Es decir que se colocaron diez monedas de la bolsa que contenía las monedas de once gramos. ¿De qué bolsa se extrajeron diez monedas? De la número 10.

A esto se le llama imaginación y creatividad. Sólo con algo de pensamiento lateral e imaginación se llega a la solución. ¿Qué os ha parecido? Como siempre digo, lo importante aquí es haberlo pensado. El resolverlo es un añadido extra, pero si no se pensó, entonces se desperdició una increíble ocasión para encontrar nuevos caminos en los senderos de la mente.

Así concluye un nuevo problema del salón del estudio. ¡Espero que lo hayáis disfrutado y le sepáis sacar provecho! Será hasta que el mundo de las matemáticas nos vuelva a unir otra vez.

Sir Nícolas Vásquez de Aragón, desde Argentina para todo el mundo a través del salón del estudio.

¡Matemática a la carga!

Solución al problema del recipiente de tres y cinco litros respecti

Ha pasado una semana desde la publicación del problema de los recipientes de tres y cinco litros respectivamente. Antes de proseguir, recomiendo a los lectores que no han leído la entrada antes mencionada (y enlazada) que vayan un rato hacia allá, lean el problema y se dediquen a pensarlo antes de leer la solución. Es el único propósito de estas entradas de matemáticas: aprender a pensar.

El problema resulta ser de fácil solución cuando se lo piensa en concreto. Eso sí, hay muchas vueltas, así que sugiero leerlo pausadamente, hacer un dibujito, escribir los pasos o cualquier método que ayude a interpretarlo todo con claridad. Con ustedes...
... la solución.

Se toma el recipiente de tres litros y se lo llena. Aquí tenemos ya una referencia, que son los tres litros. Vertemos estos tres litros en el recipiente de cinco litros y tenemos tres litros en el recipiente de cinco.
Ahora volvemos a llenar el recipiente de tres litros. Tenemos al fin que hay tres litros en cada recipiente.
Ahora bien, si el lector desea continuar su cadena de razonamiento a partir de este punto (en el que se puede deducir el final del camino aplicando un poco de ceso) lo invito a que prosiga hasta el final por sí mismo. Que su pensamiento lo lleve al fin de la cadena, eslabón por eslabón, y que encuentre la solución por sí mismo. Por mi parte, sigo aquí con la solución.
El siguiente paso es verter determinada cantidad del recipiente de tres litros al de cinco litros. Esta determinada cantidad tiene que ser la necesaria para que el recipiente de cinco quede completamente lleno. ¡Exacto! Dos litros. Con esto, en el recipiente con capacidad de tres, ahora sólo queda un litro.
Vamos a volcar todo el contenido del recipiente de cinco litros de nuevo en el barril de vino. Y ahora ponemos el litro que quedaba en el recipiente más pequeño en el de cinco litros. La situación sería la siguiente:
El recipiente de cinco litros ahora tiene un litro de vino. El de tres, está vacío. Faltan dos pasos para llegar a la solución del problema.
Llenar completamente el recipiente de tres litros, y luego verter esto en el de cinco litros. 3+1=4
En el recipiente de cinco litros, finalmente, tendremos los cuatro litros de vino que buscábamos.

Moraleja

En momentos de críticos, la imaginación suele ser más importante que los conocimientos.

Como se ha dicho mil veces en este blog, lo importante es haberlo pensado. Pero vosotros, ¿qué me decís? ¿Tenéis algún otro camino por el cual llegar a la solución? ¿Vislumbráis algún otro modo de encontrar cuatro litros? Yo veo otros caminos, pero son mucho más difíciles y complejos que el que he propuesto anteriormente. Por supuesto, se admite como posible solución tomarse todo el barril de vino y luego hacerse un test de alcoholemia. Eso sí, sería poco práctico y la verdad que muy riesgoso XD

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

P.S. En serio, me gusta hacer entradas de esta longitud (también denominada "largor" o "longanismo").

Edición antes de publicar la entrada

Conviene escribir esto aquí para evitar futuras complicaciones. ¿Recordáis lo que escribí antes, eso de "se os ocurre alguna posible solución"? Os comento.
Cuando escribía esta entrada, me dediqué a pensar otra posible solución para el enigma (para entretenerme), porque sólo tenía la que había descubierto en un principio. Si encontraba una solución viable, además, tenía la posibilidad de ejemplificar eso de los muchos caminos para una misma meta.
Pensando llegué a pensar en una nueva solución, un nuevo camino, que comenzaba con el recipiente de cinco litros. Llegué a una solución concreta y aplicable al enunciado que estudiábamos, y pensé que sería interesante extender el problema una entrada más y plantear este reto: ¿Quién sería capaz de descubrir el otro camino? Dos días después, Key publicó esa misma respuesta que yo había pensado, con la misma cadena de razonamiento que había empleado. Alegre y maravillado, decido que es un buen momento para que Key hable en esta entrada...

... 1. Lleno el de 5.
2. Paso tres litros al de 3, con lo que me quedan 2 litros en el de 5.
3. Vacío el de 3 litros.
4. Echo los 2 litros del de 5 en el de 3.
5. Lleno el de 5.
6. Lleno lo que queda del de 3 (que ahora mismo sólo contiene dos litros) con el de 5. Eso hace que pase un litro del de 5 al de 3, con lo que quedarían
cuatro litros en la jarra de 5.

12 de junio de 2010 19:19

Aquí las palabras sobran. Nuestra querida compañera ha encontrado otro camino para llegar a la misma solución. Es, en efecto, la misma solución expresada de dos formas distintas.
Ahora bien, ¿cuál es la verdadera solución? Creo de verdad innecesario tener que hacer esta pregunta y responderla, pero lo haré para ejemplificar algo que ya he dicho muchas veces y no me cansaré de decir. Hagamos un diálogo imaginario entre el Caballero de la armadura oxidada y el Mago Merlín.

—¿Cuál es la solución correcta? —preguntó el caballero.
—¿Y cuál crees tú que es la solución correcta?
—La primera —repuso el caballero.
—Y por qué?
—Porque es la primera.
—Te haré yo ahora una pregunta: "¿Con cuál de las dos obtenemos cuatro litros?".
—Con ambas soluciones llegamos a los cuatro litros —respondió el caballero.
—Y dime ahora, ¿cuál era la pregunta del problema?
—Llegar a los cuatro litros.
—Responde ahora, ¿si las dos llegan al mismo resultado, cuál es la diferencia?

Os lo ha dicho Merlín, amigos del salón del estudio. Vale, como que Merlín no se preocuparía por resolver un problema, pero hay algo de verdad en sus palabras. En efecto, ¿cuál de las dos es más o menos correcta? Las dos son tan correctas como aplicables a un caso de la vida real. ¿Hay una correcta y otra incorrecta?
El hecho de que exista una solución escrita en el libro ¿Matemáticas... estás ahí?, no quiere decir que no se admitan nuevas soluciones. El punto está en saber reconocer que ambos son caminos tan válidos el uno como el otro si se quieren llegar a los cuatro litros de vino. Ambas respuestas —y por si acaso, todas las posibles respuestas por las que se llegue a los cuatro litros (como la de ir bebiendo el barril y hacerse un test de alcoholemia, mencionada unos párrafos más arriba)— son perfectamente válidas para responder el problema. El problema radica en comenzar a entender que en los asuntos de la Matemática (y en muchos otros asuntos de la ciencia y de la vida) no hay una única respuesta. Los tests de inteligencia, por ejemplo, no contemplan esta posibilidad, con lo que tenemos el riesgo de obtener que somos unos cavernícolas si es que respondemos a una pregunta de una forma diferente a la que se esperaba o con otra respuesta totalmente válida. Esto es. Los test de inteligencia están diseñados para que uno dé determinada respuesta y con determinado orden lógico en el proceso de solución. Si uno no sigue el procedimiento que ha sido fijado de antemano para llegar al resultado... bueno, como que el test queda suspendido; y si uno llega a otra solución, perfectamente válida, pero que no ha sido contemplada por los que hicieron el test (es decir, si uno no sigue la línea de pensamiento prefijada para resolver el enunciado), también corre el riesgo de que el test devele que en realidad tienes muchos problemas psicológicos. Este es un tema del que ya hablaremos en otra oportunidad, pero debemos comprender que en las matemáticas nada de esto es así.
Fantasmas y Key han demostrado que se puede llegar a la cabaña siguiendo dos caminos distintos. Muchos otros problemas develarán que se admiten muchas soluciones para un mismo enigma. Hay cosas muy bastas y muy amplias en este camino amigos.
Ambas soluciones, resumiendo, son válidas para este problema y ambas merecen una gran felicitación. ¡Felicidades! ¡Lo lograron!
A los que lo pensaron en casa y lo consiguieron: ¡Congratulaciones!
A los que lo pensaron en casa y no lo resolvieron: "¡Bien hecho! Porque lo importante es pensarlo, no resolverlo.

¿Qué ocurriría si supiéramos la cantidad de vino que hay en el barril? Es decir, ¿que pasaría si tuviéramos un límite de litros de barril? ¿Si tuviéramos sólo cinco litros en el barril? ¿Si tuviéramos sólo seis? ¿Siete? ¿Ocho? ¿Más?
Os doy una pista, si tuviéramos seis litros en el barril, la respuesta de Key no se habría podido llevar a la práctica. Esto es una demostración de cómo los problemas que más factores tienen (es decir, en donde intervienen más variables) son los que hacen que la mente se esfuerce, porque la solución ha de ser mucho más afinada, ajustándose a los parámetros del problema. Al no ofrecer la cantidad de litros de vino que contiene el barril, el problema queda más abierto, ya que los que lo resuelven tenemos una libertad extra (el hecho de saber que podemos contar con los litros que nosotros consideremos indispensables).

Ahora sí.

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

Solución al pequeño desafío mental

Damas, caballeros, ha transcurrido una semana exacta desde la publicación del pequeño desafío mental. Antes de proseguir leyendo, recomiendo a los lectores que no han hecho el problema que le den una leída e intenten resolverlo, pues así podrán mantener la mente despierta y disfrutar de pensar (una actividad mucho más sana de lo que parece).

Con ustedes la solución...

... 2+3=10

7+2=63

6+5=66

8+4=96

9+7=144

¿Por qué es así? Ahora daré unas breves explicaciones del porqué y de la existencia de más de un camino para llegar al resultado, y luego haremos unas breves reflexiones personales sobre esto. Próximamente, si no me falla la memoria, haremos unas revisiones sobre un par de problemas anteriores. Por ahora, prosigamos.

El problema era sencillo, tan sólo algo esquivo. Se principia por encontrar un patrón que valga para todos. Obviamente, la suma entre dos y tres no es diez, así que el resultado debe de estar relacionado con esos números (de alguna u otra forma). Uno se pregunta entonces: "¿Qué relación hay?". Por medio de algún extraño movimiento cerebral que no alcanzaríamos a entender ni en mil años, relacioné primero el dos y el tres al hecho de que junto dan cinco, y que cinco es la mitad de diez. Luego vi que el dos del principio era la quinta parte del diez y ¡boila! Pero no debía cantar victoria, porque podría ser que ese patrón fuera una coincidencia en este ejemplo, y que fuera otro el patrón común a todos los demás. Se prueba con los otros... y ¡se encuentra que es el patrón! Luego de esto, no resulta difícil inferir que el número faltante es ciento cuarenta y cuatro.

El anterior es sólo uno de los caminos que se nos presentan; no obstante, existe otro camino, del que me percaté una vez hube terminado el otro. Suele ocurrir que justo cuando llegamos a la cabaña, encontramos un mapa indicando otra ruta de acceso hasta ese lugar y uno dice "¡pero claro!"... El otro camino, como iba diciendo, consiste en elevar al cuadrado al primer número y sumar el producto de los factores. En términos sencillos. Elevar al cuadrado el primero de los números, y luego sumarle el resultado de la multiplicación entre el primero y el segundo. Así: 2²+2*3=10
Y lo mismo con el resto de los ejemplos hasta toparnos con la incógnita.
92+(9*7)=144
81+63=144

Y se puede apreciar, con este ejemplo, que ambos caminos dan el mismo resultado:

(9+7)*9=144
16*9=144

9²+(9*7)=144
81+63=144


La pregunta del millón es: ¿cuál de los dos caminos es el correcto? A este interrogante hay que darle otra pregunta como respuesta: ¿llegan al mismo lugar los dos? En efecto, ambos son igualmente válidos, porque ambos llegan igualmente a un mismo destino. Como en nuestros ejemplos de cabañas perdidas en el bosque (¿se nota mucho que no he tenido vacaciones en medio de la montaña?) siempre hay otra salida u otra ruta por la que llegar al lugar indicado. Muchas veces, no obstante, no existe un lugar indicado, y sólo queremos gozar del paisaje.

A Fantasmas, PresteJuan, Jengibre y Key: ¡Felicitaciones! Habéis resuelto correctamente el problema. Aún si no lo hubieráis resuelto, lo más importante es haberlo pensado. No digo esto porque sí, sino que hay una perfecta justificación desde detrás.

Como decíamos en uno de los ítems de un antiguo epílogo que ya hemos publicado por aquí, si los estudiantes de cualquier asignatura sólo damos respuestas, nuestro rendimiento no termina de ser satisfactorio. Como se plantea en el método científico, si las conclusiones sólo dejan cerrado el problema original, la investigación deja de tener su gustito, porque lo que de verdad importa es que estas conclusiones arrojen nuevas preguntas para seguir teniendo más y más problemas. El hecho de pensar un problema como el que se ha planteado esta semana, deriva por fuerza en la interacción con el susodicho. Esta interacción, a su vez, genera que nosotros y el problema tengamos cierto grado de intimidad, y nos vayamos conociendo. Conocer y explorar el problema es un principio clave para hacer mejores a los problemas. En este caso el problema se basaba en hallar un patrón y saber cuál era el número, y eso todos lo hemos logrado.El punto radica en que, cuando estudiamos a fondo un problema, tendemos a dar más de una solución. Como Fantasmas dice en su comentario, él hizo muchos otros cálculos y probó con diferentes soluciones o caminos. Es decir, fue un caminante, porque buscaba respuesta. Cuando tratamos de buscar el hilo que desteje la madeja, se nos presentan muchas ideas y muchas teorías. En estas ideas y en estas teorías radica la verdadera belleza. No sólo en intentar y probar, sino en pensar y descubrir todas las cosas en las que podemos pensar cuando intentamos resolver. Con esas mismas ideas podemos convertir los problemas a nuestro antojo.

Quizás el problema se resolvía con el ciento cuarenta y cuatro, y es evidente que hay más de un camino para llegar a él. La resolución del problema es el primer paso para hacerlo más rico y delicioso, más seductor y atractivo. Quizás, al saber ya la solución del problema, el problema deja de serlo y se convierte en un ejercicio o enunciado ya resuelto. Pierde esa aura de misterio que lo envolvía cuando nosotros no sabíamos su respuesta. Entonces, ¿por qué no hacerlo más interesante? Cambiar todo el problema, cambiar los patrones y cambiar el resultado final, sólo para jugar un rato más. Podemos alterar el patrón numérico común a todos los casos de aplicación por uno en particular, y ¡presto! Tenemos un nuevo problema. Podemos trabajar, como dijo Fantasmas, pensando en qué resultado debería dar uno de los casos si contabilizamos las rectas o las intercecciones de los números. De este modo, alteraríamos todos los resultados y terminaríamos con un nuevo problema. Podemos trabajar con progresiones, con escalas musicales, con curiosidades matemáticas, con lo que sea imaginativo y que embellezca más al problema.

Daré un ejemplo único, en parte porque no he trabajdo sobre todos los casos y en parte porque esto servirá como motivación para seguir trabajando. Supongamos el primer caso (2+3=10). Yo podría decir que el patrón numérico que rige aquí es la suma de los dos números por dos. Es decir: el doble de la suma de los dos números. Y ahora aplicaremos este patrón numérico a los subsiguientes casos. 7+2=63
En caso de que aplicáramos el patrón numérico que hallamos en el primer caso, el resultado debería ser dieciocho, no sesenta y tres. Así se podrían cambiar todos los resultados y ¡plam! Tenemos un nuevo problema recién horneado, y horneado por nosotros mismos.

El mundo de las matemáticas no se limita a exponer resultados, si bien este es el primer paso. Hay que ir más allá y aplicar la imaginación para conseguir nuevas fuentes de agua para la mente.

La matemática es algo dinámico, no estático. Podemos modelarlas a nuestro antojo y a nuestro gusto, porque son como letras que crean nuevas cosas. Tienen una frescura que no caducará a lo largo de los años, y muy pocas cosas se les asemejan. Ayudan a pensar, y pensar es algo muy, muy, muy, pero muy sano.

Damas, caballeros... felicitaciones, porqe lo habéis hehcho excelente. Felicitaciones, porque si habéis pensado, ya es motivo suficiente para decir que lo habéis hecho de fábula. Felicitaciones, amigos y amigas del salón, y muchas gracias por haber enriquecido tanto el blog con vuestros comentarios, reflexiones y aportaciones.

¡Matemática a la carga!
¡Elen síla lumenn'omentielvo!

¿Cómo cruzan las mujeres el puente?

Buenas noches, amigos del salón. Lo prometido es deuda, y como ya ha pasado una semana de la publicación del problema de las cuatro mujeres y el puente, creo que es hora de publicar la solución. Le recomiendo al lector que, si no ha leído el problema, lo lea y trate de resolverlo antes de continuar leyendo. Antes que nada, daré la respuesta al enigma, y luego haré unas reflexiones de índole personal que, espero, sirvan como moraleja de este problema.
Primero lo primero; con ustedes, la solución:

Solución al problema de las cuatro mujeres, el puente y la linterna

1º viaje: cruzan mujeres 1 y 2.
2º viaje: vuelve la mujer 2 con la linterna. Pasaron cuatro minutos. [Es indistinto: puede pasar la mujer dos o la uno, a efectos prácticos da lo mismo].
3º viaje: la mujer 2 les da la linterna a la 3 y la 4, y estas últimas cruzan el puente.
4º viaje: la mujer 1 agarra la linterna de las 3 y 4; y va en busca de la mujer 2.
5º viaje: vuelven la mujer 1 y 2 al punto de llegada.

Conteo

1º viaje: 2 minutos.
2º viaje: 2 minutos.
3º viaje: 10 minutos.
4º viaje: 1 minuto.
5º viaje: 2 minutos.
2 + 2 + 10 + 1 + 2= 17 minutos.

Ahora sí. Hora de decir algunas cosas:
Lo primero es felicitar a Fantasmas. ¡Bien hecho! Él aplicó diligentemente el método y consiguió el resultado. Se dio cuenta de que si seguía pensando como lo estaba haciendo, no encontraría la respuesta. Por tanto, decidió verlo de otra forma y encontró la solución. Agradezco además, que haya dejado su hilo de razonamiento, porque así podemos apreciar mejor el bagaje de ideas que surcan la mente. Es más, creo que gracias a la contribución tan rica de Fantasmas, yo no tendré que hacer algo demasiado extenso. Pero por si acaso…

Conclusiones

¿Qué ocurrió? El problema se cerró. Ahora mismo no importa el haberlo resuelto o no, no importa nada de eso. Lo importante es que lo hayan pensado, creedme, eso es lo primordial en estas circunstancias. Mientras tengamos el entusiasmo de pensar y de ser creativos a la hora de resolver algo, ya tendremos el 75% del trabajo hecho. La satisfacción de hacer problemas no radica en saber que lo hemos resuelto bien, sino, en saber que lo hemos pensado. Como ya mencioné en la entrada anterior, esto se hace con la mejor intención… ¡pensar! Para mucha gente, pensar no será mucho; pero tiene un valor incalculable. Hoy por hoy el pensamiento está siendo dejado de lado, se ha convertido en algo prescindidle, y no se está respetando como tal.
Como ya dije, no importa haberlo hecho bien o mal, lo que importa es haberlo pensado. Ahora bien; supongamos que lo ha pensado y ha llegado a un punto muerto. Lo interesante en esa circunstancia sería pensar porqué no lo logró. No es una crítica, ni mucho menos, es una pregunta que ayuda a entender mejor el problema.
Fantasmas lo dijo en la entrada anterior. Él principió por hacer que fuera la de un minuto con todas las demás, y no le dio. Luego hizo que la de uno acompañara a las demás, empezando por la de dos en este caso, pero tampoco resultó. Entonces llegó a la conclusión de que las que tardaban más (la mujer 3 y 4) debían ir juntas para ahorrar cinco minutos. En efecto; así se resuelve el planteo. Todo esto consiste en que las mujeres se organicen para perder el menor tiempo posible. Y aquí se presenta una dificultad. Fantasmas habla de mezclar su idea original con su segunda idea, y de allí parte lo siguiente: las mujeres más rápidas ya tienen que estar en la otra orilla. Así es. La segunda clave de este problema está allí. En que las mujeres 1 y 2 deben estar antes que las mujeres 3 y 4, para poder pasarse la linterna y hacer que sólo tarden diecisiete minutos.

Moraleja

Fantasmas no se detuvo; a pesar de todo, siguió adelante tratando de razonar un sendero que antes no había explorado. ¡Hizo un dibujito y todo! ¡Eso es lógica lateral! Así es, la lógica lateral de este enigma se hallaba en el hecho de que tenía que pensarse una forma alterna para que las mujeres 1 y 2 pudieran estar al otro lado del puente, sin la necesidad de que la mujer 3 ó 4 volviera lo andado.


Contestación:
Fantasmas, ¿un dibujo? ¿Humo por la cabeza? Bueno, valió la pena ¿no?

Moraleja segunda:

«Cuando las cosas se quieren y se piensan, se logran».
«Hoy, somos más sabios que ayer».

Espero que este problema os haya gustado y mantenido entretenidos. ¡Será hasta que el universo disponga!

¡Elen sila lumen omentielmpo!

Solución al problema de las ocho monedas y las dos pesadas.

Bien, ha pasado un día más del establecido, pero he de excusarme diciendo que ayer no pudee publicar la solución porque estuve bastante atareado. Aún así creo que este problema ha sido bastante lindo.
Bien, pues ha llegado la hora de publicar la respuesta de ambos problemas, pero antes, a los que lo han hecho bien, les digo: “¡Felicitaciones!” A los que no, les digo que aquí lo que cuenta es el esfuerzo y el deseo de mejorar, además, claro, el empeño. Verán, como después de algún tiempo haciendo esto luego no les será ni difícil. Pero vamos a las soluciones:
A el primer problema el de las ocho monedas y las dos pesadas esta es la solución:
Este problema presenta ninguna dificultad, aún así se debe resolver analizando posibilidades. La solución propiamente dicha sería la siguiente:
Tengo ocho monedas, una de ellas es más pesada que las otra, y para descubrirlo tengo a mi disposición la balanza del verdulero, pero sólo puedo efectuar dos pesadas. A ver, el proceso para resolver el problema es confuso de explicar porque tiene que ver de acuerdo a la perspectiva de cada uno, lo mejor es sentarse un buen rato y pensar de forma lógica que se puede intentar. Lo más lógico sería separar a las monedas, y aquí entra la combinación y el tanteo de posibilidades. El: ¿Qué pasaría si…? Bien, como sería algo confuso publicar aquí todas las múltiples combinaciones posibles sólo pondré la que se necesita para encontrar la moneda más pesada:
Tomamos las ocho monedas, las dividimos, en seis y dos, y luego hacemos lo siguiente. Ponemos tres monedas en un platillo, y tres monedas en otro. Hay dos posibilidades:
Sabemos que la moneda más pesada debe de estar entre las ocho, al hacer la división de las monedas tenemos que la moneda más pesada puede estar en el grupo de dos o de seis, supongamos que quedó en el grupo de dos monedas. Al poner tres monedas en un platillo, y tres en otro la balanza quedaría equilibrada ya que esas seis monedas serían idénticas en todos aspectos, por lo cual sabemos sin temor a equivocarnos que la moneda más pesada es una de las dos que tenemos en la mano. Bien, ya hemos efectuado una pesada, sacamos las seis monedas de la balanza y ponemos las otras dos que teníamos en la mano. Una en cada platillo, una moneda será más pesada, por lo que uno de los platillos se irá hacia abajo… con lo cual, la moneda que esté en el platillo que se va hacia abajo es la moneda más pesada y por tanto, la que andábamos buscando.
Ahora bien, esto no se queda allí, hay una segunda posibilidad. Puede que la moneda más pesada estuviera entre las seis monedas que habíamos separado. Con lo cual, deberíamos seguir poniendo las seis monedas en la balanza, tres en un platillo y tres en otro, uno de los platillos se irá hacia abajo, entonces podemos ver que entre esas tres monedas de ese platillo se encuentra la moneda más pesada. Bien, descartamos las otras tres que estaban en el otro platillo y nos quedan tres monedas y una sola pesada, hacemos lo siguiente: Tomamos una de las tres monedas y la dejamos en nuestra mano, luego tomamos otra de las dos monedas que quedaban en el platillo y la ponemos en el otro platillo que había quedado vacío, ahora bien, el proceso es muy simple. Si la balanza se equilibra eso significa que la moneda que tenemos en nuestra mano es la más pesada, si por el contrario uno de los platillos se va hacia abajo, la moneda que esté en ese platillo será la que buscamos.
Ahora bien:
Separamos las ocho monedas, seis por un lado, y dos por el otro, ponemos las seis monedas en la balanza, tres en cada platillo, dos posibilidades, que la balanza se equilibre, con lo cual la moneda está entre las dos que tenemos en nuestra mano, o que la balanza se desequilibre, con lo cual sabemos que la moneda más pesada está en el platillo que se va hacia abajo. Si la balanza se equilibra, o sea, si se da la primera situación, debéis sacar las seis monedas de la balanza, y pesar las dos monedas que habíamos separado, una en cada platillo, obviamente, la más pesada hará que el platillo se vaya hacia abajo y ¡Eureka! Segunda posibilidad, la balanza se desestabiliza, la moneda debe estar entre las tres que están en el platillo que se va hacia abajo. Sacamos las tres del otro platillo y las guardamos en el bolsillo para comprar una manzana con las otras dos que ya habíamos descartado, y centramos nuestra atención en las tres monedas que quedan en la balanza. Agarramos una al azar, y pesamos las dos que quedan, una en cada platillo, si la balanza se equilibra la moneda que tenemos en la mano es la moneda que andábamos buscando. Si por el contrario la balanza se desestabiliza, la moneda que está en el platillo que se va hacia abajo, es la escurridiza.
¿Les gustó el problema? ¿Qué les pareció? ¿Piensan que fue demasiado infantil? Quiero escuchar vuestra opinión.
Ahora sí, la parte graciosa y divertida del problema…
¿Por qué el hombre no subía directamente por el ascensor hasta el décimo piso?
¡Sencillo. El hombre era muy bajito y sólo alcanzaba al botón número siete del ascensor.
¿Les gustó?
Bien, por ahora me despido hasta que el inmenso e infinito mar de la sabiduría vuelva a encontrarnos.
OH… y ya que creo que eso de las frases y perlas de sabiduría se nos fue olvidando quiero dejar una para que resuene en todos nosotros durante este día, ¿Listos? Allí va:
La Utopía es el sueño inalcanzable de una sociedad, y actúa como el horizonte. Si nos acercamos diez pasos hacia él, él se aleja diez pasos. Si nos acercamos cien pasos hacia él, el horizonte se aleja cien pasos. La utopía jamás llega porque es lo que nos mantienen vivos, y nos da la fuerza, el deseo de luchar por algo mejor.

Damas, caballeros, lógica…
A los del hemisferio norte desearles unas felices vacaciones de verano, y a los del hemisferio sur, felices recesos de invierno.