Solución al juego de los detectives

Tras los siete días de rigor en estos casos, publicamos la respuesta al pequeño enigma del detective.

Como parte teórica de estos problemas, debemos recordar siempre que la mejor forma de resolverlos es extrayendo inferencias sencillas de cada enunciado en particular, descartando posibilidades al cotejar cada enunciado, y finalmente ponerlas todas en común del modo más organizado posible que encontremos.

Para principiar, el caso es bastante simple dada la pequeña cantidad de factores con los que contamos. Sería un buen momento, por lo tanto, de ponernos a resolver el curioso enigma que nos ha dejado el célebre detective británico.

1. El mayordomo fue interrogado antes de quien fuera interrogado en la biblioteca.




• 1-a. El mayordomo no fue interrogado en la biblioteca.




2. El jardinero y el ama de llaves fueron interrogados en el dormitorio y el jardín (no necesariamente en ese orden).




• 2-a. Ninguno de los dos (jardinero y ama de llaves) fue interrogado en la biblioteca o en la cocina.




3. El ama de llaves fue interrogada a las nueve de la mañana.


4. La cocinera no fue interrogada a las diez y treinta.




• 4-a. Fuera de las nueve de la mañana (véase enunciado y/o sentencia nº 3), la cocinera fue interrogada a cualquiera de los demás horarios disponibles (nueve y treinta o diez en punto).




5. El interrogatorio que sucedió en la cocina tuvo lugar después del interrogatorio de la persona culpable y antes del interrogatorio del jardín).

Hasta aquí no parecemos haber extraído más de lo que ya sabíamos, pero eso no es del todo cierto. Tal como el legendario Sherlock Holmes le dijo a Watson en El valle del terror, no hay ningún misterio mundano que prevalesca bajo la luz de la razón pura.

Del enunciado nº 1 y de la sentencia nº 2 podemos extraer algo en claro: el mayordomo fue interrogado antes de quien fuera interrogado en la biblioteca (es decir, el mayordomo no fue interrogado en la biblioteca), y el ama de llaves y el jardinero fueron interrogados en el jardín y el dormitorio (nadie más fue interrogado ni en el jardín ni en el dormitorio). Si el mayordomo no fue interrogado ni en la biblioteca, ni en el jardín ni en el dormitorio, el único lugar que nos queda es la cocina (cuando se han descartado todos los factores, lo que queda ha de ser la solución). Por el mismo proceso lógico, si el mayordomo fue interrogado en la cocina, el ama de llaves y el jardinero en el dormitorio y el jardín (el orden no importa por el momento), nos queda la cocinera, que tuvo que haber sido interrogada en la biblioteca.

Y aunque ahora esto nos recuerde al cluedo, sigamos los razonamientos indicados.

El ama de llaves fue interrogada a las nueve de la mañana. Es decir, fue la primera en ser interrogada.
La cocinera no fue la última en ser interrogada (la sentencia nº 4 dice que no fue interrogada a las diez y treinta).

Conjugando esto con lo que ya sabíamos (por ejemplo, que el mayordomo tiene que haber sido interrogado en la cocina antes que la cocinera en la biblioteca), podemos decir lo siguiente.

• El ama de llaves fue la primera en ser interrogada.
  
• La cocinera no pudo ser interrogada a las nueve y media (de lo contrario, antes debería haber sido interrogado el mayordomo a las nueve, y sabemos que esto no fue así).
  
• La cocinera puede haber sido interrogada a las diez en punto (no hay nada que objetar a esta afirmación.
  
• La cocinera no fue interrogada a las diez y treinta.
  

Como conclusión de este pequeño listado, siguiendo un orden lógico, el único horario en que la cocinera pudo ser interrogada fue a las diez en punto. Si el mayordomo fue interrogado antes que la cocinera, entonces le toca el turno de las nueve y treinta. Por descarte (si el ama de llaves tenía turno a las nueve, el mayordomo a las nueve y treinta y la cocinera a las diez en punto), el jardinero fue interrogado a las diez y media.

Atendiendo al último enunciado, la persona interrogada antes del interrogatorio de la cocina (en donde estaba el mayordomo) es culpable. A su vez, el interrogotario de la cocina acaeció antes del ardín.

El interrogatorio de la cocina tiene lugar a las nueve y treinta, una hora antes del interrogatorio del jardín (el enunciado no exige que el interrogatorio del jardín sea inmediatamente posterior al de la cocina, sólo dice que tiene que haber ocurrido luego del antedicho).
Y la persona que fue interrogada antes del mayordomo en la cocina fue el ama de llaves.

Caso cerrado.

A los que lo han resuelto, ¡felicitaciones! A los que lo pensaron, ¡congratulaciones! Y a todos en general, espero que lo hayáis disfrutado.

Un par de aclaraciones... Si el cronista de la historia fuera Arthur Hastings, el ama de llaves, y de esto estoy un noventa y cinco por ciento seguro, debería ser una pelirroja de metro ochenta y belleza deslumbrante, el mayordomo debía ser un ave rapaz personificada (con un sospechoso brillo de culpabilidad en su mirada), la cocinera una mujer gruesa y y el estereotipo de una madre de la campiña, y el jardinero un joven delgado y con muchas probabilidades de enamorarse de una rubia y encantadora bailarina de ballet enferma de tuberculosis. En fin, que nadie jamás podría superar a la dama del misterio en el sublime arte de hacer que el lector se sienta como un tonto (Conan Doyle es el del arte de hacer que el lector se sienta como un rábano, que conste).

¿Que quiénes son Adam Evans o Catherine Clathord? Unos viejos conocidos míos.

¡Matemática a la carga!

El juego de los detectives

Tengo otro de estos, pero es mucho más interesante y da lugar a algo mucho más entretenido. Este es un problema bastante sencillo de lógica, nada que involucre, muy a mi pesar, una investigación propiamente dicha.

Muy semejante a los de Agatha Christie por el contexto, pero en nada parecido a un cuento policial. Nuestro deber es averiguar que averiguó el detective en su momento. Lo saqué de la sección de Juegos en Microciervos, así que quizá alguien ya lo haya hecho.

¿Listos?

Lord Greenam ha sido asesinado en su mansión. El homicidio se llevó a cabo a las veintitrés horas del día treinta y uno del mes tercero.
Tras las pesquizas del célebre detective inglés, Adam Collin Evans, se obtiene que cuatro son los sospechosos: su cocinero, su ama de llaves, su mayordomo y su jardinero. Cada uno fue interrogado en lugares distintos de la mansión: biblioteca, jardín, dormitorio y cocina. Y cada uno a una hora distinta: 9:00, 9:30, 10:00 y 10:30.
Después de su investigación (y a pesar de que a Evans no le gusta trabajar sólo con las declaraciones), determina quién ha sido el asesino. Por medio de una carta cifrada, le hace saber a su amiga, la señorita Catherine Clathord, que recide con él en Londres, la identidad del asesino de lord Greenam.
Catherine logra decifrar la clave, y ahora nos la ha dado a nosotros para que hagamos otro tanto.
La carta, tal como fuera redactada por el detective, dice así:
“Querida amiga:
”He descubierto la identidad del asesino de lord Greenam. No confío en nadie a mi alrededor, y ya que no has podido venir a la campiña para hacer un seguimiento exhaustivo del caso, te daré a ti la información. Cuando retorne a Londres y esté a salvo, será el momento justo para decir lo que hay que decir.
”No obstante, existe también el riesgo de que la carta caiga en malas manos y su contenido se utilice de forma inapropiada. Pido mil excusas, querida amiga, si acaso no he sido suficientemente claro al cifrar la identidad, pero confío plenamente en tus capacidades deductivas y lógicas y sé que no fallarás al decifrar este pequeño enigma.
”Atentamente: Adam C. Evans”.
Y esta es la clave que el detective dio a su socia:

1. El mayordomo fue interrogado antes de quien fuera interrogado en la biblioteca.
   
2. El jardinero y el ama de llaves fueron interrogados en el dormitorio y el jardín (no necesariamente en ese orden).
   
3. El ama de llaves fue interrogada a las nueve de la mañana.
   
4. La cocinera no fue interrogada a las diez y treinta.
   
5. El interrogatorio que ocurrió en la cocina tuvo lugar después de la persona culpable y antes del interrogatorio del jardín.
   

Como siempre, una semana. Después de ese plazo, y ahora esperemos que sí, se publicará la respuesta al enigma.

Buena suerte y...
¡Matemática a la carga!

Han vuelto

Damas, caballeros, aquello que da sentido a este blog (las matemáticas, para que no pensemos que este blog se nutre de paz) (al contrario, este blog fomenta la ansiedad y el estrés) (deberían dejar de leerlo ya mismo)... han retornado. Por favor, que se entiendan los paréntesis como una sutil ironía de las que me gustan a mí.

Siempre me gusta decir algo para comenzar la sección de mates de cada cuatrimestre, pero hoy no tengo nada interesante que comentar y no he leído nada digno de publicarse con esa intención. Sin embargo, algo tendré que poner, ¿no? De lo contrario se me caería la entrada a pedazos, ¿no? Pues veamos...

... Dos y dos son cuatro cuatro y dos son seis...
... Seis y dos son ocho y ocho dieciseis...
... Ocho veinticuatro y ocho treinta y dos...
... Salta la tablita yo ya la salté...

Que el que se lo haya creído hasta aquí que levante la mano. Vamos, ahora bajadla, que lo mismo nadie la veía.

Damas, caballeros, porque amamos el mundo de las matemáticas, las matemáticas han retornado. Porque es nuestra pasión desvelarnos por no poder resolver un enigma, las matemáticas vienen a saciar nuestras ansias de pensar. Porque somos una panda de frikis sin remedio, vuelven las matemáticas para hacernos reír un rato.

Porque alto, ancho y largo es el mundo que se abre a los atentos exploradores, y temeroso va este, con cuidado de que las llaves que le han permitido entrar ahí le sean arrebatadas y su ser sea privado de la maravilla que ahí se esconde. Esto último lo dijo Tolkien sobre los cuentos de hadas, nada es mío. Porque larga es la aventura que nos aguarda al ponernos en marcha (esto ya sí es mío). Porque las matemáticas son inagotables e infinitas. Porque son un mar truculento en el que el viajero gusta perderse para explorar.

Porque abismales son sus aguas y también peligrosas. Porque cuando el marinero se hace a la mar sabe que correrá riesgos, pero le da igual con tal de perseguir sus aventuras. Porque son como las sirenas: son hermosas, pero también peligrosas y seductoras. Porque son como el amor: la plenitud de amar, y los dolores de cabeza que eso conyeva.

Porque es la forma en que el hombre ha decidido crear entes abstractos e ideales puros y perfectos. Y porque el estudio de estos entes ideales nutre al estudio de los entes concretos. Porque resulta francamente asombroso que el hombre haya sido capaz de crear sistemas de entendimiento (o modelos de explicación) que definan la realidad y proporcionen una interpretación tan certera sobre lo que nos rodea, y que para elaborar estos modelos de comprensión de la realidad se base en entes ideales que nutren las teorías existentes.

Porque sabemos que al hombre nos ha sido dado el privilegiado don de conocer aquello que nos rodea y descubrir las pequeñas maquinarias de la naturaleza. Entender los mecanismos ocultos del universo y maravillarnos ante la grandeza y la sutileza de la creación. Porque cada pequeño detalle, un átomo, una estrella o una nube, está maravillosamente diseñado y estructurado, y le ha sido concedido al hombre conocerlo y admirarlo.

Porque hay quien dice que la definición de "búsqueda de la verdad" que tiene la ciencia es abstracta y poco clara, pero es cierto hasta cierto punto. Porque es cierto que la labor del científico hoy en día se ve influenciada por la perniciosa economía y la búsqueda de reconocimiento, de fama o de dinero, y que muchos de los grandes hallazgos científicos son aplicados sin mesura y sin ética alguna. Pero no es menos cierto que la ciencia comenzó su camino por sabios hombres que, antes que nada, supieron entenderse como sencillos y extraviados exploradores ante algo mucho más grande que nunca llegarían a conocer.

Porque la ciencia de verdad, la que practicaron hombres como Lavoisier, como Hooke, como Boile, como Newton, como Copérnico, como Galileo, como Pasteur, como Dalthon, como Abogadro, como Vorg, como Raderfort, como Gram o como Kekulé, era la ciencia de humildad ante la gran sabiduría del cosmos, ante lo inmenso e inexplorado, ante aquello que permanecería siempre velado a toda inteligencia mortal.

Porque como dijo Milone, el conocer mecanismos y funcionamientos del ADN no da respuestas sobre interrogantes mucho más elevadas. Porque, así como es cierto que se incurriría en insensatez el pretender decir que el conocimiento científico es pura y exclusivamente objetivo, no es menos cierto que sería insensato decir que la ciencia puede abarcarlo todo. Puede llegar a un conocimiento amplio y profundo sobre el mundo que la rodea, y esta es una gran empresa y una increíble aventura de por sí.

Porque me aburro y quería traer este sección a la vida. Porque awquí luchamos fieramente por combatir esos retos matemáticos. Porque una aventura, si se queda a medias, deja de ser aventura. Porque es hora de retornar...

... Damas, caballeros, las matemáticas han vuelto.

Estad atentos.

Pequeño entremés - Dados de colores

¿Entremés? No, estamos a fin de mes. Ahora que he fastidiado el chiste fácil...
... la vida es soporífera. Quiero traer a colación una antigua sección, aunque más no sea por un par de entradas, antes de entrar de cabeza en febrero y yo extinguirme por completo de la vida blogueril hasta que terminen los exámenes. Andamos medio escasos de personal, pero veamos qué se puede hacer con este enigma que dejo a continuación.

¡Las matemáticas regresan!

Antes del planteo, unas consideraciones previas. En primer lugar este es un problema para plantear la probabilidad intuitiva (es decir, poner a prueba nuestro instinto a la hora de calcular probabilidades). En segundo lugar, yo no conseguí resolverlo en u momento y tardé unos días en comprender el razonamiento. Nunca fui bueno para la probabilidad, qué queréis que os diga, así que nadie se angustie por estos lados. Como ya hemos icho, el truco de estos problemas está en pensarlos, no en resolverlos bien. Resolverlo es un plus extra, como una pequeña recompensa después del trabajo, pero lo que de verdad importa aquí es pensar. Si aprendemos a pensar, entonces la labor está hecha.

¿Listos? Allá va.

Hay dos amigos: Ludwig y Wolfgan. Ambos amigos tienen un juego de dados muy particular. En principio no juegan con dados convencionales.
Son dados de colores.
El juego es así:
Primero se tira un dado (sale un color, que puede ser azul o rojo).
Y luego se tira el otro dado.
Ludwig gana cuando las caras que salieron de los dos dados son del mismo color, ya sea rojo o azul. Por ejemplo, que tiren los dados y en ambas caras esté el rojo, o en ambas caras esté el azul.
Wolfgang gana si salen las caras de distinto color. Por ejemplo, si el primer dado salió rojo, para que gane Wolfgang en el segundo dado debe salir el azul, y viceversa.
El primero de los dados tiene cinco caras azules y una cara roja.

¿Cómo tendría que ser el segundo dado para que el juego fuera parejo?

Siete días. Después de ese plazo, se publicará la solución de este problema. Tenéis tiempo para pensarlo y analizarlo, así que id sin prisas. Si alguna parte del enunciado no aparece clara, si queréis que especifique un punto en concreto o que explique mejor la pregunta final (o vamos, cualquier cosa que os inquiete, y para que todos podamos participar sin confusiones), preguntadlo en los comentarios libremente y os responderé a la brevedad. Y ya puestos, recordad que no es trampa ver los comentarios de vuestros compañeros, pero que si lo hacéis, al final termináis perdiendo vosotros una increíble posibilidad de pensarlo por vosotros mismos.

¡Matemática a la carga!

Solución al problema del prisionero sentenciado injustamente

Damas, caballeros…

… una semana ha pasado desde la publicación de nuestro anterior y (por el momento) último enigma de esta temporada. Creo que este enigma en particular necesita ser mucho más pensado y razonado que los anteriores. Creo que el señor Edgar Poe nos da su respuesta en la carta robada: “¿No será la aparente sencillez del misterio lo que lo torna complejo?”. En efecto, existe quien critica a Edgar Allan Poe por crear un cuento ficticio tan osado como lo es el policial.

Jorge Luis Borges, a quien admiro y respeto en cierta medida, dijo que el truco de Poe había sido intelectualizar en demasía todos sus escritos, dando por hecho un género no real. Según Borges, el género policial de Poe sería un género de fantasía, pero una fantasía ligada a la inteligencia. Las máximas de las matemáticas se quiebran ante el abstracto razonador, ante la imaginación intelectual, ante algo que pretende ser real pero que en realidad es pura fantasía. No estoy de acuerdo con lo que dice Borges. O al menos no con todo lo que dice.

Hay quien cuestiona a Poe y a Conan Doyle, pero lo cierto es que ambos dos han hecho lo mismo, al igual que lo hizo Chesterton. Poe ha creado un género extraordinario, y para que ese género exista nos ha creado a nosotros, los lectores de un género policial, los creadores del género policial. Estamos convencidos de que un libro no existe cerrado, sino que su género nace cuando alguien lo lee como tal.

Con todo, volvamos a lo que nos convoca. En efecto, quizás la solución se halle mucho más visible de lo que nos resulta creer, y al final todo se resume al ejemplo que da Dupin en ese mismo cuento. “El jugador inexperto dará los nombres que aparezcan con letras más pequeñas, en tanto que el jugador avanzado siempre dará los nombres que aparezcan en letras más grandes, para confundir al ojo del observador de ese mapa”. Quizás no sea necesario buscar grandes vueltas de tuerca. Quizás, como en la carta robada, el sobre aparezca a la vista de todo el mundo, y por eso mismo, todo el mundo lo ignora, pensando que la solución verdadera tiene que hallarse en los huecos más profundos de la mente humana.

Hace un tiempo hablamos de la navaja de Ockham. Esto es lo mismo. “La solución más sencilla tiende a ser siempre la correcta” es equivalente a “la evidencia de una solución puede conducirnos a ignorarla”. Cuando vemos que los zapatos de un cadáver, por ejemplo, están limpios y sin ninguna anomalía, y sabemos que la noche en que el hombre debería haber salido estaba más tormentosa que el diluvio universal, podemos pensar dos cosas:

El hombre no salió de su casa aquella noche.

1. El hombre salió de su casa, pero para llegar al teatro atravesó un camino cubierto con galerías y techos, cuya función era mantener seco el lugar por donde caminaba, por lo que, a pesar de la tormenta, bien podría haber salido sin mojarse los zapatos.
   

Aplicando la navaja de Ockham o la ley de la sencillez, el primer postulado, por ser el que menos entes o máximas propone, generalmente será siempre el correcto.

¿Cuál es la solución del enigma?

… el hombre se acerca al verdugo, piensa un momento mientras las palabras del juez resuenan en su mente, y luego el juez proclama “¡que elija su sentencia!”.
Toda la muchedumbre proclama a viva voz: “¡Que elija su sentencia! ¡Que se manifieste la verdadera justicia!”.
El verdugo extiende ambas manos, con un papelito en cada una, y el hombre, tras meditarlo profundamente, toma uno de los papeles y se lo come.
La multitud en pleno prorrumpe en una exclamación ahogada. El juez grita al acusado.
—¡Eres un insubordinado! ¿Lo veis todos? Si este hombre hubiese sido inocente de verdad, no habría temido la justicia de Dios, pues no habría permitido que un inocente fuese inculpado injustamente.
El acusado termina de tragar el papel y luego, tras aclararse la garganta, pide la palabra con un gesto de la mano.
—Antes de tirar la primera piedra —dice—, creo que yo sé cómo hacer para demostrar mi inocencia. ¿Por qué no vemos el papel que ha quedado en manos del verdugo? Si yo he tomado el papel que dice “inocente”, en el papel del verdugo quedará escrita la palabra “culpable”; y si yo he tomado el papel que declara mi culpabilidad, en la mano del verdugo quedará la leyenda que proclama “inocente”.
El pueblo, con esta nueva perspectiva de saber cuál había sido el veredicto, insta al verdugo a que les muestre el papel que aún conservaba. El hombre, a regañadientes, lo desdobla y se lo da a un ciudadano honesto que proclama:
—¡En este papel está escrita la palabra “culpable”! Por lo tanto, dando fe de la razón de las palabras del acusado, digo ante el juez y ante el pueblo, este hombre ha tomado y comido el papel que declara su inocencia, teniéndose en cuenta la veracidad de la prueba y la rigurosa verdad de la lógica.
El juez sabe que no tiene argumentos para contradecir absolutamente nada, por lo que golpea su banquillo con un martillo y grita a viva voz:
—¡El hombre es inocente! ¡Dejadle en libertad!

Como siempre, esta es una de las tantas soluciones que puede tener el enunciado. Fantasmas pronunció algunas en su primera intervención, y eran acertadas… aunque no concluyentes. El hecho de eliminar uno de los dos papeles deja sentado que no hay forma de demostrar lo contrario, por lo que el problema queda resuelto. Quizás alguno de los lectores recuerde este artículo de Mientras tanto en el mundo, publicado hace casi un año en la Sociedad del Misterio. Como podrán comprobar si lo leen, el mismo método que usó el acusado es el que utiliza el maleante para librarse de un juicio por atraco. Esto es lógica lateral, damas y caballeros.

Con esto concluimos el problema del prisionero sentenciado injustamente, y con los problemas de prisioneros y verdugos, para gran alivio de Key. Pero también cerramos una nueva etapa de matemáticas. Creo que esta ha sido una temporada fructífera y llena de cosas que nos han hecho pensar y reflexionar, y mientras exista reflexión y pensamiento, el mundo irá un poco mejor.

Desde aquí, mis más orgullosos aplausos a todos los que pensaron este problema, en el salón, en casa o en cualquier momento. Y para hacer extensivo, un fortísimo aplauso a todos los que pensaron los problemas de esta temporada de matemáticas. Lo importante es pensarlo, no resolverlo, no olvidéis eso nunca.

¡Elen síla lumenn omentielvo!
¡¡¡MATEMÁTICA A LA CARGA!!!


Será, amigos y amigas del salón del estudio, hasta que las matemáticas nos vuelvan a convocar para seguir la gran aventura que se abre en el horizonte.

El problema del prisionero sentenciado injustamente

Dado el tenor de los anteriores problemas, creo que esto se presentará mucho más sencillo que en anteriores ocasiones, pero es una pequeña forma de declarar que, al menos la sección de matemáticas, se toma un pequeño respiro hasta marzo (cuando termine la época gruesa de exámenes). Quizás en enero pueda publicar algún intermedio, pero no prometo nada. Por lo pronto, con este problema cerramos temporada de matemáticas y abrimos el periodo de exámenes (esto quiere decir, entre otras cosas, que la publicación se verá más menguada que de costumbre). Seguiré por aquí, no obstante. Por lo menos hasta el treinta de noviembre podré tratar de publicar algo. Y si todo sale bien, después del veinticinco de diciembre podríamos volver a la acción.

Damas caballeros, a título anecdótico, esta ha sido una de las temporadas más fructíferas en este salón (a muchos niveles). Quiero daros las gracias a todos vosotros, los que día a día hacéis que el salón respire y siga andando. Esto no sería lo mismo sin todos vosotros, en serio.

Y el momento meloso se termina para dar lugar al momento más esperado de la noche (que se note que se estudian ciencias frías).

Un hombre es sentenciado injustamente en el medioevo. En la actualidad podría considerarse así como una falsa acusación, ya que el hombre es inocente y muchos quieren que la culpa de un crimen que no cometió recaiga sobre él para dejar libre de sospechas a miembros destacados de la comunidad (no es Edmundo Dantés, pero bien podría serlo).
el prisionero sabe que todo es una acusación en falso, y cuando espera su injusto juicio escucha al juez y al verdugo hablar entre sí.
—¿Cómo demostrará la culpabilidad de este hombre? —pregunta el verdugo con una áspera voz.
—He decidido no ser yo quien haga justicia en esta ocasión —responde el juez ajustándose el cuello de su túnica—. Será el mismo condenado, por intermedio de la justicia de Dios, el que recibirá su castigo.
—¿Cómo lo hará, señor?
—En estos dos papeles escribiremos la palabra "culpable", y tú se los presentarás al acusado. Entonces yo proclamaré a la audiencia: "En mi magnanimidad, he decidido que sea el acusado quien decida su propia sentencia, apelando siempre a la divina providencia. En uno de estos papeles está escrita la palabra 'inocente' y en el otro la palabra 'culpable'. Si es verdaderamente inocente, la providencia no permitirá que elija el papel que dice culpable; y si es verdaderamente culpable, la providencia no permitirá que tome el papel que dice inocente. Que sea el acusado quien elija su sentencia, pues será verdadera y justa". Entonces el pobre desdichado tomará cualquiera de los dos papeles y será inmediatamente ejecutado, pues en ambos estará escrita la palabra "culpable".
El hombre termina de oír la conversación y sabe que no tiene esperanza.
Es llevado al tribunal y el juez vuelve a proclamar su discurso, ahora ante toda la audiencia. El verdugo se acerca con los dos papeles, uno en cada mano, y el prisionero tiene que elegir su sentencia.

¿Qué es lo que hace para salvarse del verdugo?

Siete días (esperemos), después de eso, se publicará la solución de este pequeño enigma.

¡A pensar!
¡Matemática a la carga!

Solución al problema del prisionero y de los dos guardianes

Damas, caballeros, ha llegado la hora de proponer aquí la solución al problema de la semana pasada. Como siempre decimos, esta es sólo una de las posibles soluciones que puede tener el enunciado, lo importante es haberlo pensado. Si alguien llega a la misma solución con otros razonamientos, o incluso si llega a otra solución igual de válida que esta, que siempre prefiera esa, porque es más suya, es más propia y tiene cierto toque personal (en esto también intervienen los sentimientos, aunque a primera vista no lo parezca). Las soluciones personales siempre serán mejores a las que aparecen en un libro: uno mismo las ha pensado, las ha razonado y le son más familiares, más cálidas y... familiares.

¿Listos? ¡Allá vamos!

En nuestro capítulo anterior...

... ¿tiene solución? Y en caso afirmativo, ¿qué tuvo que preguntar y a quién para salir a la libertad?

El hombre se acercó a uno de los dos guardianes al azar, llamó su atención y le preguntó resueltamente: "¿Qué me diría el otro guardia si yo le preguntara cuál es la puerta que conduce a mi libertad?". El guardia le señaló una de las puertas. El hombre se encaminó resueltamente hacia la puerta contraria a esta (la que el guardia no había señalado) la abrió, y al salir vió un vivo paraje cubierta de verde y color.

Antes de enunciar los razonamientos que llevan a esta solución, quiero hacer constar lo siguiente: Si el problema decía que la habitación tenía dos puertas, y sabemos que lo hicieron entrar a esa habitación para que decidiera su destino, ¿por dónde entró para que no estuviera avisado de antemano de cuál era la puerta que conducía a tal lugar? La respuesta: Lo hicieron bajar por una escalera desde el techo, claro está.

El problema se resuelve estableciendo posibilidades:

1. Si le pregunto al guardia mentiroso cuál es la puerta que conduce a mi libertad el guardia mentiroso me señalará la opuesta.
   
2. Si le pregunto cual es la puerta que me conduce al verdugo, me señalará la contraria (es decir, la puerta que me lleva al exterior).
   
3. Si yo le pregunto al guardián honesto cuál es la puerta que lleva al verdugo, entonces me la señalará y yo iré a la contraria.
   
4. Si yo le pregunto por la puerta que lleva a la salvación, me la indicará y yo iré hacia ella.
   
5. El problema es que no sé cuál es cuál. Supongamos que yo voy con el que miente creyendo que es el que dice la verdad, le pregunto cuál es la puerta de salida y me señalará la puerta del verdugo, y yo, al creer que es el guardián honesto, iré hacia allí, iluso de mí. Y si voy con el que dice siempre la verdad, pero lo hago creyendo que es el que miente, y le pregunto cuál es la puerta del verdugo, me la señalará tranquilamente, y yo, creyendo que me está mintiendo, iré hacia allí, también iluso de mí.
   
6. No puedo preguntarle a alguno de los dos quién es el que miente y quién es el que dice la verdad, porque entonces habré perdido la única pregunta que puedo hacer. Luego también está el inconveniente de que sería una pregunta al vacío, ya que no puedo confiar en ninguna de sus palabras.
   
7. Necesito preguntar algo genérico que sea válido para cualquiera de los dos guardianes.
   

• Mi pregunta es "hacia dónde está la puerta de salvación".
  
• Necesito encontrar una sola respuesta válida para ambos y que embone a la perfección (que no pueda ser usada en mi contra).
  

¿Qué me diría el otro guardia si le preguntara cuál es la puerta de salida?

1. Si le pregunto esto al guardia honesto que custodia la puerta de la salida, él me responderá que la otra puerta. Como siempre me dice la verdad, dirá que si le preguntara al guardia mentiroso cuál es la puerta de salida a la libertad este último me señalaría laque conduce al verdugo.
   
2. Si le pregunto al guardia honesto en la puerta del verdugo, me responderá que por su puerta (la del guardia honesto).
   
3. Si le pregunto al guardián mentiroso en la puerta de la libertad, el guardián me mentirá. Si yo le preguntara al guardián honesto cuál es la puerta que lleva a la libertad, el guardián honesto me la diría sin problemas; pero como el guardián mentiroso está torciendo siempre las palabras, le dirá que el otro señalaría la puerta equívoca (es decir, la puerta que el honesto está custodiando).
   
4. Si el mentiroso está custodiando la puerta del verdugo, entonces le responderá "por mí puerta", ya que el honesto señalaría la puerta correcta (la suya propia), y el mentiroso torcería sus palabras.
   

En cualquier caso, el prisionero siempre deberá elegir la puerta opuesta a la que le señalen.

Mención especial para Fantasmas, que, por una errata mía en la redacción, se puso a analizar qué pasaría si... y terminó con dolor de cabeza. Por eso he estimado conveniente que su trabajo salga en la entrada, a modo de premio por haberse montado semejante respuesta.

Espero que esto de despistarme dos días no se vuelva a repetir, pero en serio, comienzo a estar muy ocupado por estas fechas. Os mantendré informados, y quizás dentro de un par de días publiquemos el último problema de esta temporada (temporada que ha sido bastante fructífera, no lo podéis negar).

Pero eso es el mañana, y mientras sea hoy... carpe diem.

¡Matemática a la carga!

El problema del prisionero y los dos guardianes

Damas, caballeros, aparte de ciertas modificaciones en la estructura externa del salón (el añadido de un par de gadgets que están a modo de prueba por un tiempo, a ver si resultan de alguna utilidad), nosotros seguimos trabajando incansablemente en nuestro caminar incesante. Volvemos con la lógica lateral, así que a afinar y calibrar la mente, porque será necesario transitar por los senderos de los razonamientos kpara encontrar posibles soluciones. ¿Listos? Allá vamos.

Un hombre es sentenciado a elegir su sentencia. Es puesto en una habitación cerrada que tiene dos puertas y dos guardianes (uno por cada puerta). Una de las puertas conduce a la libertad, la otra lleva a un recinto en donde aguarda un verdurgo listo para ejecutarlo.
Para salir tiene derecho a hacer una sola pregunta a uno solo de los guardianes. Y lo único que sabe de ellos es que uno es un mentiroso redomado y el otro dice siempre la verdad. Sabe que uno siempre miente (sin excepción), y sabe que el otro siempre dice la verdad (también sin excepción).
Él no sabe cuál es el guardián que miente, así como tampoco sabe quién es el guardián que dice la verdad; ni cuál es la puerta que lleva al verdugo ni cuál la que lleva a la libertad. Cabe destacar que, a fines prácticos del problema, no necesariamente el guardián que dice la verdad es el que custodia la puerta de la libertad (y viceversa, no necesariamente el guardián mentiroso es el custodio de la puerta que conduce al verdugo). Eso no está relacionado.
La regla es sencilla: una sola pregunta y a uno solo de los guardianes. Una sola oportunidad. Sabe que si le pregunte al mentiroso recibirá una información falsa, pero no sabe quién es el que miente ni quién es el que dice la verdad. Sabe cuáles son sus dificultades. Pero sabe que tiene que arriesgarse enteramente. Sin embargo, se para a pensarlo un momento.

¿Tiene solución?

En caso afirmativo, ¿qué le debería preguntar y a quién para salir de la habitación por la puerta que conduce a la libertad?

ADVERTENCIA: La única aclaración de la última pregunta está hecha para que no me vengan con la vuelta de tuerca de "que le pregunte a cualquiera y salga por cualquiera de las puertas".

ADVERTENCA II: No tiene respuesta como "pues debería sobornar a cualquiera de los dos para que se le permitiera hacer dos preguntas o tres". A pensar, que aquí cuenta la astucia del cerebro y de los razonamientos laterales.

¡Matemática a la carga!

Solución al problema del hombre, el revólver y la cantina: La navaja de Okam

En nuestro episodio anterior...

¿Por qué dio las gracias si no recibió el vaso de agua?

Han pasado siete largos días desde la publicación de nuestro problemilla, así que juzgo conveniente dejar sentada aquí la solución. Ruego a todos los lectores que se hayan perdido el problema anterior que se pasen por la entrada en que lo consigno para intentar resolverlo por vosotros mismos antes de seguir leyendo aquí. A continuación consignaré la cadena de razonamiento que utilicé para arribar a la solución. Si les soy sincero, lo cierto es que con ese método de "sí", "no" o "es irrelevante" sólo conseguía marearme, así que me quedé calladito y comencé a reflexionar por cuenta propia, por lo que es más fácil resolver así el enunciado.

Partimos del punto de que el hombre se retira dando las gracias. Esto indica que el hombre sale de esa cantina habiendo conseguido lo que buscaba. Claro está, podía tratarse de que el hombre tenía más apego a su propia vida que al vaso de agua, y si se encontraba un chiflado maniático que entendía "revólver a la cabeza" por las palabras "vaso de agua", entonces habría que salir corriendo y dar las gracias (esperando que "gracias" no significara en su idioma temporada de patos ¡dispara!").
¿Qué buscaba el hombre? Si leemos atentamente el enunciado de cabo a rabo, observamos que el motivo de entrada del hombre a esa catina es un vaso de agua. Ahora bien, lo extraño es que el cantinero no le haya dado ese vaso, y aún así el hombre haya agradecido cordialmente.
Llegamos al punto cumbre de todo razonamiento: si el hombre no había ido a por un vaso de agua, y aunque no lo hubiera recibido dijo "gracias", ¿adónde está todo esto?
Si no le dieron el vaso de agua, al menos le dieron algo que pudiera suplir ese vaso de agua. En teoría, y casi siempre, suponemos que si alguien nos pide un vaso de agua será porque tiene sed, ¿verdad? Pero en este caso el hombre no sació su sed, sino que sin beber una sola gota agradeció al cantinero.
El problema se torna menos difuso: ¿qué otra utilidad puede tener un vaso de agua? Y la pregunta que va aparejada a esta: ¿cuál de todas esas posibilidades puede reemplazarse con un revólver a la cabeza?

Tenía ipo.

No me lancéis con tomates, mis queridos amigos, porque antes de publicar esto me cuidé de que fuera un problema de ingenio. Los problemas de ingenio se resuelven cuando hay ingenio, pero cuando el ingenio no llega, entonces ¿qué hacemos?Es lógica lateral (aunque es cierto que el problema deja muchos elementos fantásticos en el aire). Por ejemplo: ¿cómo demonios sabía el cantinero que este tipo tenía hipo? ¿El hipo se cura con un susto? ¿Si el hombrecito y el cantinero hubieran convenido antes en lo del arma, se habría llevado el hombre un verdadero susto? ¿No podía ser que diera las gracias por seguir vivo? ¿El cantinero estaba harto de que ese hombre lo fuera a molestar con un vaso de agua? Sin embargo (y rogando para que esta sea la satisfactoria solución que planteó Key en su comentario), esta termina siendo la respuesta a la que se puede arribar con este razonamiento.

Las preguntas que se podían formular estaban destinadas a limitar el campo de las posibilidades. Por ejemplo: ¿El hombre estaba contipado? ¿Era una pistola de agua? ¿El cantinero tenía intención verdadera de disparar? ¿El hombrecito tenía sed? De este modo se iban limitando posibilidades, y al final llegábamos al punto en que podíamos ejercitar nuestro razonamiento lateral.


Con todo, Fantasmas, quien ha sido el que ha propuesto otras soluciones (Key se ha abstenido de participar por principios morales), ha planteado respuestas interesantes y alternativas que son aplicables con los datos que tenía. Como siempre decimos aquí, lo importante no es acertar o errar, lo importante es usar la mente e intentar pensar. Y eso es muestra de valentía y temeridad, pues son pocos los que tratan de enfrentarse con los vagos pasillos de la mente humana.

Aquí expongo el porqué dije que lo de las preguntas me había llegado a confundir: porque después de preguntar cosas escenciales, terminé preguntando cosas como "¿el hombrecito era un espía?", "¿el cantinero había pactado hacer una cámara oculta?", "¿el lugar a donde entró el hombrecito, era de verdad una taberna?". Y he aquí uno de los más grandes errores de aquellos que se aventuran a conjeturar en casos policiales: irse por la tangente o comerse la banquina. Teniendo datos suficientes como para elaborar alguna teoría, lo que pretendemos es implicar variables desconocidas y que, si bien están sujetas a probabilidad, no están contempladas en la primera revisada de un problema o misterio.

Y aquí llegamos. El postulado de la navaja de Ockham refiere: "De dos teorías que tengan la misma consecuencia, hay una mayor probabilidad de que la más simple (para el señor de Ockham la simplicidad podía medirse de acuerdo a la menor cantidad de entes añadidos a una teoría o la menor cantidad de axiomas en la misma) sea la correcta". Sé que el postulado ha sido cuestionado grandemente a lo largo de la historia, pero quiero que recordemos que el mismo Ockham no propuso esto como una máxima que debiera considerarse siempre, y sólo podía emplearse en casos puntuales y empíricamente demostrables. Sherlock Holmes lo dice de la siguiente manera: "La solución más simple es casi siempre la correcta". Como he dicho, "casi" es una palabra muy poderosa. Tenienda las evidencias que respalden dos teorías distintas, e incluso habiendo demostrado que ambas son igualmente válidas, casi siempre la más sencilla (semánticamente puede ser la más compleja, lo importante es que la idea general que postule sea simple y llana) tiene mayor probabilidad (no toda la probabilidad) de ser la correcta. Tenemos casos que verdaderamente demuestran que la navaja de Ockham es perfectamente falible: toda la teoría de la física cuántica, de la relatividad, la teoría M... son demostraciones de que no siempre es una máxima aplicable, de que puede no estar sujeta a la verdad.

En el campo de lo penal, casi siempre es preferible contar con la mayor cantidad de evidencias para resolver misterios; pero evidencias no son entes postulados porque sí. Sabemos que siempre necesitaremos la mayor cantidad de evidencias posibles para desarrollar teorías que embonen con los hechos y pruebas que tenemos a disposición. Aún así, no siempre es recomendable sobrecargarse con evidencias, pues puede que la aglomeración nos impida disfrutar más de las pistas claves de un misterio. La música clásica y romántica, en contraposición a la barroca, genera aglomeración de sonidos; en cambio, Bach hace un alarde de simplicidad a la hora de escribir música, ya que cada voz puede distinguirse y apreciarse por sí sola (en la música del romanticismo sólo apreciamos un conjunto de notas musicales aglomeradas en acordes). Sin embargo, esa determinada cantidad de evidencias tiene que llevarnos a la creación de varias teorías que puedan embonar perfectamente en todas (saldríamos ya de la idea de pruebas ambiguas, ya que para la confección de dichas teorías se han usado el conjunto por entero de todas las pruebas a disposición). En este punto entraría la idea de lo "global", muy distinto a lo "aglomerado".

Una vez desarrolladas esas teorías, podemos tratar de encontrar la más sencillas (que postule menor cantidad de variables en tanto deducciones o razonamientos que se salgan del campo primo del primer análisis). Supongamos lo siguiente:

Pruebas y hechos (que son observados):

1. La carpeta de clase de mi hijo está incompleta.
   
2. Y en su cuaderno de comunicados hay una nota en la que su maestra advierte que el niño no ha estado asistiendo a clases con regularidad.
   

Conocimientos:

1. Yo sé que en los días que en la carpeta no se escribió nada mi hijo salió de casa.
   

Deducción:

1. Mi hijo no ha ido a clases.
   

Así de sencillo deberíamos poder referirlo cuando encontramos al fin la incoherencia que andábamos buscando. En este caso la incoherencia sería la siguiente: el niño ha dicho que él va al colegio (por lo menos no ha dicho lo contrario), cosa que se contradice con los hechos y pruebas que estoy observando ahora mismo. Aplicando la máxima de que las personas mienten y las pruebas no, mi hijo ha estado mintiendo, y he ahí la incoherencia. Ahora bien, podemos encontrar varias explicaciones al fenómeno.

Explicaciones o teorías:

1. Mi hijo no ha ido a clases.
   
2. Mi hijo no ha ido a clases porque se está drogando.
   
3. Mi hijo no ha ido a clases porque está frecuentando lugares de perdición.
   
4. Mi hijo no ha ido a clases porque se aburre debido a que tiene un alto coheficiente intelectual y se ha ido a la biblioteca pública en donde consulta cómics en conjunto con libros de astrofísica avanzada.
   

aplicando a este caso en concreto la navaja de Ockham —con la que sólo comulgo en ciertas cosas, ya que descree y afeita muchos escritos de Platón— la primera proposición, por ser la que menos conjeturas o subhipótesis (incluso podríamos hablar de riesgos corridos), resulta ser la más correcta (no descartando las otras posibilidades, sin embargo). Las otras posibilidades siguen siendo eso, aunque con un muy bajo nivel... ya que no tenemos ninguna otra prueba o evidencia que las respalde. Si las indagaciones sobre el caso nos dan más evidencias, terminaremos, al fin, pudiendo elaborar una teoría mucho más compleja, sin despegarnos de la primera y fundamental, que luego nos darán pie a una última conclusión. Por ejemplo, suponer que entre las pertenencias de mi hijo se encuentra un vale de descuento en una sala de videojuegos los días martes y jueves. Podríamos cotejar esa fecha con los días que no se consignan en su carpeta escolar, y podríamos decir que, entre las muchas posibilidades que tiene mi hijo de hacerse la chupina, la que ha elegido ha sido jugar en una sala de videojuegos.

El mismo postulado podemos utilizar en esta ocasión para nuestro razonamiento sobre el hipo. Havbiendo descartado otras evidencias o pruebas (eliminado variables) tenemos un determinado conjunto de hechos que nos deben servir para elaborar una deducción y una hipótesis de trabajo. Y, de nuevo con la proposición de la navaja, decimos que el "tenía hipo" resulta ser una respuesta tan buena como "estaban rodando una escena de una película de bajo presupuesto". Llegado el caso, podríamos preguntar si había alguna cámara tomando la escena, y al ser la respuesta no, no tendríamos mucho sustento para la segunda hipótesis (salvo que quisiéramos pensar que estaban ensayando, pero esto sí sería añadir conjeturas arriesgadas). La primera, por ser la más sencilla, y por no hallar respaldo en las evidencias la segunda, termina siendo, hasta que se demuestre lo contrario, la solución más correcta.

Con todo, como siempre decimos, lo importante aquí es pensar (el blog va de eso). Lo demás es algo secundario. Me han gustado las repuestas que este problema ha traído, y creo que eso debe ser rescatado. Damos por concluido, pues, el problema del hombrecillo, el revólver y la cantina (creo que ya he variado mucho el título, ¿no?). Será hasta que las matemáticas vuelvan a convocarnos.

¡Matemática a la carga!

Y a todos, mi más sincera enhorabuena.

El problema del hombre en el bar con el revólver

Hace ya algún tiempo, allá por principios de julio, una estudiante de profesorado de matemáticas me planteó este simpático enigma que, como siempre apelando a mi nulo sentido de la velocidad, tardé bastante tiempo en resolver. Me alegra poder decir, no obstante, que este caso ejemplifica a la perfección una máxima de la investigación y las novelas policiales; quizás ha sido demasiado decir que lo ejemplifica a la perfección, porque lo cierto es que la situación es un tanto surealista y presenta algunos interrogantes, pero es la respuesta en sí, es decir, la escencia de la respuesta a tan complejo problema (en apariencia), lo que contiene de verdad el espíritu de esta máxima científica.

Como sé que sois demasiados listos (y es verdad, os considero extraordinarios bibliotecarios y grandes aportadores del conocimiento), me reservaré la máxima matemática a la que hago alusión más arriba para dentro de siete días, cuando se publique la respuesta del problemilla. Por supuesto, si alguno de vosotros conocéis a qué máxima estoy haciendo referencia, podéis decirlo en los comentarios sin temor.

Quiero hacer una aclaración: En el momento en que me propusieron el problema, había una regla que interpelía al solucionando exponer los razonamientos al problemando, y este último debía responder a estas preguntas o interrogantes con un "es irrelevante", "puede ser", "no se descarta", "sí", "no". Ahora bien. Si bien vosotros tendréis que arreglaros con el problema sin poder hacer preguntas, quiero dejar bien en claro que no es un problema con trampa. No se puede decir "ah claro como no me pueden decir 'sí', 'no' o 'es irrelevante' resultaríame imposible de resolver". He comprobado experimentalmente (volviendo a pensar el problema) que hay un camino lógico (que incluye la participación de lógica lateral) y que conduce a la solución sin necesidad de mediadores. Deberéis estar atentos a vuestros razonamientos y tratar siempre de ser objetivos. Prestad atención a los más mínimos detalles, y disfrutad de resolver estos problemillas (o de pensarlos). Sabéis bien que aquí lo fundamental es pensar, lo demás es como un plus.

Un hombre entra a una cantina (un bar).
Le pide al cantinero, quien está detrás de la barra, que le dé un vaso de agua.
El cantinero mete la mano debajo de la barra y la saca con un revólver en ella.
Le apunta con el arma a la cabeza del sujeto, y así permanecen cuestión de unos momentos más.
Luego el primer individuo asiente con la cabeza y le dice de todo corazón "muchas gracias".

¿Por qué le dió las gracias?


Siete días, como de costumbre. A ver qué se os ocurre, y recordad, lo importante es pensar, porque aquí nadie es mejor o peor por acertar o errar, eso lo vivo repitiendo.

¡Matemática a la carga!

Solución al problema de los cinco sombreros: Estudio de variables

Damas, caballeros...
... hem... esta es una situación un poco complicada de explicar, pero creo que se puede enseñar (utilizando la primera acepción del término, que indicaría algo así como "mostrar"). Creo que lo primordial es pedir una sentida disculpa a todos vosotros, amigos y amigas del salón del estudio, pero lo cierto es que esto es una lección para no confiarse demasiado en la memoria, que puede fallar, y tratar de llevar una agenda (o, al menos, de estar más pendiente de la publicación del blog). Creo que comienzo a liarme con los estudios, amigos, y por eso me he confundido, creyendo que hoy a las once hacía el plazo de una semana desde la publicación de nuestro anterior problema. Mal calculado, eso es todo... El problema es que también tenía la ilusoria idea de que ya había dejado todo perfectamente programado, cuando de repente caigo en la cuenta de que no era así la cosa. Ruego mil excusas por semejante acto de imprudencia e irresponsabilidad (y otra más porque, en cierto sentido, no he cumplido una promesa levemente vinculante que os había hecho). Desearía que esto se conssiderara como una lección de que todo el mundo puede fallar muchas veces, y tras esta nueva introducción... cito (y modifico) la primera.

Ha pasado una semana desde la publicación del problema de los cinco sombreros, amigos y amigas del salón del estudio; como ya lo sabéis, esto quiere decir que ha llegado el momento de publicar la solución a nuestro particular enigma de la semana pasada.

Ha pasado una semana, un día y ocho horas y media desde que se publicó el problema de los cinco sombreros, amigas y amigos del salón del estudio. Esto quiere decir que ha llegado la hora (llegó y se pasó, mejor dicho) de publicar la solución a nuestro particular problema de la semana pasada (pasada pasada).

En el capítulo anterior os decía que había encontrado ciertas dificultades con el siguiente problema. Y quisiera compartir mis razonamientos con vosotros, porque si bien no son demasiado aplicables, es un buen ejemplo de cómo analizar profundamente un problema para entender causa y efecto, razón de ser de las cosas... Pero antes, creo justo que os transcriba textualmente la respuesta del libro, y quiero que tengáis esto bien presente, que algo se diga en un libro no es justificativo para decir que ese algo está bien. Eso va en contra de la idea del conocimiento. Cuando percibimos el conocimiento no debemos ser dóciles, me temo. Al contrario, la tarea del alumno o del estudiante es ser sumo inquisidor con lo que está leyendo o aprendiendo: "¿Esto tiene lógica? ¿Hay causalidad en lo que se dice aquí? Vayamos a los conceptos primitivos, analicemos a fondo lo que dice aquí, no dejemos que la fuerza de la autoridad o de la inercia nos haga estudiar cualquier cosa". Es imprecindible que todo se perciba con una actitud crítica y de cuestionamiento, que no todo lo que aparezca en el libro de ciencia sea la verdad absoluta, porque puede haber errores, porque no es correcto dejar de pensar sobre lo que se lee, porque, en definitiva, si no se razona ni se interpela con la lógica lo que se estudia, estamos generando un montón de futuros hombres que serán fácilmente guiados de las pestañas.

He aquí la respuesta, y quiero que a) recordéis que no es la verdad absoluta (y no por no serlo Adrián Paenza o el alumno que le envió el problema dejan de ser los genios que son), y b) intentad encontrar alguna forma de mejorar esta solución antes de que yo siga avanzando.

El señor C tenía un sombrero blanco, y eso fue lo que dijo.
¿Cómo lo supo? C hizo el siguiente razonamiento.
Si él y B tuvieran sombreros negros, A habría deducido que
tenía puesto un sombrero blanco, ya que puede ver los sombreros de los otros dos. Pero A no dijo nada. O, mejor dicho, sí dijo
algo: que no sabía qué sombrero tenía. Eso implicaba que él estaba
viendo que o bien B o bien C tenían un sombrero blanco.
Cuando le tocó el turno a B, él sólo podía ver el sombrero
de C, pero tenía la misma información que C: B sabía que o bien
él o bien C tenían un sombrero blanco. Si hubiera visto que C
tenía un sombrero negro, B habría podido decir que su propio
sombrero era blanco. Pero como no dijo nada, o mejor dicho, dijo
que no podía decirlo, entonces le tocó el turno a C.
Como B no pudo decidir, quería decir que C no tenía el sombrero
negro. Por lo tanto, a C le quedó el camino allanado, y sin
poder ver ningún sombrero, pudo determinar que él tenía uno
blanco. Y acertó.

Adrián Paenza añade un comentario a esta solución...

... 16 En Matemática… ¿Estás ahí? publiqué (pp. 162 y 164) varios problemas
sobre sombreros. Varios amigos me enviaron nuevos. Elegí éste que me mandó
Gustavo Stolovitzky. Gustavo es licenciado en Física en la UBA, doctor en Física
en Yale y ahora trabaja en los Estados Unidos, más precisamente en IBM, en el
departamento de Genómica funcional y sistemas biológicos. Fue, sin ninguna duda,
uno de los alumnos de quienes más aprendí en mi trayectoria como docente, además
de ser una persona realmente deliciosa...

¿Véis en dónde está fallando la respuesta que nos da el señor Paenza? Muchos de vosotros habéis seguido el mismo razonamiento que yo seguí, que está mucho más completo que el aquí expuesto, y quizás no haya sido justo en plantear la proposición del problemilla que generaba esto... (sí, podrían haberse visto los sombreros al entrar, Fantasmas, pero no era el caso :P Con todo, algún día me gustaría que me contaras con más tranquilidad el problema de los cuatro sombreros.

Todos habéis expuesto una cadena de razonamiento mucho más lógica que la que aquí se propone. Paso a reproducirla...

1. A no puede decir cuál es el color de su sombrero. Esto nos lleva a que B y C piensen cómo tendrían que tener los sombreros para que A haya dicho eso. Ambos saben que no pueden tener ambos un sombrero negro, pues entonces, y por descartes, A habría sabido de qué color era su sombrero de forma inmediata. Ambos piensan en las siguientes posibilidades o combinaciones, que luego C analizará tras la declaración de B:.
   
   
   
   • O bien B y C tenían sombreros blancos,
     
   • o bien B tenía uno negro y C uno blanco,
     
   • o bien B tenía el blanco y C el nnegro.
     
   
   
2. Luego B dice que él tampoco puede saber de que color tiene el sombrero, por lo que C deduce que (y siempre estableciendo probabilidades)...
   
   
   
   • Si él y B tuvieran sombreros blancos, B no podría saber cuál es su color.
     
     
     
     1. B sabe que en su cabeza puede haber otro sombrero blanco o bien uno negro, dada a la distribución de variables anterior.
        
     
     
   • Si él tuviera el sombrero negro y B el blanco, B podría saber cuál es su sombrero.
     
     
     
     1. C piensa: "B sabe cuál tiene que ser la distribución necesaria para que A no pudiera saber cuál era su sombrero. Uno de los dos tiene que tener el sombrero negro, no podemos tenerlo los dos. Si yo tuviese el negro, B sabría de forma instantánea que él tiene el blanco".
        
     
     
   • Si él tiene el sombrero blanco y B el negro, B sigue sin poder saber cuál es el color de su sombrero.
     
     
     
     1. Se aplica aquí el razonamiento del punto 2.1. Si C tiene el sombrero blanco, B queda sujeto a la posibilidad de que el que esté en su cabeza sea otro blanco o uno negro.
        
     
     
   
   
3. Luego para que ni A ni B sepan cuál es el color de sus sombreros, C siempre tiene que tener el sombrero blanco.
   

El problema con la respuesta de Paenza es que se saltea una cadena de pensamiento... que luego tiene que usar para dar el siguiente paso. Aquí he expuesto todas, o todas las que a mí me parecían que no caían en la redundancia absoluta, para que se entienda cuál es la diferencia. Cabe destacar, sin embargo, que cuando pensaba en este particular, comencé a preguntarme de qué forma se podría hacer encajar la solución incompleta (Paenza no contempla la posibilidad de que los dos tengan un sombrero blanco, sólo se queda en que B tiene el negro y C tiene el blanco, por ejemplo), y llegué a proponerme algunos nuevos planteos del problema... pero que derivaban a soluciones muy distintas. Creo que encontré formas de embellecer el problema, pero ya no sería lo mismo que antaño. Caí en la cuenta de que, para no alterar el enunciado original, podía agregar los razonamientos y las posibilidades que a Adrián Paenza se le había olvidado poner en la respuesta (o las había puesto de formas muy implícitas, las había salteado o las había ignorado por completo). Es por eso que hice la lista de más arriba.

En todo caso, veo que estos problemas os han entrenado bien y habéis expuesto todos una solución con todos los pasos correctamente aplicados. ¡Buen trabajo a todos los que lo han pensado! A los que lo pensaron y no lo resolvieron en sus casas, ¡felicitaciones, el primer paso y el más importante es emprender el camino del pensar!

Cerramos, por fin, este simpático problemilla de lógica lateral. Damas, caballeros, felicitaciones y muchas gracias (por la paciencia que a veces me tenéis, por el ánimo que le dáis a estos problemas, por lo feliz que me hacéis sentir cuando veo que aún hay sitio en este mundo para la lógica lateral y la ciencia pura).

¡Matemática a la carga!

El problema de los cinco sombreros

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Tenía mis serias dudas al momento de publicar este simpático problema, pero tras mucho reflexionar y darle vueltas en la mente, llegué a la conclusión de que, si bien con ciertas licencias, el problema puede resolverse con lógica lateral aplicada. Si bien el libro, en la parte de la solución, no recoge la posibilidad que yo añadiré en la solución, creo que está acertado, y que, modificar el problema, cosa que se me pasó por la cabeza cuando encontré ciertos detalles que no cazaban en la solución de Paenza, sería arruinar mucho el problema en lugar de embellecerlo o mejorarlo. Es menester que antes ustedes intenten resolverlo (o lo que es lo mismo, pensarlo largamente), y luego les diré las vueltecillas que me hicieron dar estos sombreros.

Tiene solución, aunque os recomiendo que le dediquéis mucho más tiempo del que soléis dedicarle a los demás problemas, a ver si lográis encontrar el mismo problemilla que yo encontré al resolverlo; si no es así, ya lo hablaremos en la entrada de la solución. ¿Listos?

En una habitación cerrada se ha hecho entrar a tres hombres. Antes de entrar debemos saber que en algún lugar indeterminado que está fuera del cuarto había cinco sombreros: tres blancos y dos negros. Antes de entrar les fue colocado un sombrero a cada uno, sin que los hombres conocieran el color de su sombrero.
A fines prácticos, comenzaremos a llamar a los hombres A, B y C. Ellos no saben cuál es el sombrero que tienen. Los tres hombres están ubicados de tal manera que A puede ver los sombreros de B y de C, B sólo puede ver el sombrero de C, y C no puede ver ningún sombrero.
Al salir de la habitación se les pregunta en orden (A, B y C) qué sombrero tienen puesto. Estas son las declaraciones de los señores A, B y C.
El señor A dijo que no podía determinar qué sombrero tenía. El señor B también dijo que no podía decir de qué color era su sombrero. Entonces el señor C dijo: "Entonces yo sé de qué color tengo mi sombrero.

¿Qué dijo? ¿Cómo podía saberlo?

P.S. Estad atentos. Recordad que C habló sólo después de que hablaron los demás. Pensad y decidme qué sacáis en claro.

Solución al problema de las diez bolsas con diez monedas

Ha pasado una semana desde la publicación del enigma, damas y caballeros. Ruego a los lectores que no hayan visto el problema de siete días atrás, que se den una vueltecilla por allí, lean el enunciado y traten de pensarlo un rato antes de leerse esta entrada. Al fin y al cabo, estos problemas se realizan con el único objetivo de que los asiduos al salón disfruten pensando un rato. Nada más sano. Para los lectores que anhelen saber cuál es la solución, aquí se publica el razonamiento que he seguido y que se consigna en el libro de donde extraje el problema. Si alguien llegó a la misma solución por un camino distinto —cosa que, gracias a la lógica lateral, puede ocurrir sin problemas— y si la solución es la misma, ese razonamiento es igual de válido que este; no mejor ni peor, sólo un razonamiento más. Que este sea el razonamiento consignado en el libro, como ya os he dicho, no quiere decir que sea el último, el correcto y el mejor. Tened eso bien presente siempre.

Con ustedes, la solución...

... Tenemos las bolsas numeradas de modo que podamos hacer lo siguiente:
Sacar una moneda de la bolsa número 1.
Sacar dos monedas de la bolsa número 2.
Sacar tres monedas de la bolsa número 3.
Sacar cuatro monedas de la bolsa número 4.
Sacar cinco monedas de la bolsa número 5.
Sacar seis monedas de la bolsa número 6.
Sacar siete de la bolsa número 7.
Sacar ocho monedas de la bolsa número 8.
Sacar nueve monedas de la bolsa número 9.
Y sacar diez moneda de la bolsa número 10.
El lector advertido notará que se han sacado cincuenta y cinco monedas. Lo ideal sería disponerlas de forma ordenada, pero eso sólo si luego queremos rescatar todas las monedas diferentes.
Creo que con este sencillo método de pesar las monedas el lector se habrá dado cuenta de cómo seguir, si es que hasta el momento no había pensado en eso. Si es así, sugiero que detenga la lectura, cierre el blog, dé vueltas en la mente a esta peculiar forma de pesaje y intente hallar la solución. Sigo yo aquí con la solución.
Si todas las monedas pesaran diez gramos (10 g), entonces la balanza tendría que marcarnos 550 gramos. Pero como hay monedas que pesan once gramos, sabemos que el indicador de la balanza nos dirá otra cosa. Como hemos sacado las monedas de todas las bolsas, sabemos que allí debe haber alguna que otra que pese once gramos. ¿Cómo saberlo?
Supongamos que la balanza indica que todo eso está pesando 551 gramos. ¿Qué significa? Significa que sólo había una moneda que pesaba once gramos (de ahí ese gramo más), y nosotros sabríamos entonces que de la bolsa en la que estaban las monedas de once gramos sólo pusimos una moneda... es decir, en este caso, de la bolsa número 1.
Si la balanza nos dijera 552 gramos estaríamos en condiciones de afirmar que sólo hay dos monedas que pesan más que las demás. Esto es, de la bolsa en donde estaban las monedas de once gramos sólo se extrajeron dos monedas (la bolsa número dos). Así si la balanza pesara 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559 y 560... en este último caso sabemmos que hay diez monedas de entre todas las pesadas en la balanza que masan un gramo más (un gramo por diez más son diez gramos, sumados a los ciento cincuenta nos dan por resultado el ciento sesenta). Es decir que se colocaron diez monedas de la bolsa que contenía las monedas de once gramos. ¿De qué bolsa se extrajeron diez monedas? De la número 10.

A esto se le llama imaginación y creatividad. Sólo con algo de pensamiento lateral e imaginación se llega a la solución. ¿Qué os ha parecido? Como siempre digo, lo importante aquí es haberlo pensado. El resolverlo es un añadido extra, pero si no se pensó, entonces se desperdició una increíble ocasión para encontrar nuevos caminos en los senderos de la mente.

Así concluye un nuevo problema del salón del estudio. ¡Espero que lo hayáis disfrutado y le sepáis sacar provecho! Será hasta que el mundo de las matemáticas nos vuelva a unir otra vez.

Sir Nícolas Vásquez de Aragón, desde Argentina para todo el mundo a través del salón del estudio.

¡Matemática a la carga!

El problema de las diez bolsas con las diez monedas

No me tiréis tomates, es que me gustan demasiado las monedas. Sin embargo, y a pesar de que muchos puedan recordar el segundo problema del salón del estudio (el problema de las ocho monedas y las dos pesadas), este pequeño enigma no es semejante en escencia. En principio, el anterior problema sólo tenía ocho monedas, y este tiene cien! En segundo lugar, el otro problema se basaba en una balanza de dos platillos, como las que había antes en las verdulerías, y este problema, por el contrario, se resuelve con una balanza digital (de esas que tienen numeritos verdes o amarillos). En última instancia, el anterior problema se resolvía con dos pesadas, mientras que este problema, y a pesar de tener noventa y dos monedas más, se ha de resolver con una sola pesada.

Creo que el beneficio de resolver o pensar este tipo de problemas es que te ayuda para cuando en una situación límite (con recursos limitados o escasos) necesitas encontrar una solución práctica y aplicable y que también sea sencilla. Como decía Albert Einstein, en tiempos de crisis la imaginación suele ser tan importenta como los conocimientos. Yo digo que, aplicado a este problema en específico, la imaginación será el único medio por el cual llegar a la solución, y los conocimientos (si bien estarán allí) quedarán opacados.

Como ayuda que os daré para resolver el enigma, sólo debéis leerlo atentamente, ajustaros a los datos que os ofresco y de allí usar la imaginación. La respuesta es muy sencilla, no es nada compleja, pero sí requiere concentración e imaginación (a mí me llevó cinco días encontrarla). Por lo demás, sobre decir que todo lo que necesitáis para resolverlo está allí. ¿Listos?

Se tienen diez bolsitas de tela numeradas del uno al diez (1, 2, 3...). En cada bolsita hay diez (10) monedas que en apariencia son todas iguales. Cada una de las monedas pesan diez gramos (10 g). Pero hay una excepción.
He dicho "en apariencia" porque en una de estas bolsitas hay monedas que pesan cada una un gramo más que el resto (11 gramos cada moneda). Luego en esta única bolsita tenemos diez monedas que pesan once gramos cada una. Esto es lo único que sabemos, pero no sabemos cuál es esa bolsita.
Tenemos una balanza digital que mide el peso exacto (o al menos todo lo exacto que necesitamos para este problema), de esas que tienen numeritos verdes y amarillos; pero sólo podemos usarla una vez (sólo podemos realizar una sola pesada, para que no queden dudas ni contradicciones).
La pregunta es "¿cómo saber en qué bolsa están las diez monedas que pesan once gramos con una sola pesada de esa balanza digital?". En otras palabras, el problema consiste en saber qué hacer, con una sol pesada, para determinar la bolsa en donde están las monedas que pesan diferente. La belleza de este problema está en pensar con creatividad.

¿Qué os decía, eh?

Siete días, damas y caballeros. Terminado ese plazo, como es costumbre, se publicará la solución. Como decíamos en la anterior entrada de matemática, nadie será menos o más inteligente por saber resolverlo o no. Lo importante está en haberlo pensado. Estos problemas sólo tienen por objetivo aprender a pensar. Y ya sabéis, si al leer el enunciado os surge alguna duda o contradicción con los datos (ya sea por un error de sintáxis o por no haberme explicado con claridad o por cualquier otro motivo), no dudéis en preguntarlo en la entrada para aclararlo con la mayor celeridad posible; recordad que si no tenéis en claro los datos del problema, será muy difícil pensarlo. Es preferible dejar todo en claro.

A pensar se ha dicho, señores. ¿Qué se les ocurre?

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

Podríamos llamarle "tercera temporada"

Damas y caballeros...
... como ya anunciaba más abajo, el salón del estudio volvería a abrir sus puertas al conocimiento formal en principios de septiembre. El caso de la La Sociedad del Misterio me ha mantenido un tanto alejado del blog, pero ya estamos de vuelta y tengo algunos lindos enigmas para compartir con todos vosotros. Pero antes de esos enigmas, creo yo, convendría arrancar esta, si lo deseáis, tercera temporada de matemáticas en el salón del estudio, como siempre lo hemos hecho. Recordaréis que la tercera entrada del blog estuvo dedicada a hablar de matemáticas, y desde entonces, hasta el mes de diciembre de dos mil nueve, se publicaron regular e irregularmente (todo hay que decirlo) problemas de matemáticas y entradas alusivas a ello. En diciembre todo el blog respiró de matemáticas hasta abril de este año, y desde entonces se publicaron un par de problemas hasta junio, mes en que el blog entró, por así decirle, en una especie de stand by (exámenes y pereza general).

Hace poco han terminado mis vacaciones (¡quiero más!) lo que indica que es menester comenzar a darle vida a este blog con las matemáticas. Agradezco aquí a Jengibre, porque con sus anuncios y sus divertidísimas entradas sobre Cruz y Raya me ha hecho comenzar septiembre con una sonrisa y una carcajada, y lo que empieza bien... generalmente termina bien.

Pero las matemáticas en cuanto a problemas y curiosidades no son lo único que predominan en este blog, damas y caballeros. Referidas a las matemáticas se han publicado ya otras entradas. He allí la tercera entrada del salón, que habla de las matemáticas en cuanto ciencia para descubrir y pensar. También puede citarse la poesía de diciembre pasado, en la que me despido de las matemáticas por un tiempo. Se podría decir que la introducción y reapertura de abril es una entrada alusiva al papel que cumple la lógica lateral en nuestras vidas y a su importancia. En suma, todos los momentos resaltables de este blog con respecto al inicio o fin de las temporadas de matemáticas han estado revestidos o coronados con la entrada especial. Incluso creo recordar publicar una en cuanto a la educación y al enseñar al pensar.

Creo que, como comenzamos temporada (o arrancamos luego de un paroncito), convendría hacer lo propio. Pero esta vez no seré yo quien divague, sino el señor Paenza, personaje que tiene peso en este blog y en gran parte de mi vida. Se reproducirá a continuación el prólogo de su libro Matemáticas... ¿estás ahí? VOL2, en el que el señor Paenza explica los motivos por los que escribe el libro, aclara que las matemáticas no es la calculadora y que el matemático no es el "elegido" (lo mismo que dije yo en abril), y que las matemáticas, bien enseñadas, son seductoras... atractivas y llenas de una magia especial. Habla sobre la enseñanza de la matemática como herramienta para alcanzar un pensamiento crítico y racional. Habla de la matemática como instrumento para la perfección de la ciencia y la mejora en la sociedad. El problema de que la matemática esté recubierta del mito "me llevé matemática a febrero" es generado por los difusores de la matemática, con lo que es necesario que a través de la divulgación científica (ya sea por libros, revistas especializadas, periódicos y, en cierta y retorcida medida, este blog, así como todos los que dediquen aunque más no sea un párrafo a la matemática) es el medio por el cual se contrarreste esta imagen impositiva.

Pero vamos a la cita. Después de eso, al trabajo. Seguir escribiendo yo sería quitarle importancia a las palabras de un genio como Adrián Paenza. Sólo añadiré una cosita: La última anécdota de este prólogo yo ya la he contado (de una forma mucho más resumida) en el problema de la Eminencia (el primer problema de este blog), pero he decidido ponerla aquí para que aquel que no quiera llegar hasta allá (se llama vagancia XD) pueda tenerla más a mano. Enseña una gran lección: "Hasta el más grande debe permitirse decir 'no entiendo'". Y este es un tema que ya he tocado mucho por aquí, aunque nunca está de más repetirlo: Somos seres humanos falibles y nada perfectos. El razonador ideal o utópoico que nos presenta Arthur Conan Doyle difícilmente pueda plasmarse en la realidad. El reconocer que somos falibles, que no siempre lo lograremos al primer intento, que tenemos la posibilidad de caer siempre, y que siempre podremos levantarnos tras esas caídas, es lo que nos hace ser seres humanos. Más aún, estoy arriesgado a pensar que la verdadera sabiduría, como proponía en cierta medida Sócrates, está en reconocernos ignorantes de todo lo que creemos saber. Reconocer que no somos máquinas perfectas de razonamiento y que somos capaces de poder errar (de equivocarnos, de no entender, de no comprender), no es un signo de debilidad o estupidez. Todo lo contrario. Es lo más sano que podemos llegar a hacer, es un signo de valentía, de deseo de superarse a sí mismo, de vencer nuestras propias limitaciones, y es evidencia de una inteligencia natural. Como escribí en una ocasión, más sensato es aquel que sabiendo que no sabe pregunta para saber (he aquí el inmenso valor que tiene reconocer la ignorancia), que aquel que, aún sabiendo que no sabe, deja pasar el tiempo y no se esfuerza para saber.

Con ustedes, el señor Adrián Paenza.

Prólogo

La inequitativa distribución de la riqueza marca una desigualdad
ciertamente criminal. Unos (pocos) tienen (tenemos)
mucho; otros (muchos) tienen poco. Muchos más tienen casi
nada. La sociedad ha sido, hasta aquí, más bien indiferente a las
desigualdades de todo tipo. Se las describe, sí, pero en general
el dolor termina en hacer una suerte de catarsis que parece
“exculpadora”. Bueno, no es así. O no debería serlo. Hasta aquí,
ninguna novedad.
La riqueza no sólo se mide en dinero o en poder adquisitivo,
también se mide en conocimiento, o mejor dicho, debería
empezar por ahí. El acceso a la riqueza intelectual es un derecho
humano, sólo que casi siempre está supeditado al fárrago
de lo urgente (nadie puede pretender acceder al conocimiento
si antes no tiene salud, ni trabajo, ni techo, ni comida en su
plato). Así, todos tenemos un compromiso moral: pelear para que
la educación sea pública, gratuita y obligatoria en los niveles
primario y secundario. Los niños y jóvenes tienen que ir a estudiar,
y no a trabajar.
Con la matemática sucede algo parecido. Es una herramienta
poderosa que enseña a pensar. Cuando está bien contada es
seductora, atractiva, dinámica. Ayuda a tomar decisiones educadas
o, al menos, más educadas. Presenta facetas fascinantes que aparecen escondidas y reducidas a un grupo muy pequeño que las disfruta. Y es hora de hacer algo, de pelear contra el preconcepto de que la matemática es aburrida, o de que es sólo para elegidos.
Por eso escribí Matemática… ¿Estás ahí? Porque quiero que le demos una segunda chance. Porque quiero que la sociedad advierta que le estamos escamoteando algo y que no hay derecho a que eso suceda. Hasta aquí, quienes comunicamos la matemática hemos fracasado, no sólo en la Argentina sino en casi todo el mundo.
Ha llegado la hora de modificar el mensaje. Obviamente, no soy el primero ni seré el último, pero quisiera ayudar a abrir el juego, como lo hice durante más de cuarenta años con alumnos de todas las edades. La matemática presenta problemas y enseña a disfrutar de cómo resolverlos, así como también enseña a disfrutar de no poder resolverlos, pero de haberlos “pensado”,porque entrena para el futuro, para tener más y mejores herramientas, porque ayuda a recorrer caminos impensados y a hacernos inexorablemente mejores.
Necesitamos, entonces, brindar a todos esa oportunidad.
Créanme que se la merecen.

Enseñar a pensar

El mundo académico se nutre de la circulación libre de
información. Cada uno aporta (literalmente) un granito de arena, y así se hace cada ladrillo. A veces viene un Newton, un Einstein, un Bohr, un Mendel, y trae él solo treinta ladrillos, pero en general es así: granito a granito.
ANÓNIMO
Miguel Herrera fue un gran matemático argentino, director de muchas tesis doctorales, en la Argentina y también en el exterior.
Lamentablemente, falleció muy joven. Herrera se graduó en Buenos Aires y vivió muchos años en Francia y los Estados Unidos, para luego retornar al país, donde permaneció hasta su muerte. Quiero aprovechar para contar una anécdota que viví con él y que me sirvió para toda la vida.
Luego de graduarme como licenciado (a fines de 1969), estuve por unos años fuera de la facultad trabajando exclusivamente como periodista. Una noche, en Alemania, más precisamente en Sindelfingen, donde estaba concentrado el seleccionado argentino de fútbol, comenté con algunos amigos que al regresar al país intentaría volver a la facultad para saldar una deuda que tenía (conmigo): quería doctorarme. Quería volver a estudiar para completar una tarea que, sin la tesis, quedaría inconclusa. Era un gran desafío, pero valía la pena intentarlo.
Dejé por un tiempo mi carrera como periodista y me dediqué de lleno a la investigación y a la docencia en matemática.
Luego de un concurso, obtuve un cargo como ayudante de primera con dedicación exclusiva, y elegí como tutor de tesis al doctor toral a Ángel Larotonda, quien había sido mi director de tesis de licenciatura. “Pucho” (así le decíamos a Larotonda) tenía muchísimos alumnos que buscaban doctorarse. Entre tantos,
recuerdo los nombres de Miguel Ángel López, Ricardo Noriega, Patricia Fauring, Flora Gutiérrez, Néstor Búcari, Eduardo Antín, Gustavo Corach y Bibiana Russo.
Doctorarse no era fácil. Requería (y requiere) no sólo aprobar un grupo de materias sino, además, escribir un trabajo original y someterlo al referato de un grupo de matemáticos para su evaluación. La tarea del tutor es esencial en ese proyecto, no sólo por la guía que representa, sino porque lo habitual es que sea él (o ella) quien sugiera al aspirante el problema a investigar y, eventualmente, resolver.
La situación que se generó con Pucho es que éramos muchos, y era muy difícil que tuviera tantos problemas para resolver, y que pudiera compartirlos con tantos aspirantes. Recuerdo ahora que cada uno necesitaba un problema para sí. Es decir que cada uno debía trabajar con su problema. La especialidad era Topología Diferencial. Cursábamos materias juntos, estudiábamos juntos, pero los problemas no aparecían.
Algo nos motivó a tres de los estudiantes (Búcari, Antín y yo) a querer cambiar de tutor. No se trataba de ofender a Larotonda,
sino de buscar un camino por otro lado. Noriega ya había optado por trabajar con el increíble Luis Santaló y nosotros, empujados y estimulados por lo que había hecho Ricardo, decidimos cambiar también. Pero ¿a quién recurrir? ¿Quién tendría problemas para compartir? ¿Y en qué áreas? Porque, más allá de que alguien quiera y posea problemas para sus estudiantes, también importa el tema: no todos son igualmente atractivos, y cada uno tenía sus inclinaciones particulares, sus propios gustos.
Sin embargo, estábamos dispuestos a empezar de cero, si lográbamos que alguien nos sedujera.
Así fue como apareció en nuestras vidas Miguel Herrera, quien recién había vuelto al país después de pasar algunos años
como investigador en Francia. Reconocido internacionalmente por su trabajo en Análisis Complejo, sus contribuciones habían sido altamente festejadas en su área. Miguel había formado parte del grupo de matemáticos argentinos que emigraron luego del golpe militar que encabezó Juan Carlos Onganía en 1966, y se fue inmediatamente después de la noche infame de “los bastones largos”. Sin embargo, volvió al país en otro momento terrible, porque coincidía con otro golpe militar, esta vez el más feroz de nuestra historia, que sometió a la Argentina al peor holocausto del que se tenga memoria.
Pero vuelvo a Herrera: su retorno era una oportunidad para nosotros. Recién había llegado y todavía no tenía alumnos. Lo fuimos a ver a su flamante oficina y le explicamos nuestra situación.
Miguel nos escuchó con atención y, típico en él, dijo: “¿Y por qué no se van al exterior? ¿Por qué se quieren quedar acá con todo lo que está pasando? Yo puedo recomendarlos a distintas universidades, tanto en Francia como en los Estados Unidos.
Creo que les conviene irse”.
Me parece que fui yo el que le dijo: “Miguel, nosotros estamos acá y no nos vamos a ir del país en este momento. Queremos preguntarte si tenés problemas que quieras compartir con nosotros, para poder doctorarnos en el futuro. Sabemos muy poco del tema en el que sos especialista, pero estamos dispuestos a estudiar. Y en cuanto a tu asesoramiento y tutoría, hacé de cuenta que somos tres alumnos franceses, que llegamos a tu oficina en la Universidad de París y te ofrecemos que seas nuestro director de tesis. ¿Qué nos vas a contestar? ¿Váyanse
de París?”.
Herrera era el profesor titular de Análisis Complejo. Al poco tiempo, Antín, en su afán de convertirse en crítico de cine y árbitro de fútbol (entre otras cosas), decidió bajarse del proyecto, pero Néstor Búcari (a partir de aquí “Quiquín”, su sobrenombre) y yo fuimos nombrados asistentes de Herrera y jefes de trabajos prácticos en la materia que dictaba. Si uno quiere aprender algo, tiene que comprometerse a enseñarlo… Ése fue nuestro primer contacto con nuestro director de tesis. Empezamos por el principio. La mejor manera de recordar lo que habíamos hecho cuando tuvimos que cursar Análisis Complejo (y aprobarla, claro) era tener que enseñarla. Y así lo hicimos.
Pero Quiquín y yo queríamos saber cuál sería el trabajo de la tesis, el problema que deberíamos resolver, Herrera, paciente, nos decía que no estábamos aún en condiciones de entender el enunciado, y ni hablar de tratar de resolverlo. Pero nosotros, que veníamos de la experiencia con Pucho, y nunca lográbamos que nos diera el problema, queríamos saber.
Un día, mientras tomábamos un café, Herrera abrió un libro escrito por él, nos mostró una fórmula y nos dijo: “Éste es el primer problema para resolver. Hay que generalizar esta fórmula.
Ése es el primer trabajo de tesis para alguno de ustedes dos”.
Eso sirvió para callarnos por un buen tiempo. En realidad, nos tuvo callados por mucho tiempo. Es que salimos de la oficina donde habíamos compartido el café y nos miramos con Quiquín, porque no entendíamos nada. Después de haber esperado tanto, de haber cambiado de director, de cambiar de tema, de especialidad, de todo, teníamos el problema, sí… pero no entendíamos ni siquiera el enunciado. No sabíamos ni entendíamos lo que teníamos que hacer.
Ésa fue una lección. El objetivo entonces fue hacer lo posible, estudiar todo lo posible para entender el problema. Claro, Herrera no nos dejaría solos. No sólo éramos sus asistentes en la materia para la licenciatura que dictaba sino que, además, nos proveía de material constantemente. Nos traía papeles escritos por él o por otros especialistas en el tema, y trataba de que empezáramos a acostumbrarnos a la terminología, al lenguaje, al tipo de soluciones que ya había para otros problemas similares.
En definitiva, empezamos a meternos en el submundo del Análisis Complejo. Por un lado, dábamos clases y aprendíamos casi a la par de los alumnos. Resolvíamos las prácticas y leíamos tanto como podíamos sobre el tema. Además avanzábamos por otro lado, e íbamos acumulando información al paso que él nos indicaba.
Quiquín fue un compañero fabuloso. Dotado de un talento natural, veía todo mucho antes que yo, y fue una guía imposible de reemplazar. Yo, menos preparado, con menos facilidad, necesitaba de la constancia y la regularidad. Y ése era y fue mi
aporte a nuestro trabajo en conjunto: él ponía el talento y la creatividad; yo, la constancia y la disciplina. Todos los días, nos encontrábamos a las ocho de la mañana. No había días de frío,
ni de lluvia, ni de calor, ni de resaca de la noche anterior: ¡teníamos
que estar a las ocho de la mañana sentados en nuestra oficina,
listos para trabajar! Para mí, que tenía auto, era mucho más
fácil. Quiquín venía de más lejos y tomaba uno y, a veces, dos
colectivos.
Lo que siempre nos motivaba y nos impulsaba era que a las
ocho, cuando recién nos habíamos acomodado, alguien golpeaba
sistemáticamente a la puerta. Miguel venía todos los días a
la facultad a ver qué habíamos hecho el día anterior: qué dificultades
habíamos encontrado, qué necesitábamos. Así construimos
una relación cotidiana que nos sirvió para enfrentar
muchas situaciones complicadas y momentos de dificultad en los
que no entendíamos, no nos salía nada y no podíamos avanzar.
Encontrarnos todos los días, siempre, sin excepciones, nos permitió
construir una red entre los tres que nos sirvió de apoyo
en todos esos momentos de frustración y fastidio.
El problema estaba ahí. Ya no había que preguntarle más
nada a Herrera. Era nuestra responsabilidad estudiar, leer, investigar,
preocuparnos para tratar de entender. Con Quiquín siempre
confiamos en Miguel, y él se ganó nuestro reconocimiento no
por la prepotencia de su prestigio, sino por la prepotencia de su
trabajo y su constancia. Miguel estuvo ahí todos los días.
Una mañana, de las centenares que pasamos juntos, mientras
tomábamos un café, nos miramos con Quiquín y recuerdo que
nos quedamos callados por un instante. Uno de los dos dijo algo
que nos hizo pensar en lo mismo: ¡acabábamos de entender el
enunciado! Por primera vez, y a más de un año de habérselo
escuchado a Miguel, comprendíamos lo que teníamos que hacer.
De ahí en adelante, algo cambió en nuestras vidas: ¡habíamos
entendido! Lo destaco especialmente porque fue un día muy feliz
para los dos.
Un par de meses más tarde, un día cualquiera, súbitamente
creímos haber encontrado la solución a un problema que los
matemáticos no podían resolver hacía ya siglos. ¡No era posible!
Teníamos que estar haciendo algo mal, porque era muy poco
probable que hubiéramos resuelto una situación que los expertos
de todo el mundo investigaban desde tanto tiempo atrás. Era
más fácil creer (y lo bien que hicimos) que estábamos haciendo
algo mal o entendíamos algo en forma equivocada, antes que
pensar que pasaríamos a la inmortalidad en el mundo de la
matemática. ¡Pero no podíamos darnos cuenta del error!
Nos despedimos esa noche, casi sin poder aguantar hasta el
día siguiente, cuando llegara Miguel. Lo necesitábamos para
que nos explicara dónde estaba nuestro error. Por la mañana,
Miguel golpeó a la puerta como siempre, y nos atropellamos
para abrirle. Le explicamos lo que pasaba y le pedimos que nos
dijera dónde nos estábamos equivocando. Entrecerró los ojos y
sonriente dijo: “Muchachos, seguro que está mal”. No fue una
novedad; nosotros sabíamos que tenía que estar mal. Y comenzó
a explicarnos, pero nosotros le refutábamos todo lo que
decía. Escribía en el pizarrón con las tizas amarillas con las que
siempre nos ensuciábamos las manos, pero no había forma.
Peor aún: Miguel empezó a quedarse callado, a pensar. Y se
sentó en el sofá de una plaza que había en la oficina. Tomó su
libro, el libro que él había escrito, leyó una y otra vez lo que
él había inventado y nos dijo, lo que para mí sería una de las
frases más iluminadoras de mi vida: “No entiendo”. Y se hizo
un silencio muy particular.
¿Cómo? ¿Miguel no entendía? ¡Pero si lo había escrito él!
¿Cómo era posible que no fuera capaz de entender lo que él
mismo había pensado?
Esa fue una lección que no olvidé nunca. Miguel hizo gala de
una seguridad muy particular y muy profunda: podía dudar, aun
de sí mismo. Ninguno de nosotros iba a dudar de su capacidad.
Ninguno iba a pensar que otro había escrito lo que estaba en su
libro. No. Miguel se mostraba como cualquiera de nosotros…
falible. Y ésa fue la lección. ¿Qué problema hay en no entender?
¿Se había transformado acaso en una peor persona o en
un burro porque no entendía? No, y eso que se daba el lujo de
decir frente a sus dos alumnos y doctorandos que no entendía
lo que él mismo había escrito.
Por supuesto, no hace falta decir que después de llevárselo
a su oficina, y de dedicarle un par de días, Miguel encontró el
error. Ni Quiquín ni yo pasamos a la fama, y él nos explicó en
dónde estábamos equivocados.
Con el tiempo nos doctoramos, pero eso, en este caso, es lo
que menos importa.
Miguel nos había dado una lección de vida, y ni siquiera lo
supo ni se lo propuso. Así son los grandes.

Creo que todos saben bien qué significa esto. Las matemáticas han vuelto al blog (Jengibre se agarra la cabeza con ambas manos y grita "noooooooooooooo"). El señor Paenza ha sido el que abre esta nueva temporada de Matemática a la carga.

Estad atentos. Pronto puede llegar un nuevo problema en el que la lógica lateral y el pensamiento analítico sea indispensable. Lo dicho, ¡estad atentos!

(cómo me gusta decir eso)

¡Matemática a la carga!

Problema de los recipientes de tres y cinco litros respectivamente

Pensando en un nuevo problema de matemática para traer a este saloncito, se me ocurrió plantear uno que había leído hace tiempo y que, en su momento, me pareció bastante simpático y entretenido. Es un problemilla parte de lógica lateral y parte de combinatoriedad, pero lo cierto es que tiene una dificultad media. El problema de las seis monedas y las dos pesadas y El de las mujeres y el puente eran más complejos que este, así que será como un pequeño respiro después de El pequeño desafíoa mental. ¿Qué os parece? ¿Estáis listos?

Tenemos dos recipientes. Uno tiene una capacidad de cinco (5) litros y el otro tiene una capacidad de tres (3) litros. Listo. Estos son los únicos datos que nos ayudarán a resolver el problema. Mejor dicho, estos son los únicos datos que tenemos durante el planteo de todo el problema para resolverlo.
Tenemos un barril de vino y queremos sacar cuatro (4) litros de vino. Sólo contamos con los recipientes de tres y cinco litros para medir. ¿Qué tenemos que hacer?

esto es un caso particular del famoso dicho: "En lo simple se halla lo complejo". Más vulgarmente conocido por: "El problema era tan pavo que no me daba cuenta de cómo resolverlo". Así que...
... ¡a pensar!

¡Matemática a la carga!

P.S. No sabéis lo lindo que se siente hacer una entrada tan cortita como esta XD
P.P.S. Como siempre, la solución se publicará en una semana.

Solución al pequeño desafío mental

Damas, caballeros, ha transcurrido una semana exacta desde la publicación del pequeño desafío mental. Antes de proseguir leyendo, recomiendo a los lectores que no han hecho el problema que le den una leída e intenten resolverlo, pues así podrán mantener la mente despierta y disfrutar de pensar (una actividad mucho más sana de lo que parece).

Con ustedes la solución...

... 2+3=10

7+2=63

6+5=66

8+4=96

9+7=144

¿Por qué es así? Ahora daré unas breves explicaciones del porqué y de la existencia de más de un camino para llegar al resultado, y luego haremos unas breves reflexiones personales sobre esto. Próximamente, si no me falla la memoria, haremos unas revisiones sobre un par de problemas anteriores. Por ahora, prosigamos.

El problema era sencillo, tan sólo algo esquivo. Se principia por encontrar un patrón que valga para todos. Obviamente, la suma entre dos y tres no es diez, así que el resultado debe de estar relacionado con esos números (de alguna u otra forma). Uno se pregunta entonces: "¿Qué relación hay?". Por medio de algún extraño movimiento cerebral que no alcanzaríamos a entender ni en mil años, relacioné primero el dos y el tres al hecho de que junto dan cinco, y que cinco es la mitad de diez. Luego vi que el dos del principio era la quinta parte del diez y ¡boila! Pero no debía cantar victoria, porque podría ser que ese patrón fuera una coincidencia en este ejemplo, y que fuera otro el patrón común a todos los demás. Se prueba con los otros... y ¡se encuentra que es el patrón! Luego de esto, no resulta difícil inferir que el número faltante es ciento cuarenta y cuatro.

El anterior es sólo uno de los caminos que se nos presentan; no obstante, existe otro camino, del que me percaté una vez hube terminado el otro. Suele ocurrir que justo cuando llegamos a la cabaña, encontramos un mapa indicando otra ruta de acceso hasta ese lugar y uno dice "¡pero claro!"... El otro camino, como iba diciendo, consiste en elevar al cuadrado al primer número y sumar el producto de los factores. En términos sencillos. Elevar al cuadrado el primero de los números, y luego sumarle el resultado de la multiplicación entre el primero y el segundo. Así: 2²+2*3=10
Y lo mismo con el resto de los ejemplos hasta toparnos con la incógnita.
92+(9*7)=144
81+63=144

Y se puede apreciar, con este ejemplo, que ambos caminos dan el mismo resultado:

(9+7)*9=144
16*9=144

9²+(9*7)=144
81+63=144


La pregunta del millón es: ¿cuál de los dos caminos es el correcto? A este interrogante hay que darle otra pregunta como respuesta: ¿llegan al mismo lugar los dos? En efecto, ambos son igualmente válidos, porque ambos llegan igualmente a un mismo destino. Como en nuestros ejemplos de cabañas perdidas en el bosque (¿se nota mucho que no he tenido vacaciones en medio de la montaña?) siempre hay otra salida u otra ruta por la que llegar al lugar indicado. Muchas veces, no obstante, no existe un lugar indicado, y sólo queremos gozar del paisaje.

A Fantasmas, PresteJuan, Jengibre y Key: ¡Felicitaciones! Habéis resuelto correctamente el problema. Aún si no lo hubieráis resuelto, lo más importante es haberlo pensado. No digo esto porque sí, sino que hay una perfecta justificación desde detrás.

Como decíamos en uno de los ítems de un antiguo epílogo que ya hemos publicado por aquí, si los estudiantes de cualquier asignatura sólo damos respuestas, nuestro rendimiento no termina de ser satisfactorio. Como se plantea en el método científico, si las conclusiones sólo dejan cerrado el problema original, la investigación deja de tener su gustito, porque lo que de verdad importa es que estas conclusiones arrojen nuevas preguntas para seguir teniendo más y más problemas. El hecho de pensar un problema como el que se ha planteado esta semana, deriva por fuerza en la interacción con el susodicho. Esta interacción, a su vez, genera que nosotros y el problema tengamos cierto grado de intimidad, y nos vayamos conociendo. Conocer y explorar el problema es un principio clave para hacer mejores a los problemas. En este caso el problema se basaba en hallar un patrón y saber cuál era el número, y eso todos lo hemos logrado.El punto radica en que, cuando estudiamos a fondo un problema, tendemos a dar más de una solución. Como Fantasmas dice en su comentario, él hizo muchos otros cálculos y probó con diferentes soluciones o caminos. Es decir, fue un caminante, porque buscaba respuesta. Cuando tratamos de buscar el hilo que desteje la madeja, se nos presentan muchas ideas y muchas teorías. En estas ideas y en estas teorías radica la verdadera belleza. No sólo en intentar y probar, sino en pensar y descubrir todas las cosas en las que podemos pensar cuando intentamos resolver. Con esas mismas ideas podemos convertir los problemas a nuestro antojo.

Quizás el problema se resolvía con el ciento cuarenta y cuatro, y es evidente que hay más de un camino para llegar a él. La resolución del problema es el primer paso para hacerlo más rico y delicioso, más seductor y atractivo. Quizás, al saber ya la solución del problema, el problema deja de serlo y se convierte en un ejercicio o enunciado ya resuelto. Pierde esa aura de misterio que lo envolvía cuando nosotros no sabíamos su respuesta. Entonces, ¿por qué no hacerlo más interesante? Cambiar todo el problema, cambiar los patrones y cambiar el resultado final, sólo para jugar un rato más. Podemos alterar el patrón numérico común a todos los casos de aplicación por uno en particular, y ¡presto! Tenemos un nuevo problema. Podemos trabajar, como dijo Fantasmas, pensando en qué resultado debería dar uno de los casos si contabilizamos las rectas o las intercecciones de los números. De este modo, alteraríamos todos los resultados y terminaríamos con un nuevo problema. Podemos trabajar con progresiones, con escalas musicales, con curiosidades matemáticas, con lo que sea imaginativo y que embellezca más al problema.

Daré un ejemplo único, en parte porque no he trabajdo sobre todos los casos y en parte porque esto servirá como motivación para seguir trabajando. Supongamos el primer caso (2+3=10). Yo podría decir que el patrón numérico que rige aquí es la suma de los dos números por dos. Es decir: el doble de la suma de los dos números. Y ahora aplicaremos este patrón numérico a los subsiguientes casos. 7+2=63
En caso de que aplicáramos el patrón numérico que hallamos en el primer caso, el resultado debería ser dieciocho, no sesenta y tres. Así se podrían cambiar todos los resultados y ¡plam! Tenemos un nuevo problema recién horneado, y horneado por nosotros mismos.

El mundo de las matemáticas no se limita a exponer resultados, si bien este es el primer paso. Hay que ir más allá y aplicar la imaginación para conseguir nuevas fuentes de agua para la mente.

La matemática es algo dinámico, no estático. Podemos modelarlas a nuestro antojo y a nuestro gusto, porque son como letras que crean nuevas cosas. Tienen una frescura que no caducará a lo largo de los años, y muy pocas cosas se les asemejan. Ayudan a pensar, y pensar es algo muy, muy, muy, pero muy sano.

Damas, caballeros... felicitaciones, porqe lo habéis hehcho excelente. Felicitaciones, porque si habéis pensado, ya es motivo suficiente para decir que lo habéis hecho de fábula. Felicitaciones, amigos y amigas del salón, y muchas gracias por haber enriquecido tanto el blog con vuestros comentarios, reflexiones y aportaciones.

¡Matemática a la carga!
¡Elen síla lumenn'omentielvo!