Pequeño entremés - Dados de colores

¿Entremés? No, estamos a fin de mes. Ahora que he fastidiado el chiste fácil...
... la vida es soporífera. Quiero traer a colación una antigua sección, aunque más no sea por un par de entradas, antes de entrar de cabeza en febrero y yo extinguirme por completo de la vida blogueril hasta que terminen los exámenes. Andamos medio escasos de personal, pero veamos qué se puede hacer con este enigma que dejo a continuación.

¡Las matemáticas regresan!

Antes del planteo, unas consideraciones previas. En primer lugar este es un problema para plantear la probabilidad intuitiva (es decir, poner a prueba nuestro instinto a la hora de calcular probabilidades). En segundo lugar, yo no conseguí resolverlo en u momento y tardé unos días en comprender el razonamiento. Nunca fui bueno para la probabilidad, qué queréis que os diga, así que nadie se angustie por estos lados. Como ya hemos icho, el truco de estos problemas está en pensarlos, no en resolverlos bien. Resolverlo es un plus extra, como una pequeña recompensa después del trabajo, pero lo que de verdad importa aquí es pensar. Si aprendemos a pensar, entonces la labor está hecha.

¿Listos? Allá va.

Hay dos amigos: Ludwig y Wolfgan. Ambos amigos tienen un juego de dados muy particular. En principio no juegan con dados convencionales.
Son dados de colores.
El juego es así:
Primero se tira un dado (sale un color, que puede ser azul o rojo).
Y luego se tira el otro dado.
Ludwig gana cuando las caras que salieron de los dos dados son del mismo color, ya sea rojo o azul. Por ejemplo, que tiren los dados y en ambas caras esté el rojo, o en ambas caras esté el azul.
Wolfgang gana si salen las caras de distinto color. Por ejemplo, si el primer dado salió rojo, para que gane Wolfgang en el segundo dado debe salir el azul, y viceversa.
El primero de los dados tiene cinco caras azules y una cara roja.

¿Cómo tendría que ser el segundo dado para que el juego fuera parejo?

Siete días. Después de ese plazo, se publicará la solución de este problema. Tenéis tiempo para pensarlo y analizarlo, así que id sin prisas. Si alguna parte del enunciado no aparece clara, si queréis que especifique un punto en concreto o que explique mejor la pregunta final (o vamos, cualquier cosa que os inquiete, y para que todos podamos participar sin confusiones), preguntadlo en los comentarios libremente y os responderé a la brevedad. Y ya puestos, recordad que no es trampa ver los comentarios de vuestros compañeros, pero que si lo hacéis, al final termináis perdiendo vosotros una increíble posibilidad de pensarlo por vosotros mismos.

¡Matemática a la carga!

Los efectos secundarios del oficio

Para los que no entiendan de qué va este post, os recomiendo leer la ida de olla que publiqué en agosto sobre Drácula y entonces lo entenderéis todo. Como dijo Fantasmas, estoy hecho un filósofo, y eso implica, en cierta medida, comenzar a verlo todo con una perspectiva un tanto... particular.

En este momento, toda la audiencia piensa que ese "particular" no ha sonado (en caso de que lo estuvieséis leyendo en voz alta) muy convincente. Para abreviar, estoy perdiendo la cabeza y esto se está comenzando a notar en las cosas en las que me fijo. Y hoy vengo a advertir a gran parte de la población.

Cuando uno comienza a leer cuentos policiales piensa que no habrá ningún riesgo, doctora... Es casi un juego, un divertimento más de entre los que se pueden conocer... Uno lo hace con la sana intención de entretenerse un rato. El problema está cuando los cuentos policiales son extraordinariamente meticulosos. Uno comienza, en primer lugar, a crear sus propias historias, crímenes y personajes, y se adapta a ver las cosas del punto de vista del escritor. Y luego comienza el planteo de la lógica. Uno comienza a ser crítico, razonador abstracto y matemático al mismo tiempo que se quiere seguir siendo "poeta", por así decirlo. Creo que el resultado no puede ser bueno, ¿verdad? Doctora, siento que algo crece muy dentro de mí y que se está apoderando de todo mi ser, y va más allá de lo que pueda evitar... ¿Transferencia? ¿Y qué es eso? Ah, claro. No, no es eso, se lo puedo asegurar... Es algo mucho más profundo y degenerativo... es un efecto colateral de comenzar a comprender mucho más a fondo un océano demasiado profundo para la mente humana. No me extraña que Poe hubiese perdido la cordura y que Doyle se hubiese abocado al espiritismo... es lo más normal del mundo, doctora... Y siento que necesito ayuda.

Damas, caballeros, a continuación pasaré a mostrarles el peligro oculto que se escuende y no se mostra en el razonar la teoría policial de Edgar Allam Poe...
... redoble de tambores...
...
... con ustedes, el cómo se va degenerando una mente hasta la más primigénea muestra de estupor. ¿A que no lo he hecho bien? Desde agosto a esta parte, ¿he mejorado mucho o poco?

El otro día escuché este chiste:

Había tres limpiadores de ventanas en el decimoquinto piso. Un estadounidense, un italiano y un argentino. Llega la hora de almorzar, y los tres deciden seguir sobre el andamio en el decimoquinto piso y comer allí.
En ese momento, al sentarse, comienza a hablar el estadounidense.
—Si mi esposa me puso una hamburguesa en la vianda —dice—, yo juro por mi madre y por mi honor que me tiro al vacío.
Cuando abre la vianda, en efecto, había una hamburguesa. El estadounidense, fiel a su juramento, se suicida lanzándose desde el decimoquinto piso.
Luego el italiano toma su vianda y dice:
—Si mi esposa me ha puesto pasta para almorzar, entonces juro por mi hombría y por mi patria que me suicidaré.
Abre la vianda y, efectivamente, allí se encuentra con la pasta pronosticada. Fiel a su juramento, sigue el ejemplo del norteamericano.
El argentino entonces dice:
—Si mi mujer me puso aquí una empanada, juro por mi madre y por mi patria que me lanzaré al vacío.
Abre la vianda de la comida y oh sorpresa, empanadas. Fiel a su juramento, sigue el camino del norteamericano y del italiano.
Más tarde...
... las tres esposas de los tres limpiadores en el velorio. Como eran amigos y camaradas los estaban velando a los tres juntos. La mujer del norteamericano y la esposa del italiano estaban hechas un sólo llanto. En cambio, la mujer del argentino permanecía impertérrita.
Las dos viudas dolientes se acercan a la tercera y lle recriminan:
—¿Por qué no lloras, perra insensible? ¿No te das cuenta de la tragedia que hemos sucitado?
—¿Qué tragedia? —pregunta la argentina.
—¡Nuestros maridos! —grita la norteamericana—. ¿No te das cuenta de que fue por nuestra culpa que se tiraron al vacío? Nosotros fuimos quienes le preparamos la vianda de comida, nosotra le pusimos las comidas por las que juraron y por las que atendieron a su juramento...
—... ustedes —dice la argentina—. Pero la vianda de mi esposo se la preparó él mismo.

Chiste malo, lo sé. Pero es tan malo que incluso da risa. Pero yo no me reí. En ese instante comencé a procesar la escena del crimen con los datos que tenía. Aquello no era un juego. Sabía que habían quedado pocas pruebas a nuestra disposición, pero debíamos trabajar con lo que fuese necesario. Aquello no tenía explicación. La comida dejada atrás podía decirnos bastantes, pero ninguna prueba nos conduciría a saber qué habían dicho los trabajadores antes de suicidarse, ni si ellos mismos habían elegido el suicidio.

En ese momento comprendí que algo andaba mal. Alguien sabía demasiado en este caso, y teníamos a tres sospechosas entre manos. ¿Cómo habían podido saber las viudas que sus maridos habían jurado suicidarse si encontraban tal o cual comida en sus viandas, si hasta el momento los únicos que lo sabíamos éramos nosotros?

Sería difícil, tratándose de un hecho tan funesto, pero comenzaría a investigar una historia que parecía graciosa, pero que en realidad tenía muchos puntos flojos.

Superadlo, en serio, os invito a superarlo. Y por supuesto, mi estimado público, vosotros diréis si sigo tomando los psicofármacos o si disminuyo las dosis.

Solución al problema del prisionero sentenciado injustamente

Damas, caballeros…

… una semana ha pasado desde la publicación de nuestro anterior y (por el momento) último enigma de esta temporada. Creo que este enigma en particular necesita ser mucho más pensado y razonado que los anteriores. Creo que el señor Edgar Poe nos da su respuesta en la carta robada: “¿No será la aparente sencillez del misterio lo que lo torna complejo?”. En efecto, existe quien critica a Edgar Allan Poe por crear un cuento ficticio tan osado como lo es el policial.

Jorge Luis Borges, a quien admiro y respeto en cierta medida, dijo que el truco de Poe había sido intelectualizar en demasía todos sus escritos, dando por hecho un género no real. Según Borges, el género policial de Poe sería un género de fantasía, pero una fantasía ligada a la inteligencia. Las máximas de las matemáticas se quiebran ante el abstracto razonador, ante la imaginación intelectual, ante algo que pretende ser real pero que en realidad es pura fantasía. No estoy de acuerdo con lo que dice Borges. O al menos no con todo lo que dice.

Hay quien cuestiona a Poe y a Conan Doyle, pero lo cierto es que ambos dos han hecho lo mismo, al igual que lo hizo Chesterton. Poe ha creado un género extraordinario, y para que ese género exista nos ha creado a nosotros, los lectores de un género policial, los creadores del género policial. Estamos convencidos de que un libro no existe cerrado, sino que su género nace cuando alguien lo lee como tal.

Con todo, volvamos a lo que nos convoca. En efecto, quizás la solución se halle mucho más visible de lo que nos resulta creer, y al final todo se resume al ejemplo que da Dupin en ese mismo cuento. “El jugador inexperto dará los nombres que aparezcan con letras más pequeñas, en tanto que el jugador avanzado siempre dará los nombres que aparezcan en letras más grandes, para confundir al ojo del observador de ese mapa”. Quizás no sea necesario buscar grandes vueltas de tuerca. Quizás, como en la carta robada, el sobre aparezca a la vista de todo el mundo, y por eso mismo, todo el mundo lo ignora, pensando que la solución verdadera tiene que hallarse en los huecos más profundos de la mente humana.

Hace un tiempo hablamos de la navaja de Ockham. Esto es lo mismo. “La solución más sencilla tiende a ser siempre la correcta” es equivalente a “la evidencia de una solución puede conducirnos a ignorarla”. Cuando vemos que los zapatos de un cadáver, por ejemplo, están limpios y sin ninguna anomalía, y sabemos que la noche en que el hombre debería haber salido estaba más tormentosa que el diluvio universal, podemos pensar dos cosas:

El hombre no salió de su casa aquella noche.

1. El hombre salió de su casa, pero para llegar al teatro atravesó un camino cubierto con galerías y techos, cuya función era mantener seco el lugar por donde caminaba, por lo que, a pesar de la tormenta, bien podría haber salido sin mojarse los zapatos.
   

Aplicando la navaja de Ockham o la ley de la sencillez, el primer postulado, por ser el que menos entes o máximas propone, generalmente será siempre el correcto.

¿Cuál es la solución del enigma?

… el hombre se acerca al verdugo, piensa un momento mientras las palabras del juez resuenan en su mente, y luego el juez proclama “¡que elija su sentencia!”.
Toda la muchedumbre proclama a viva voz: “¡Que elija su sentencia! ¡Que se manifieste la verdadera justicia!”.
El verdugo extiende ambas manos, con un papelito en cada una, y el hombre, tras meditarlo profundamente, toma uno de los papeles y se lo come.
La multitud en pleno prorrumpe en una exclamación ahogada. El juez grita al acusado.
—¡Eres un insubordinado! ¿Lo veis todos? Si este hombre hubiese sido inocente de verdad, no habría temido la justicia de Dios, pues no habría permitido que un inocente fuese inculpado injustamente.
El acusado termina de tragar el papel y luego, tras aclararse la garganta, pide la palabra con un gesto de la mano.
—Antes de tirar la primera piedra —dice—, creo que yo sé cómo hacer para demostrar mi inocencia. ¿Por qué no vemos el papel que ha quedado en manos del verdugo? Si yo he tomado el papel que dice “inocente”, en el papel del verdugo quedará escrita la palabra “culpable”; y si yo he tomado el papel que declara mi culpabilidad, en la mano del verdugo quedará la leyenda que proclama “inocente”.
El pueblo, con esta nueva perspectiva de saber cuál había sido el veredicto, insta al verdugo a que les muestre el papel que aún conservaba. El hombre, a regañadientes, lo desdobla y se lo da a un ciudadano honesto que proclama:
—¡En este papel está escrita la palabra “culpable”! Por lo tanto, dando fe de la razón de las palabras del acusado, digo ante el juez y ante el pueblo, este hombre ha tomado y comido el papel que declara su inocencia, teniéndose en cuenta la veracidad de la prueba y la rigurosa verdad de la lógica.
El juez sabe que no tiene argumentos para contradecir absolutamente nada, por lo que golpea su banquillo con un martillo y grita a viva voz:
—¡El hombre es inocente! ¡Dejadle en libertad!

Como siempre, esta es una de las tantas soluciones que puede tener el enunciado. Fantasmas pronunció algunas en su primera intervención, y eran acertadas… aunque no concluyentes. El hecho de eliminar uno de los dos papeles deja sentado que no hay forma de demostrar lo contrario, por lo que el problema queda resuelto. Quizás alguno de los lectores recuerde este artículo de Mientras tanto en el mundo, publicado hace casi un año en la Sociedad del Misterio. Como podrán comprobar si lo leen, el mismo método que usó el acusado es el que utiliza el maleante para librarse de un juicio por atraco. Esto es lógica lateral, damas y caballeros.

Con esto concluimos el problema del prisionero sentenciado injustamente, y con los problemas de prisioneros y verdugos, para gran alivio de Key. Pero también cerramos una nueva etapa de matemáticas. Creo que esta ha sido una temporada fructífera y llena de cosas que nos han hecho pensar y reflexionar, y mientras exista reflexión y pensamiento, el mundo irá un poco mejor.

Desde aquí, mis más orgullosos aplausos a todos los que pensaron este problema, en el salón, en casa o en cualquier momento. Y para hacer extensivo, un fortísimo aplauso a todos los que pensaron los problemas de esta temporada de matemáticas. Lo importante es pensarlo, no resolverlo, no olvidéis eso nunca.

¡Elen síla lumenn omentielvo!
¡¡¡MATEMÁTICA A LA CARGA!!!


Será, amigos y amigas del salón del estudio, hasta que las matemáticas nos vuelvan a convocar para seguir la gran aventura que se abre en el horizonte.

El problema del prisionero sentenciado injustamente

Dado el tenor de los anteriores problemas, creo que esto se presentará mucho más sencillo que en anteriores ocasiones, pero es una pequeña forma de declarar que, al menos la sección de matemáticas, se toma un pequeño respiro hasta marzo (cuando termine la época gruesa de exámenes). Quizás en enero pueda publicar algún intermedio, pero no prometo nada. Por lo pronto, con este problema cerramos temporada de matemáticas y abrimos el periodo de exámenes (esto quiere decir, entre otras cosas, que la publicación se verá más menguada que de costumbre). Seguiré por aquí, no obstante. Por lo menos hasta el treinta de noviembre podré tratar de publicar algo. Y si todo sale bien, después del veinticinco de diciembre podríamos volver a la acción.

Damas caballeros, a título anecdótico, esta ha sido una de las temporadas más fructíferas en este salón (a muchos niveles). Quiero daros las gracias a todos vosotros, los que día a día hacéis que el salón respire y siga andando. Esto no sería lo mismo sin todos vosotros, en serio.

Y el momento meloso se termina para dar lugar al momento más esperado de la noche (que se note que se estudian ciencias frías).

Un hombre es sentenciado injustamente en el medioevo. En la actualidad podría considerarse así como una falsa acusación, ya que el hombre es inocente y muchos quieren que la culpa de un crimen que no cometió recaiga sobre él para dejar libre de sospechas a miembros destacados de la comunidad (no es Edmundo Dantés, pero bien podría serlo).
el prisionero sabe que todo es una acusación en falso, y cuando espera su injusto juicio escucha al juez y al verdugo hablar entre sí.
—¿Cómo demostrará la culpabilidad de este hombre? —pregunta el verdugo con una áspera voz.
—He decidido no ser yo quien haga justicia en esta ocasión —responde el juez ajustándose el cuello de su túnica—. Será el mismo condenado, por intermedio de la justicia de Dios, el que recibirá su castigo.
—¿Cómo lo hará, señor?
—En estos dos papeles escribiremos la palabra "culpable", y tú se los presentarás al acusado. Entonces yo proclamaré a la audiencia: "En mi magnanimidad, he decidido que sea el acusado quien decida su propia sentencia, apelando siempre a la divina providencia. En uno de estos papeles está escrita la palabra 'inocente' y en el otro la palabra 'culpable'. Si es verdaderamente inocente, la providencia no permitirá que elija el papel que dice culpable; y si es verdaderamente culpable, la providencia no permitirá que tome el papel que dice inocente. Que sea el acusado quien elija su sentencia, pues será verdadera y justa". Entonces el pobre desdichado tomará cualquiera de los dos papeles y será inmediatamente ejecutado, pues en ambos estará escrita la palabra "culpable".
El hombre termina de oír la conversación y sabe que no tiene esperanza.
Es llevado al tribunal y el juez vuelve a proclamar su discurso, ahora ante toda la audiencia. El verdugo se acerca con los dos papeles, uno en cada mano, y el prisionero tiene que elegir su sentencia.

¿Qué es lo que hace para salvarse del verdugo?

Siete días (esperemos), después de eso, se publicará la solución de este pequeño enigma.

¡A pensar!
¡Matemática a la carga!

Solución al problema del prisionero y de los dos guardianes

Damas, caballeros, ha llegado la hora de proponer aquí la solución al problema de la semana pasada. Como siempre decimos, esta es sólo una de las posibles soluciones que puede tener el enunciado, lo importante es haberlo pensado. Si alguien llega a la misma solución con otros razonamientos, o incluso si llega a otra solución igual de válida que esta, que siempre prefiera esa, porque es más suya, es más propia y tiene cierto toque personal (en esto también intervienen los sentimientos, aunque a primera vista no lo parezca). Las soluciones personales siempre serán mejores a las que aparecen en un libro: uno mismo las ha pensado, las ha razonado y le son más familiares, más cálidas y... familiares.

¿Listos? ¡Allá vamos!

En nuestro capítulo anterior...

... ¿tiene solución? Y en caso afirmativo, ¿qué tuvo que preguntar y a quién para salir a la libertad?

El hombre se acercó a uno de los dos guardianes al azar, llamó su atención y le preguntó resueltamente: "¿Qué me diría el otro guardia si yo le preguntara cuál es la puerta que conduce a mi libertad?". El guardia le señaló una de las puertas. El hombre se encaminó resueltamente hacia la puerta contraria a esta (la que el guardia no había señalado) la abrió, y al salir vió un vivo paraje cubierta de verde y color.

Antes de enunciar los razonamientos que llevan a esta solución, quiero hacer constar lo siguiente: Si el problema decía que la habitación tenía dos puertas, y sabemos que lo hicieron entrar a esa habitación para que decidiera su destino, ¿por dónde entró para que no estuviera avisado de antemano de cuál era la puerta que conducía a tal lugar? La respuesta: Lo hicieron bajar por una escalera desde el techo, claro está.

El problema se resuelve estableciendo posibilidades:

1. Si le pregunto al guardia mentiroso cuál es la puerta que conduce a mi libertad el guardia mentiroso me señalará la opuesta.
   
2. Si le pregunto cual es la puerta que me conduce al verdugo, me señalará la contraria (es decir, la puerta que me lleva al exterior).
   
3. Si yo le pregunto al guardián honesto cuál es la puerta que lleva al verdugo, entonces me la señalará y yo iré a la contraria.
   
4. Si yo le pregunto por la puerta que lleva a la salvación, me la indicará y yo iré hacia ella.
   
5. El problema es que no sé cuál es cuál. Supongamos que yo voy con el que miente creyendo que es el que dice la verdad, le pregunto cuál es la puerta de salida y me señalará la puerta del verdugo, y yo, al creer que es el guardián honesto, iré hacia allí, iluso de mí. Y si voy con el que dice siempre la verdad, pero lo hago creyendo que es el que miente, y le pregunto cuál es la puerta del verdugo, me la señalará tranquilamente, y yo, creyendo que me está mintiendo, iré hacia allí, también iluso de mí.
   
6. No puedo preguntarle a alguno de los dos quién es el que miente y quién es el que dice la verdad, porque entonces habré perdido la única pregunta que puedo hacer. Luego también está el inconveniente de que sería una pregunta al vacío, ya que no puedo confiar en ninguna de sus palabras.
   
7. Necesito preguntar algo genérico que sea válido para cualquiera de los dos guardianes.
   

• Mi pregunta es "hacia dónde está la puerta de salvación".
  
• Necesito encontrar una sola respuesta válida para ambos y que embone a la perfección (que no pueda ser usada en mi contra).
  

¿Qué me diría el otro guardia si le preguntara cuál es la puerta de salida?

1. Si le pregunto esto al guardia honesto que custodia la puerta de la salida, él me responderá que la otra puerta. Como siempre me dice la verdad, dirá que si le preguntara al guardia mentiroso cuál es la puerta de salida a la libertad este último me señalaría laque conduce al verdugo.
   
2. Si le pregunto al guardia honesto en la puerta del verdugo, me responderá que por su puerta (la del guardia honesto).
   
3. Si le pregunto al guardián mentiroso en la puerta de la libertad, el guardián me mentirá. Si yo le preguntara al guardián honesto cuál es la puerta que lleva a la libertad, el guardián honesto me la diría sin problemas; pero como el guardián mentiroso está torciendo siempre las palabras, le dirá que el otro señalaría la puerta equívoca (es decir, la puerta que el honesto está custodiando).
   
4. Si el mentiroso está custodiando la puerta del verdugo, entonces le responderá "por mí puerta", ya que el honesto señalaría la puerta correcta (la suya propia), y el mentiroso torcería sus palabras.
   

En cualquier caso, el prisionero siempre deberá elegir la puerta opuesta a la que le señalen.

Mención especial para Fantasmas, que, por una errata mía en la redacción, se puso a analizar qué pasaría si... y terminó con dolor de cabeza. Por eso he estimado conveniente que su trabajo salga en la entrada, a modo de premio por haberse montado semejante respuesta.

Espero que esto de despistarme dos días no se vuelva a repetir, pero en serio, comienzo a estar muy ocupado por estas fechas. Os mantendré informados, y quizás dentro de un par de días publiquemos el último problema de esta temporada (temporada que ha sido bastante fructífera, no lo podéis negar).

Pero eso es el mañana, y mientras sea hoy... carpe diem.

¡Matemática a la carga!

El problema del prisionero y los dos guardianes

Damas, caballeros, aparte de ciertas modificaciones en la estructura externa del salón (el añadido de un par de gadgets que están a modo de prueba por un tiempo, a ver si resultan de alguna utilidad), nosotros seguimos trabajando incansablemente en nuestro caminar incesante. Volvemos con la lógica lateral, así que a afinar y calibrar la mente, porque será necesario transitar por los senderos de los razonamientos kpara encontrar posibles soluciones. ¿Listos? Allá vamos.

Un hombre es sentenciado a elegir su sentencia. Es puesto en una habitación cerrada que tiene dos puertas y dos guardianes (uno por cada puerta). Una de las puertas conduce a la libertad, la otra lleva a un recinto en donde aguarda un verdurgo listo para ejecutarlo.
Para salir tiene derecho a hacer una sola pregunta a uno solo de los guardianes. Y lo único que sabe de ellos es que uno es un mentiroso redomado y el otro dice siempre la verdad. Sabe que uno siempre miente (sin excepción), y sabe que el otro siempre dice la verdad (también sin excepción).
Él no sabe cuál es el guardián que miente, así como tampoco sabe quién es el guardián que dice la verdad; ni cuál es la puerta que lleva al verdugo ni cuál la que lleva a la libertad. Cabe destacar que, a fines prácticos del problema, no necesariamente el guardián que dice la verdad es el que custodia la puerta de la libertad (y viceversa, no necesariamente el guardián mentiroso es el custodio de la puerta que conduce al verdugo). Eso no está relacionado.
La regla es sencilla: una sola pregunta y a uno solo de los guardianes. Una sola oportunidad. Sabe que si le pregunte al mentiroso recibirá una información falsa, pero no sabe quién es el que miente ni quién es el que dice la verdad. Sabe cuáles son sus dificultades. Pero sabe que tiene que arriesgarse enteramente. Sin embargo, se para a pensarlo un momento.

¿Tiene solución?

En caso afirmativo, ¿qué le debería preguntar y a quién para salir de la habitación por la puerta que conduce a la libertad?

ADVERTENCIA: La única aclaración de la última pregunta está hecha para que no me vengan con la vuelta de tuerca de "que le pregunte a cualquiera y salga por cualquiera de las puertas".

ADVERTENCA II: No tiene respuesta como "pues debería sobornar a cualquiera de los dos para que se le permitiera hacer dos preguntas o tres". A pensar, que aquí cuenta la astucia del cerebro y de los razonamientos laterales.

¡Matemática a la carga!

El problema del hombre en el bar con el revólver

Hace ya algún tiempo, allá por principios de julio, una estudiante de profesorado de matemáticas me planteó este simpático enigma que, como siempre apelando a mi nulo sentido de la velocidad, tardé bastante tiempo en resolver. Me alegra poder decir, no obstante, que este caso ejemplifica a la perfección una máxima de la investigación y las novelas policiales; quizás ha sido demasiado decir que lo ejemplifica a la perfección, porque lo cierto es que la situación es un tanto surealista y presenta algunos interrogantes, pero es la respuesta en sí, es decir, la escencia de la respuesta a tan complejo problema (en apariencia), lo que contiene de verdad el espíritu de esta máxima científica.

Como sé que sois demasiados listos (y es verdad, os considero extraordinarios bibliotecarios y grandes aportadores del conocimiento), me reservaré la máxima matemática a la que hago alusión más arriba para dentro de siete días, cuando se publique la respuesta del problemilla. Por supuesto, si alguno de vosotros conocéis a qué máxima estoy haciendo referencia, podéis decirlo en los comentarios sin temor.

Quiero hacer una aclaración: En el momento en que me propusieron el problema, había una regla que interpelía al solucionando exponer los razonamientos al problemando, y este último debía responder a estas preguntas o interrogantes con un "es irrelevante", "puede ser", "no se descarta", "sí", "no". Ahora bien. Si bien vosotros tendréis que arreglaros con el problema sin poder hacer preguntas, quiero dejar bien en claro que no es un problema con trampa. No se puede decir "ah claro como no me pueden decir 'sí', 'no' o 'es irrelevante' resultaríame imposible de resolver". He comprobado experimentalmente (volviendo a pensar el problema) que hay un camino lógico (que incluye la participación de lógica lateral) y que conduce a la solución sin necesidad de mediadores. Deberéis estar atentos a vuestros razonamientos y tratar siempre de ser objetivos. Prestad atención a los más mínimos detalles, y disfrutad de resolver estos problemillas (o de pensarlos). Sabéis bien que aquí lo fundamental es pensar, lo demás es como un plus.

Un hombre entra a una cantina (un bar).
Le pide al cantinero, quien está detrás de la barra, que le dé un vaso de agua.
El cantinero mete la mano debajo de la barra y la saca con un revólver en ella.
Le apunta con el arma a la cabeza del sujeto, y así permanecen cuestión de unos momentos más.
Luego el primer individuo asiente con la cabeza y le dice de todo corazón "muchas gracias".

¿Por qué le dió las gracias?


Siete días, como de costumbre. A ver qué se os ocurre, y recordad, lo importante es pensar, porque aquí nadie es mejor o peor por acertar o errar, eso lo vivo repitiendo.

¡Matemática a la carga!

El problema de los cinco sombreros

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Tenía mis serias dudas al momento de publicar este simpático problema, pero tras mucho reflexionar y darle vueltas en la mente, llegué a la conclusión de que, si bien con ciertas licencias, el problema puede resolverse con lógica lateral aplicada. Si bien el libro, en la parte de la solución, no recoge la posibilidad que yo añadiré en la solución, creo que está acertado, y que, modificar el problema, cosa que se me pasó por la cabeza cuando encontré ciertos detalles que no cazaban en la solución de Paenza, sería arruinar mucho el problema en lugar de embellecerlo o mejorarlo. Es menester que antes ustedes intenten resolverlo (o lo que es lo mismo, pensarlo largamente), y luego les diré las vueltecillas que me hicieron dar estos sombreros.

Tiene solución, aunque os recomiendo que le dediquéis mucho más tiempo del que soléis dedicarle a los demás problemas, a ver si lográis encontrar el mismo problemilla que yo encontré al resolverlo; si no es así, ya lo hablaremos en la entrada de la solución. ¿Listos?

En una habitación cerrada se ha hecho entrar a tres hombres. Antes de entrar debemos saber que en algún lugar indeterminado que está fuera del cuarto había cinco sombreros: tres blancos y dos negros. Antes de entrar les fue colocado un sombrero a cada uno, sin que los hombres conocieran el color de su sombrero.
A fines prácticos, comenzaremos a llamar a los hombres A, B y C. Ellos no saben cuál es el sombrero que tienen. Los tres hombres están ubicados de tal manera que A puede ver los sombreros de B y de C, B sólo puede ver el sombrero de C, y C no puede ver ningún sombrero.
Al salir de la habitación se les pregunta en orden (A, B y C) qué sombrero tienen puesto. Estas son las declaraciones de los señores A, B y C.
El señor A dijo que no podía determinar qué sombrero tenía. El señor B también dijo que no podía decir de qué color era su sombrero. Entonces el señor C dijo: "Entonces yo sé de qué color tengo mi sombrero.

¿Qué dijo? ¿Cómo podía saberlo?

P.S. Estad atentos. Recordad que C habló sólo después de que hablaron los demás. Pensad y decidme qué sacáis en claro.

El problema de las diez bolsas con las diez monedas

No me tiréis tomates, es que me gustan demasiado las monedas. Sin embargo, y a pesar de que muchos puedan recordar el segundo problema del salón del estudio (el problema de las ocho monedas y las dos pesadas), este pequeño enigma no es semejante en escencia. En principio, el anterior problema sólo tenía ocho monedas, y este tiene cien! En segundo lugar, el otro problema se basaba en una balanza de dos platillos, como las que había antes en las verdulerías, y este problema, por el contrario, se resuelve con una balanza digital (de esas que tienen numeritos verdes o amarillos). En última instancia, el anterior problema se resolvía con dos pesadas, mientras que este problema, y a pesar de tener noventa y dos monedas más, se ha de resolver con una sola pesada.

Creo que el beneficio de resolver o pensar este tipo de problemas es que te ayuda para cuando en una situación límite (con recursos limitados o escasos) necesitas encontrar una solución práctica y aplicable y que también sea sencilla. Como decía Albert Einstein, en tiempos de crisis la imaginación suele ser tan importenta como los conocimientos. Yo digo que, aplicado a este problema en específico, la imaginación será el único medio por el cual llegar a la solución, y los conocimientos (si bien estarán allí) quedarán opacados.

Como ayuda que os daré para resolver el enigma, sólo debéis leerlo atentamente, ajustaros a los datos que os ofresco y de allí usar la imaginación. La respuesta es muy sencilla, no es nada compleja, pero sí requiere concentración e imaginación (a mí me llevó cinco días encontrarla). Por lo demás, sobre decir que todo lo que necesitáis para resolverlo está allí. ¿Listos?

Se tienen diez bolsitas de tela numeradas del uno al diez (1, 2, 3...). En cada bolsita hay diez (10) monedas que en apariencia son todas iguales. Cada una de las monedas pesan diez gramos (10 g). Pero hay una excepción.
He dicho "en apariencia" porque en una de estas bolsitas hay monedas que pesan cada una un gramo más que el resto (11 gramos cada moneda). Luego en esta única bolsita tenemos diez monedas que pesan once gramos cada una. Esto es lo único que sabemos, pero no sabemos cuál es esa bolsita.
Tenemos una balanza digital que mide el peso exacto (o al menos todo lo exacto que necesitamos para este problema), de esas que tienen numeritos verdes y amarillos; pero sólo podemos usarla una vez (sólo podemos realizar una sola pesada, para que no queden dudas ni contradicciones).
La pregunta es "¿cómo saber en qué bolsa están las diez monedas que pesan once gramos con una sola pesada de esa balanza digital?". En otras palabras, el problema consiste en saber qué hacer, con una sol pesada, para determinar la bolsa en donde están las monedas que pesan diferente. La belleza de este problema está en pensar con creatividad.

¿Qué os decía, eh?

Siete días, damas y caballeros. Terminado ese plazo, como es costumbre, se publicará la solución. Como decíamos en la anterior entrada de matemática, nadie será menos o más inteligente por saber resolverlo o no. Lo importante está en haberlo pensado. Estos problemas sólo tienen por objetivo aprender a pensar. Y ya sabéis, si al leer el enunciado os surge alguna duda o contradicción con los datos (ya sea por un error de sintáxis o por no haberme explicado con claridad o por cualquier otro motivo), no dudéis en preguntarlo en la entrada para aclararlo con la mayor celeridad posible; recordad que si no tenéis en claro los datos del problema, será muy difícil pensarlo. Es preferible dejar todo en claro.

A pensar se ha dicho, señores. ¿Qué se les ocurre?

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

Solución al problema del recipiente de tres y cinco litros respecti

Ha pasado una semana desde la publicación del problema de los recipientes de tres y cinco litros respectivamente. Antes de proseguir, recomiendo a los lectores que no han leído la entrada antes mencionada (y enlazada) que vayan un rato hacia allá, lean el problema y se dediquen a pensarlo antes de leer la solución. Es el único propósito de estas entradas de matemáticas: aprender a pensar.

El problema resulta ser de fácil solución cuando se lo piensa en concreto. Eso sí, hay muchas vueltas, así que sugiero leerlo pausadamente, hacer un dibujito, escribir los pasos o cualquier método que ayude a interpretarlo todo con claridad. Con ustedes...
... la solución.

Se toma el recipiente de tres litros y se lo llena. Aquí tenemos ya una referencia, que son los tres litros. Vertemos estos tres litros en el recipiente de cinco litros y tenemos tres litros en el recipiente de cinco.
Ahora volvemos a llenar el recipiente de tres litros. Tenemos al fin que hay tres litros en cada recipiente.
Ahora bien, si el lector desea continuar su cadena de razonamiento a partir de este punto (en el que se puede deducir el final del camino aplicando un poco de ceso) lo invito a que prosiga hasta el final por sí mismo. Que su pensamiento lo lleve al fin de la cadena, eslabón por eslabón, y que encuentre la solución por sí mismo. Por mi parte, sigo aquí con la solución.
El siguiente paso es verter determinada cantidad del recipiente de tres litros al de cinco litros. Esta determinada cantidad tiene que ser la necesaria para que el recipiente de cinco quede completamente lleno. ¡Exacto! Dos litros. Con esto, en el recipiente con capacidad de tres, ahora sólo queda un litro.
Vamos a volcar todo el contenido del recipiente de cinco litros de nuevo en el barril de vino. Y ahora ponemos el litro que quedaba en el recipiente más pequeño en el de cinco litros. La situación sería la siguiente:
El recipiente de cinco litros ahora tiene un litro de vino. El de tres, está vacío. Faltan dos pasos para llegar a la solución del problema.
Llenar completamente el recipiente de tres litros, y luego verter esto en el de cinco litros. 3+1=4
En el recipiente de cinco litros, finalmente, tendremos los cuatro litros de vino que buscábamos.

Moraleja

En momentos de críticos, la imaginación suele ser más importante que los conocimientos.

Como se ha dicho mil veces en este blog, lo importante es haberlo pensado. Pero vosotros, ¿qué me decís? ¿Tenéis algún otro camino por el cual llegar a la solución? ¿Vislumbráis algún otro modo de encontrar cuatro litros? Yo veo otros caminos, pero son mucho más difíciles y complejos que el que he propuesto anteriormente. Por supuesto, se admite como posible solución tomarse todo el barril de vino y luego hacerse un test de alcoholemia. Eso sí, sería poco práctico y la verdad que muy riesgoso XD

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

P.S. En serio, me gusta hacer entradas de esta longitud (también denominada "largor" o "longanismo").

Edición antes de publicar la entrada

Conviene escribir esto aquí para evitar futuras complicaciones. ¿Recordáis lo que escribí antes, eso de "se os ocurre alguna posible solución"? Os comento.
Cuando escribía esta entrada, me dediqué a pensar otra posible solución para el enigma (para entretenerme), porque sólo tenía la que había descubierto en un principio. Si encontraba una solución viable, además, tenía la posibilidad de ejemplificar eso de los muchos caminos para una misma meta.
Pensando llegué a pensar en una nueva solución, un nuevo camino, que comenzaba con el recipiente de cinco litros. Llegué a una solución concreta y aplicable al enunciado que estudiábamos, y pensé que sería interesante extender el problema una entrada más y plantear este reto: ¿Quién sería capaz de descubrir el otro camino? Dos días después, Key publicó esa misma respuesta que yo había pensado, con la misma cadena de razonamiento que había empleado. Alegre y maravillado, decido que es un buen momento para que Key hable en esta entrada...

... 1. Lleno el de 5.
2. Paso tres litros al de 3, con lo que me quedan 2 litros en el de 5.
3. Vacío el de 3 litros.
4. Echo los 2 litros del de 5 en el de 3.
5. Lleno el de 5.
6. Lleno lo que queda del de 3 (que ahora mismo sólo contiene dos litros) con el de 5. Eso hace que pase un litro del de 5 al de 3, con lo que quedarían
cuatro litros en la jarra de 5.

12 de junio de 2010 19:19

Aquí las palabras sobran. Nuestra querida compañera ha encontrado otro camino para llegar a la misma solución. Es, en efecto, la misma solución expresada de dos formas distintas.
Ahora bien, ¿cuál es la verdadera solución? Creo de verdad innecesario tener que hacer esta pregunta y responderla, pero lo haré para ejemplificar algo que ya he dicho muchas veces y no me cansaré de decir. Hagamos un diálogo imaginario entre el Caballero de la armadura oxidada y el Mago Merlín.

—¿Cuál es la solución correcta? —preguntó el caballero.
—¿Y cuál crees tú que es la solución correcta?
—La primera —repuso el caballero.
—Y por qué?
—Porque es la primera.
—Te haré yo ahora una pregunta: "¿Con cuál de las dos obtenemos cuatro litros?".
—Con ambas soluciones llegamos a los cuatro litros —respondió el caballero.
—Y dime ahora, ¿cuál era la pregunta del problema?
—Llegar a los cuatro litros.
—Responde ahora, ¿si las dos llegan al mismo resultado, cuál es la diferencia?

Os lo ha dicho Merlín, amigos del salón del estudio. Vale, como que Merlín no se preocuparía por resolver un problema, pero hay algo de verdad en sus palabras. En efecto, ¿cuál de las dos es más o menos correcta? Las dos son tan correctas como aplicables a un caso de la vida real. ¿Hay una correcta y otra incorrecta?
El hecho de que exista una solución escrita en el libro ¿Matemáticas... estás ahí?, no quiere decir que no se admitan nuevas soluciones. El punto está en saber reconocer que ambos son caminos tan válidos el uno como el otro si se quieren llegar a los cuatro litros de vino. Ambas respuestas —y por si acaso, todas las posibles respuestas por las que se llegue a los cuatro litros (como la de ir bebiendo el barril y hacerse un test de alcoholemia, mencionada unos párrafos más arriba)— son perfectamente válidas para responder el problema. El problema radica en comenzar a entender que en los asuntos de la Matemática (y en muchos otros asuntos de la ciencia y de la vida) no hay una única respuesta. Los tests de inteligencia, por ejemplo, no contemplan esta posibilidad, con lo que tenemos el riesgo de obtener que somos unos cavernícolas si es que respondemos a una pregunta de una forma diferente a la que se esperaba o con otra respuesta totalmente válida. Esto es. Los test de inteligencia están diseñados para que uno dé determinada respuesta y con determinado orden lógico en el proceso de solución. Si uno no sigue el procedimiento que ha sido fijado de antemano para llegar al resultado... bueno, como que el test queda suspendido; y si uno llega a otra solución, perfectamente válida, pero que no ha sido contemplada por los que hicieron el test (es decir, si uno no sigue la línea de pensamiento prefijada para resolver el enunciado), también corre el riesgo de que el test devele que en realidad tienes muchos problemas psicológicos. Este es un tema del que ya hablaremos en otra oportunidad, pero debemos comprender que en las matemáticas nada de esto es así.
Fantasmas y Key han demostrado que se puede llegar a la cabaña siguiendo dos caminos distintos. Muchos otros problemas develarán que se admiten muchas soluciones para un mismo enigma. Hay cosas muy bastas y muy amplias en este camino amigos.
Ambas soluciones, resumiendo, son válidas para este problema y ambas merecen una gran felicitación. ¡Felicidades! ¡Lo lograron!
A los que lo pensaron en casa y lo consiguieron: ¡Congratulaciones!
A los que lo pensaron en casa y no lo resolvieron: "¡Bien hecho! Porque lo importante es pensarlo, no resolverlo.

¿Qué ocurriría si supiéramos la cantidad de vino que hay en el barril? Es decir, ¿que pasaría si tuviéramos un límite de litros de barril? ¿Si tuviéramos sólo cinco litros en el barril? ¿Si tuviéramos sólo seis? ¿Siete? ¿Ocho? ¿Más?
Os doy una pista, si tuviéramos seis litros en el barril, la respuesta de Key no se habría podido llevar a la práctica. Esto es una demostración de cómo los problemas que más factores tienen (es decir, en donde intervienen más variables) son los que hacen que la mente se esfuerce, porque la solución ha de ser mucho más afinada, ajustándose a los parámetros del problema. Al no ofrecer la cantidad de litros de vino que contiene el barril, el problema queda más abierto, ya que los que lo resuelven tenemos una libertad extra (el hecho de saber que podemos contar con los litros que nosotros consideremos indispensables).

Ahora sí.

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

Problema de los recipientes de tres y cinco litros respectivamente

Pensando en un nuevo problema de matemática para traer a este saloncito, se me ocurrió plantear uno que había leído hace tiempo y que, en su momento, me pareció bastante simpático y entretenido. Es un problemilla parte de lógica lateral y parte de combinatoriedad, pero lo cierto es que tiene una dificultad media. El problema de las seis monedas y las dos pesadas y El de las mujeres y el puente eran más complejos que este, así que será como un pequeño respiro después de El pequeño desafíoa mental. ¿Qué os parece? ¿Estáis listos?

Tenemos dos recipientes. Uno tiene una capacidad de cinco (5) litros y el otro tiene una capacidad de tres (3) litros. Listo. Estos son los únicos datos que nos ayudarán a resolver el problema. Mejor dicho, estos son los únicos datos que tenemos durante el planteo de todo el problema para resolverlo.
Tenemos un barril de vino y queremos sacar cuatro (4) litros de vino. Sólo contamos con los recipientes de tres y cinco litros para medir. ¿Qué tenemos que hacer?

esto es un caso particular del famoso dicho: "En lo simple se halla lo complejo". Más vulgarmente conocido por: "El problema era tan pavo que no me daba cuenta de cómo resolverlo". Así que...
... ¡a pensar!

¡Matemática a la carga!

P.S. No sabéis lo lindo que se siente hacer una entrada tan cortita como esta XD
P.P.S. Como siempre, la solución se publicará en una semana.

Solución al pequeño desafío mental

Damas, caballeros, ha transcurrido una semana exacta desde la publicación del pequeño desafío mental. Antes de proseguir leyendo, recomiendo a los lectores que no han hecho el problema que le den una leída e intenten resolverlo, pues así podrán mantener la mente despierta y disfrutar de pensar (una actividad mucho más sana de lo que parece).

Con ustedes la solución...

... 2+3=10

7+2=63

6+5=66

8+4=96

9+7=144

¿Por qué es así? Ahora daré unas breves explicaciones del porqué y de la existencia de más de un camino para llegar al resultado, y luego haremos unas breves reflexiones personales sobre esto. Próximamente, si no me falla la memoria, haremos unas revisiones sobre un par de problemas anteriores. Por ahora, prosigamos.

El problema era sencillo, tan sólo algo esquivo. Se principia por encontrar un patrón que valga para todos. Obviamente, la suma entre dos y tres no es diez, así que el resultado debe de estar relacionado con esos números (de alguna u otra forma). Uno se pregunta entonces: "¿Qué relación hay?". Por medio de algún extraño movimiento cerebral que no alcanzaríamos a entender ni en mil años, relacioné primero el dos y el tres al hecho de que junto dan cinco, y que cinco es la mitad de diez. Luego vi que el dos del principio era la quinta parte del diez y ¡boila! Pero no debía cantar victoria, porque podría ser que ese patrón fuera una coincidencia en este ejemplo, y que fuera otro el patrón común a todos los demás. Se prueba con los otros... y ¡se encuentra que es el patrón! Luego de esto, no resulta difícil inferir que el número faltante es ciento cuarenta y cuatro.

El anterior es sólo uno de los caminos que se nos presentan; no obstante, existe otro camino, del que me percaté una vez hube terminado el otro. Suele ocurrir que justo cuando llegamos a la cabaña, encontramos un mapa indicando otra ruta de acceso hasta ese lugar y uno dice "¡pero claro!"... El otro camino, como iba diciendo, consiste en elevar al cuadrado al primer número y sumar el producto de los factores. En términos sencillos. Elevar al cuadrado el primero de los números, y luego sumarle el resultado de la multiplicación entre el primero y el segundo. Así: 2²+2*3=10
Y lo mismo con el resto de los ejemplos hasta toparnos con la incógnita.
92+(9*7)=144
81+63=144

Y se puede apreciar, con este ejemplo, que ambos caminos dan el mismo resultado:

(9+7)*9=144
16*9=144

9²+(9*7)=144
81+63=144


La pregunta del millón es: ¿cuál de los dos caminos es el correcto? A este interrogante hay que darle otra pregunta como respuesta: ¿llegan al mismo lugar los dos? En efecto, ambos son igualmente válidos, porque ambos llegan igualmente a un mismo destino. Como en nuestros ejemplos de cabañas perdidas en el bosque (¿se nota mucho que no he tenido vacaciones en medio de la montaña?) siempre hay otra salida u otra ruta por la que llegar al lugar indicado. Muchas veces, no obstante, no existe un lugar indicado, y sólo queremos gozar del paisaje.

A Fantasmas, PresteJuan, Jengibre y Key: ¡Felicitaciones! Habéis resuelto correctamente el problema. Aún si no lo hubieráis resuelto, lo más importante es haberlo pensado. No digo esto porque sí, sino que hay una perfecta justificación desde detrás.

Como decíamos en uno de los ítems de un antiguo epílogo que ya hemos publicado por aquí, si los estudiantes de cualquier asignatura sólo damos respuestas, nuestro rendimiento no termina de ser satisfactorio. Como se plantea en el método científico, si las conclusiones sólo dejan cerrado el problema original, la investigación deja de tener su gustito, porque lo que de verdad importa es que estas conclusiones arrojen nuevas preguntas para seguir teniendo más y más problemas. El hecho de pensar un problema como el que se ha planteado esta semana, deriva por fuerza en la interacción con el susodicho. Esta interacción, a su vez, genera que nosotros y el problema tengamos cierto grado de intimidad, y nos vayamos conociendo. Conocer y explorar el problema es un principio clave para hacer mejores a los problemas. En este caso el problema se basaba en hallar un patrón y saber cuál era el número, y eso todos lo hemos logrado.El punto radica en que, cuando estudiamos a fondo un problema, tendemos a dar más de una solución. Como Fantasmas dice en su comentario, él hizo muchos otros cálculos y probó con diferentes soluciones o caminos. Es decir, fue un caminante, porque buscaba respuesta. Cuando tratamos de buscar el hilo que desteje la madeja, se nos presentan muchas ideas y muchas teorías. En estas ideas y en estas teorías radica la verdadera belleza. No sólo en intentar y probar, sino en pensar y descubrir todas las cosas en las que podemos pensar cuando intentamos resolver. Con esas mismas ideas podemos convertir los problemas a nuestro antojo.

Quizás el problema se resolvía con el ciento cuarenta y cuatro, y es evidente que hay más de un camino para llegar a él. La resolución del problema es el primer paso para hacerlo más rico y delicioso, más seductor y atractivo. Quizás, al saber ya la solución del problema, el problema deja de serlo y se convierte en un ejercicio o enunciado ya resuelto. Pierde esa aura de misterio que lo envolvía cuando nosotros no sabíamos su respuesta. Entonces, ¿por qué no hacerlo más interesante? Cambiar todo el problema, cambiar los patrones y cambiar el resultado final, sólo para jugar un rato más. Podemos alterar el patrón numérico común a todos los casos de aplicación por uno en particular, y ¡presto! Tenemos un nuevo problema. Podemos trabajar, como dijo Fantasmas, pensando en qué resultado debería dar uno de los casos si contabilizamos las rectas o las intercecciones de los números. De este modo, alteraríamos todos los resultados y terminaríamos con un nuevo problema. Podemos trabajar con progresiones, con escalas musicales, con curiosidades matemáticas, con lo que sea imaginativo y que embellezca más al problema.

Daré un ejemplo único, en parte porque no he trabajdo sobre todos los casos y en parte porque esto servirá como motivación para seguir trabajando. Supongamos el primer caso (2+3=10). Yo podría decir que el patrón numérico que rige aquí es la suma de los dos números por dos. Es decir: el doble de la suma de los dos números. Y ahora aplicaremos este patrón numérico a los subsiguientes casos. 7+2=63
En caso de que aplicáramos el patrón numérico que hallamos en el primer caso, el resultado debería ser dieciocho, no sesenta y tres. Así se podrían cambiar todos los resultados y ¡plam! Tenemos un nuevo problema recién horneado, y horneado por nosotros mismos.

El mundo de las matemáticas no se limita a exponer resultados, si bien este es el primer paso. Hay que ir más allá y aplicar la imaginación para conseguir nuevas fuentes de agua para la mente.

La matemática es algo dinámico, no estático. Podemos modelarlas a nuestro antojo y a nuestro gusto, porque son como letras que crean nuevas cosas. Tienen una frescura que no caducará a lo largo de los años, y muy pocas cosas se les asemejan. Ayudan a pensar, y pensar es algo muy, muy, muy, pero muy sano.

Damas, caballeros... felicitaciones, porqe lo habéis hehcho excelente. Felicitaciones, porque si habéis pensado, ya es motivo suficiente para decir que lo habéis hecho de fábula. Felicitaciones, amigos y amigas del salón, y muchas gracias por haber enriquecido tanto el blog con vuestros comentarios, reflexiones y aportaciones.

¡Matemática a la carga!
¡Elen síla lumenn'omentielvo!

Pequeño desafío mental

2+3=10

7+2=63

6+5=66

8+4=96

Entonces, 9+7=???

Siete días. Yo he encontrado dos distintos caminos que llegan a la misma solución, así que es un perfecto ejemplo para nuestra entrada de matemáticas anterior. Por supuesto, puede que vosotros halléis más caminos o nuevos senderos por los que se llegue a otra solución (o, porqué no, a otra solución que sea igual de válida). Ante todo debemos recordar que estos ejercicios se hacen con el único y sano motivo de pasarla bien pensando y divertirse un rato. Nadie es mejor que nadie y nadie ganará ningún premio por resolverlo. Es un juego, o, si se quiere, un modo de ocupar la mente para despertarla y hacerla arrancar. ¿Qué me decís? ¿Estáis preparados?

Como siempre, si llegáis a un determinado resultado, sería favorable pediros que hicieráis una breve (o larga, como vosotros prefieráis) relación de cómo lo resolvieron y de los métodos que usaron. Esto sirve para verificar que no ha sido suerte o casualidad, y también para enriquecer mucho el blog. No todos los pensamientos serán los mismos. A veces tendremos ideas originales, y otras bucearemos por otras aguas. Todas son válidas, porque lo que cuenta aquí es dedicarse a pensar y reflexionar. Lo que importa no es resolver, sino pensar. No dar con grandes verdades cósmicas, sino encontrar que tenemos mucho potencial dentro. No es necesario solucionar, sino hacer más atractivos, más seductores y mejores los problemas, tratando de ponerles nuevos factores que agregarán emoción y nuevas variables en las que centrarse. Recuerden que es insatisfactorio que un problema o una investigación científica quede del todo resuelta. La investigación que da y ofrece nuevas preguntas al finalizarse es la que da verdadero fruto, pues no sólo responde un problema original, sino que también plantea nuevos problemas para trabajar.

Así, sabiendo que la solución se dará en siete días y teniendo muy en cuenta que los comentarios serán un espacio abierto y libre para tratar de dilucidar y resolver, de ampliar y reconocer, de mejorar y cavilar... ¡comienza el problema!

¡Matemática a la carga!

Introducción y reapertura

¡Bienvenidos a una nueva entrada de matemáticas, damas y caballeros!

Como probablemente ya habrán oído por algunos Lares, el salón del estudio tuvo que renunciar, durante un tiempo, a su sección de matemáticas. Los principales motivos se resumen en dos palabras: poca participación. Tomando en cuenta la cantidad de seguidores que había en aquella época y la cantidad de comentarios sobre esas entradas, creo que no era muy popular. Estoy haciendo un intento más para verificar que aquellos viejos tiempos hayan cambiado un poquito.

Como ya he dejado dicho en otras ocasiones y en múltiples entradas del salón, las matemáticas no sólo sirven para hacer matemáticas. Es una ciencia formal y, como tal, tiene propios conceptos y casos de aplicación específicos para su campo de estudio; sin embargo, muchas son las áreas de aplicación de la ciencia formal por excelencia. Materias tan dispares como la Ecología, la Taxonomía, la Geología, la Meteorología, la Climatología, la Edafología, la Química, la Física, la Biología, la Zoología, la Botánica y la Astronomía… se sirven de la matemática para poder avanzar y seguir camino adelante. No sólo para otras ciencias, sino, también, para la vida cotidiana. Las matemáticas aparecen prácticamente en toda nuestra vida y, bien empleadas, pueden constituirse en la solución a gran parte de nuestros problemas.

Otra ciencia formal es la Lógica. Como tal, aliada con la Matemática, puede servir para resolvernos aún más la vida. El principal estudio de la Lógica es la Lógica Lateral o Lógica alterna. Este tipo de lógica cuenta, específicamente, con la capacidad de desarrollar en quien la practica una habilidad de resolución que linda con la intuición.
Como su nombre indica, la lógica lateral o alterna consiste en la lógica aplicada de una forma alternativa o por un camino poco transitado. Otra definición, un poco más concreta, sería pensar las cosas desde un ángulo distinto o con otro punto de vista.
Al practicar constantemente la lógica lateral, inconcientemente, uno comienza a aplicarla en los problemas cotidianos que van surgiendo por allí, así como en las preguntas que nos dan interés y nos llenan de curiosidad. Cuando se nos presenta un problema en la vida diaria, lo más usual que tendemos a hacer es dejarlo de lado y no resolverlo por:

1. No tengo ganas.
   
2. No sé cómo.
   
3. No tiene solución.
   

Con lógica lateral aplicada esto no ocurriría. El no saber cómo resolver el problema es el principio del juego. Porque ¿si uno supiera cuál es la forma de solución, seguiría siendo problema? La respuesta, como pueden imaginar, es “no”. La experiencia me ha demostrado que, cuando a un niño le ponen un problema común y ordinario en que le dan la respuesta demasiado claramente, se le está perjudicando gravemente, pues el niño tiende a creer que eso es una situación problemática verdadera. Ahora bien; cuando el niño se encuentra con un problema de dificultad media y necesita resolverlo, cree que le están dando a resolver la Ecuación de Strodengert. Es así como, desde mi humilde opinión, considero que lo necesario es preparar problemas jugosos y ricos que inciten a pensar, reflexionar y razonar, y que puedan ser útiles para la vida fuera del colegio o del salón de estudios.
El no tener ganas se debe a no tener las herramientas básicas para trabajar. “Claro, porque si no tengo ningún material con el que hacer mi labor… ¿cómo diantres se supone que voy a resolver esto?”. Es algo así como un principio que dice que los seres humanos necesitamos cierto grado de experiencia para poder trabajar con algo. Como es lógico suponer, si no se ha tenido una preparación previa en el conocimiento matemático y de la lógica aplicada, obviamente no se tendrán muchos instrumentos para la resolución de problemas.
Y, respondiendo al tercer punto, creo que el hecho de no tener ganas o de no saber cómo responder una cosa hace a que tengamos la cierta o vaga impresión de que el problema no puede resolverse. Y esto sin siquiera haber estudiado el problema a fondo. Sería algo muy parecido a prejuzgar a una persona por el color de piel, por su religión o por su idioma. “Claro… el problema a primera vista parece confuso y lioso; entonces debe ser, necesariamente, que el problema es tan complejo que no tiene solución”. Complejidad no es sinónimo de no tener solución; complejidad es sinónimo de la promesa de pasarse toda una tarde estudiando analíticamente el problema y tratando de encontrar luz en la oscuridad.

Si queremos hacer una definición un poco más concreta de la lógica lateral podríamos hacer esto:
«La lógica lateral es aquello que nos impulsa a hallar nuevos caminos, nuevos puntos de vista o nuevas formas de ver la realidad.
»El ser humano, frecuentemente, está sujeto a ver la realidad de una única forma y a no encontrar nuevos puntos de vista sobre la vida en general; esta actitud, sumada al hecho de no tener muchas herramientas disponibles, hacen que la lógica lateral no sea capaz de desenvolverse como moneda corriente en nuestras vidas.
»Supongamos que tenemos una casa en medio del bosque. Supongamos que para llegar a esa casa hay un camino trazado de ante mano por otros hombres. Supongamos que nosotros tomamos ese camino para llegar a la casa en medio del bosque. Esto es un paralelismo de los problemas que se suelen dar en la escuela primaria. Ya saben, eso típico de: “María tiene tantos billetes de tantos valores. Va a la tienda y gasta una cuarta parte de lo que tenía”… Un horror. Lo que se pretende en este caso de problemas es que el estudiante, guiándose por las palabrejas claves que deja caer el enunciado, piense cuáles son las operaciones que tiene que realizar para resolver el problema; si ha hecho todo correctamente, el alumno aprueba el examen y se queda con una noción tremenda de lo que es un problema de matemáticas. El alumno ha seguido el camino trazado de ante mano para llegar a la casa en medio del bosque.
»Ahora supongamos que el camino hacia la casa del bosque (sí, ese camino que ya había sido trazado antes por otros hombres) se bloquea debido al derrumbe de muchos árboles. Supongamos que tenemos que llegar a la casa del medio del bosque. ¿Qué tendríamos que hacer? Simple, buscar un camino o ruta alternativa. A esto quería llegar: una ruta alternativa… La lógica lateral trata de eso, precisamente. Cuando el camino trazado de ante mano no sirve para llegar a la solución de un enigma, necesitamos una ruta alternativa para llegar a esa solución, necesitamos una lógica distinta y lateral. Un nuevo punto de vista; un nuevo enfoque de cámara; una nueva alternativa a hallar la solución. Es la hora de trazar un nuevo mapa, un nuevo rumbo, una nueva recta de acción sobre la que trabajar. Supongamos un problema que no se resuelve con la forma tradicional o típica de solucionar un “seudo-problema” del colegio. ¿Quién podrá defendernos? ¡Yo!, ¡el Chapulín Colorado! Hem… como que eso no iba aquí. Retomo: ¿qué podremos hacer? ¡Ser creativos! ¡Aplicar la imaginación! ¡Tratar de hallar un nuevo camino aplicando lo que ya sabíamos! ¡Tratar de hallar un nuevo rumbo sin saber nada! ¡Comenzar a construir nuestro propio método! ¡Avanzar en el camino! ¡No rendirnos por la primera piedra! Recordar que estamos trazando un nuevo camino a la cabaña, y que hay maleza, pastizales, malas hierbas, piedras y muchos árboles. Estamos tratando de hacerlo y ¡lo lograremos!
»¿Creen que un matemático es el que se encierra a jugar con una calculadora todo el día? No. ¡¿Creen que un matemático es alguien que se sabe todos los dígitos decimales de P y E?! No. ¿Creen que ser matemático es tener una camisa a cuadros y estar analizando la teoría de la relatividad, o la teoría del caos, o la teoría de la cuantización atómica, o la teoría de la salsa de carne? ¡¡¡No!!! Ser matemático es tratar de ser creativo y poder aplicar esa creatividad a un problema. ¡Soy Juan Pérez y estoy tratando de dilucidar quién me ha robado mi calcetín! ¡Eso es ser un matemático! ¡Soy Fulano Perengano y estoy perdiendo mi tiempo tratando de saber cuál es la solución al problema de la eminencia! ¡¡¡ESO ES SER UN MATEMÁTICO!!! ¡Soy Ramón García, y estoy tratando de encontrar un camino para llegar a la cabaña del bosque! ¡Ramón García es un matemático porque está aplicando la lógica lateral!
»Este es el grado de pasión y locura que pongo en las matemáticas. Todos somos matemáticos, en cierto sentido y de cierto modo. Matemático es aquel que aplica la lógica lateral, la creatividad, la imaginación, la perspicacia y la capacidad de deducción para desentrañar un enigma. Ha habido personas que han descubierto misterios inmensos de matemática pura, y no sabían ni las tablas de multiplicar. En cambio, ha habido otras que eran increíbles matemáticos, pero se les fue la vida tratando de resolver el problema de las cuatro mujeres o el de la balanza y las monedas.
»Esto es lógica lateral, esto es aprender a pensar de formas distintas para llegar a la misma conclusión.
»Supongamos que el camino ya trazado es muy aburrido y el paisaje no es bello, pero que hay lugares del bosque que son ricos en vegetación y en animales. Entonces… supongamos que usted decide ir por un camino alterno, trazar su propio rumbo y disfrutar del paisaje y de los animales. Entonces… hay otra persona que prefiere llegar más rápido y perderse de un hermoso paisaje y de espectacular flora y fauna. ¿Ambas llegaron al mismo lugar? Si. ¿Cuál fue la diferencia? Que tomaron distintos caminos y que uno llegó antes y otro después.
»Las variables son múltiples; los ejemplos son millares; las cosas que se pueden decir son tantas que no entrarían en una entrada de este blog. La variable puede ser: El hombre que eligió ir por el camino ya trazado se percata, a mitad del recorrido, que hay una manada de lobos salvajes por allí y tiene que encontrar una solución alternativa, o un rumbo distinto al que estaba siguiendo.
»Lo que hay que decir es siempre: ¡Sí se puede! Tener un espíritu abierto y libre, lleno de deseo por aprender y entender. ¿Qué? ¿Por qué? ¿Para qué? ¿Cómo?
»Entonces… si están todos dispuestos, los invito a recomenzar el camino, a bordear nuevos rumbos, a resolver más problemas, a entrenar sus mentes, a aprender la magia de la lógica lateral.
¿Qué me dicen? ¿Están listos?...
... si la respuesta es afirmativa, ¡a comenzar otra vez el camino! ¡Adelante, y a por más aventuras en el camino de la matemática!

¡Elen síla lumenn omentielmpo!

Una fiesta muy elemental

Todos los elementos invitados a la fiesta habían acudido: desde el más liviano, el Hidrógeno, hasta uno de los más pesados, el Uranio; elementos célebres como el único metal líquido, el Mercurio, con sus compañeros del mismo estado como el Cesio, Francio, Galio y Bromo; el elemento “probeta”, o primer sintético, el Tecnecio; algunos gases imperceptibles como el Hidrógeno, el Nitrógeno y el Oxígeno, y otros olorosos como el Flúor y el Cloro; el más denso, el Osmio.
Todos lucían muy elegantes, ya que era una buena ocasión para impresionar y así conseguir amistades o parejas.

Los señores como el Flúor y el cloro eran los más activos porque, al contar con 7 electrones en su última capa energética, gozaban de mejores atributos físicos y químicos para llamar la atención y entrar a reaccionar; claro que también hay otros como el cesio, el francio, el rubidio, el potasio y el sodio que
son muy activos y que se dejan conquistar con el primer acercamiento. Sin embargo, como en todas las reuniones, ocurre que se forman grupos aislados, muy apáticos, que no saludan, no le hablan a nadie, no prestan plata, no dan ni la hora; estos son los apodados “Gases nobles” o “inertes” (grupo XVIII de la tabla),
que no se interesan por nadie, puesto que se ufanan de ser autosuficientes por tener todo lo necesario; es decir, se sienten estables energéticamente al tener ocho electrones en su última capa. Son los únicos que desde su nacimiento cumplen con la regla del octeto. Pero… a veces… Al transcurrir la fiesta, se empiezan a notar elementos entusiasmados a reaccionar con otros para unirse o enlazarse, para así formar una familia, que sería una molécula o un agregado atómico. Las uniones se originan como resultado de las interacciones que pueden ser atracciones y repulsiones mutuas entre los electrones. El objetivo del “matrimonio” químico es similar al social; supuestamente se realiza para acompañarse y alcanzar una estructura más estable, o sea, un estado de menor energía. En la búsqueda de la pareja, juega un papel importante la apariencia física, entendida ésta como la parte que el átomo deja ver, es decir, la parte externa… el vestido; pues, en muchos casos, hay atracción y amor a primera vista. El vestido de los átomos son los electrones de valencia o electrones que están en la capa más externa y que van a participar directamente en el enlace.

Aparte de la apariencia física, también cuenta la “personalidad” del elemento. En este caso, la electronegatividad o capacidad que posee un átomo para atraer los electrones del enlace. También se puede decir que, mediante esta propiedad, definimos un elemento como buena, regular o mala “gente”. Porque, si el valor de la electronegatividad es bajo, entonces decimos que el elemento es como una persona positiva que dona sus bienes, o transfiere los electrones en un enlace . Como por ejemplo, los elementos del grupo I y II de la tabla (Alcalinos y Alcalinotérreos): Si la electronegatividad es alta se tiene un elemento negativo que roba o quita electrones del enlace, como los no metálicos. De esta forma, tenemos que el elemento más negativo es el flúor con una electronegatividad de 4.

Al aumentar el calor de la fiesta o su energía, ya se comienza a ver parejas de átomos, las cuales son detectadas por el grupito de gases noble o inertes.
Como éstos no tienen interés en integrarse a la reunión, asumen el papel de mirones, criticones y chismosos. La primera unión o enlace que se ve es la formación de la sal común, donde el cloro, individuo muy hábil, charlatán y negativo, con un bonito traje de 7 electrones, “conquista” al sodio que es
un elemento que queda positivo al entrar en contacto con él ya que le pasa el único electrón de su capa externa para estabilizarse al completar 8 electrones
en el último nivel. Dicha unión se clasifica como enlace iónico o electrovalente; en él existe transferencia de electrones desde un átomo con menor electronegatividad a uno de mayor electronegatividad; el átomo de cloro atrae fuertemente al sodio, formando la sal, y así se forman otras uniones del mismo tipo como: CsF,
NaF, KCl, MgCl2, CaCl2, SrCl2, BaCl2, etc. Como norma general se tiene que el “matrimonio” iónico ocurre cuando los dos átomos “prometidos” tienen una diferencia de electronegatividad mayor a 2.1, ó incluso a 1.7.

Siguiendo los sucesos de la fiesta, se observa que en algunos metales sus átomos se unen entre ellos mismos, formando agregados, en los que cada átomo aporta sus electrones de la capa externa o de valencia formando así iones (+). Dichos electrones actúan también como una nube electrónica que se desplaza por todo el metal para estabilizar el agregado. La nube electrónica permite explicar la alta conductividad eléctrica y calorífica de los metales. Al anterior tipo de unión se le denomina enlace metálico.

Otras parejas que se formaron fueron las de los no metales entre ellos mismos o con otros, por ejemplo O2, N2, CO2, Cl2, H2O. Estos enlaces son parecidos a los matrimonios modernos, donde, por la liberación femenina y la decadencia del machismo, se exige igualdad de condiciones; es por eso que los átomos unidos poseen una electronegatividad semejante, y, por consiguiente, los electrones del enlace van a ser compartidos mutuamente. Este tipo de unión es la covalente, que se puede asociar con una cooperativa donde todos los participantes son favorecidos.

En un matrimonio ideal o perfecto hay comprensión y ayuda, ninguno se recarga o se aventaja; en esta situación habría un enlace covalente no polar. Allí las electronegatividades de los miembros de la pareja son semejantes, por ejemplo en dos elementos iguales como oxígeno con oxígeno. No obstante , en muchos noviazgos y matrimonios, una persona tiende a dominar a la otra, aunque no totalmente; en este caso tendríamos una polarización del mando, por lo que el enlace se llamaría “covalente polar”. En este tipo de enlace un átomo es parcialmente positivo y otro parcialmente negativo, como por ejemplo el
agua , los hidrácidos (HCl, HF, HBR) etc.

Un grupo de elementos se dedicó a tomar licor, acabando con todas las exigencias, por lo que decidieron unirse para conseguir dinero y comprar más trago.
En el grupo de H2SO4, todos dieron su cuota, excepto dos átomos de oxígeno que se hicieron los locos y no colaboraron. Sólo estaban de zánganos que vieron la forma de aprovecharse de los demás. Éste es el caso del enlace covalente coordinado o dativo, donde uno o más átomos comparten sus electrones, pero hay otro(s) que no aportan, sólo están de cuerpo presente para beneficiarse y también para dar estabilidad a la molécula.

La fiesta termina y salen felices con sus conquistas y enlaces; mientras que otros esperarán, ansiosamente, para tener otra oportunidad, con mejor suerte, y poder interactuar o reaccionar y así dejar la soledad.

Leído hace un montón de tiempo (dos años, según recuerdo) en clase de Química. Cuando lo leí pensé: "¡Maravilloso!"; claro, además de reírme un buen rato. Hace unos días que lo estoy buscando por la red, y al fin mi busca ha sido recompensada. Me he vuelto a reír y he pensado: "¿Por qué no...?". Después de todo, la pedagogía del humor es lo más eficaz para aprender y, como ya decimos por estos lares, lo importante es siempre buscar alternativas para lograr el objetivo deseado. Lo mismo ocurre en la educación. Hay muchas rutas, algunas incluso ocultas a nuestras miradas, que debemos saber encontrar con la ayuda de un pensamiento juicioso y reflexivo. La tarea de un buen docente es saber hallar estos métodos alternativos, estas posibilidades de aprendizaje, estos senderos nunca antes transitados, con el fin de mejorar la calidad de la enseñanza y, porqué no, hacer del aprendizaje algo divertido, práctico, didáctico, útil y muy entretenido. Siempre me pregunto porqué es que todo tiene que ser tan gris y serio, cuando al hacerlo con un poco de color se disfruta más, se aprende más, y se llega a más enriquecimientos. Lo anterior es una muestra de como, con esmero y con creatividad, se puede conseguir un material de calidad, que enseña lo mismo que un mamotreto de química, pero que, a diferencia de este, lo hace con un poco de humor. Claro, se podría decir que este texto sería una buena ayuda para terminar una serie de clases de enlaces químicos, como una forma de sentar lo que se ha aprendido. Cabe destacar, además, que lo más curioso es que, después de un tiempo, y después de haber leído el texto, muchos recuerdan aún esas clases y aplican su contenido. Cuando, por ejemplo, en otros temarios de la asignatura están casi en blanco. Esto nos demuestra, claro, que sirve como una forma de internalizar conceptos, hacer propias estas cosas que, a primera vista, parecen abstractas y muy poco prácticas en la vida cotidiana.
Esta entrada, entre otras cosas, abre una nueva sección: química. Como se habrán dado cuenta, no suelo tener un orden regular de secciones, así que dudo mucho que esta sea la excepción. Pero ustedes quédense tranquilos, poco a poco se irán entregando pequeños materiales, nada del otro mundo, pero que serán disparadores de pensamientos y reflexiones (o al menos eso espero).

Nuestro grito de guerra, al estudiar los fascinantes mundos de la química...

«¡Química a la carga!».

¡Elen sila lumenn omentielmpo!

[Nota: Si a alguien se le ocurre un grito de guerra más original (se podría decir que este que he dejado yo es un paralelismo con el grito de Matemáticas) por favor, deje sus sugerencias, serán tenidas en cuenta para evitar caer en la reiteración, reiteración, reiteración, reiteración].

¿Cómo cruzan las mujeres el puente?

Buenas noches, amigos del salón. Lo prometido es deuda, y como ya ha pasado una semana de la publicación del problema de las cuatro mujeres y el puente, creo que es hora de publicar la solución. Le recomiendo al lector que, si no ha leído el problema, lo lea y trate de resolverlo antes de continuar leyendo. Antes que nada, daré la respuesta al enigma, y luego haré unas reflexiones de índole personal que, espero, sirvan como moraleja de este problema.
Primero lo primero; con ustedes, la solución:

Solución al problema de las cuatro mujeres, el puente y la linterna

1º viaje: cruzan mujeres 1 y 2.
2º viaje: vuelve la mujer 2 con la linterna. Pasaron cuatro minutos. [Es indistinto: puede pasar la mujer dos o la uno, a efectos prácticos da lo mismo].
3º viaje: la mujer 2 les da la linterna a la 3 y la 4, y estas últimas cruzan el puente.
4º viaje: la mujer 1 agarra la linterna de las 3 y 4; y va en busca de la mujer 2.
5º viaje: vuelven la mujer 1 y 2 al punto de llegada.

Conteo

1º viaje: 2 minutos.
2º viaje: 2 minutos.
3º viaje: 10 minutos.
4º viaje: 1 minuto.
5º viaje: 2 minutos.
2 + 2 + 10 + 1 + 2= 17 minutos.

Ahora sí. Hora de decir algunas cosas:
Lo primero es felicitar a Fantasmas. ¡Bien hecho! Él aplicó diligentemente el método y consiguió el resultado. Se dio cuenta de que si seguía pensando como lo estaba haciendo, no encontraría la respuesta. Por tanto, decidió verlo de otra forma y encontró la solución. Agradezco además, que haya dejado su hilo de razonamiento, porque así podemos apreciar mejor el bagaje de ideas que surcan la mente. Es más, creo que gracias a la contribución tan rica de Fantasmas, yo no tendré que hacer algo demasiado extenso. Pero por si acaso…

Conclusiones

¿Qué ocurrió? El problema se cerró. Ahora mismo no importa el haberlo resuelto o no, no importa nada de eso. Lo importante es que lo hayan pensado, creedme, eso es lo primordial en estas circunstancias. Mientras tengamos el entusiasmo de pensar y de ser creativos a la hora de resolver algo, ya tendremos el 75% del trabajo hecho. La satisfacción de hacer problemas no radica en saber que lo hemos resuelto bien, sino, en saber que lo hemos pensado. Como ya mencioné en la entrada anterior, esto se hace con la mejor intención… ¡pensar! Para mucha gente, pensar no será mucho; pero tiene un valor incalculable. Hoy por hoy el pensamiento está siendo dejado de lado, se ha convertido en algo prescindidle, y no se está respetando como tal.
Como ya dije, no importa haberlo hecho bien o mal, lo que importa es haberlo pensado. Ahora bien; supongamos que lo ha pensado y ha llegado a un punto muerto. Lo interesante en esa circunstancia sería pensar porqué no lo logró. No es una crítica, ni mucho menos, es una pregunta que ayuda a entender mejor el problema.
Fantasmas lo dijo en la entrada anterior. Él principió por hacer que fuera la de un minuto con todas las demás, y no le dio. Luego hizo que la de uno acompañara a las demás, empezando por la de dos en este caso, pero tampoco resultó. Entonces llegó a la conclusión de que las que tardaban más (la mujer 3 y 4) debían ir juntas para ahorrar cinco minutos. En efecto; así se resuelve el planteo. Todo esto consiste en que las mujeres se organicen para perder el menor tiempo posible. Y aquí se presenta una dificultad. Fantasmas habla de mezclar su idea original con su segunda idea, y de allí parte lo siguiente: las mujeres más rápidas ya tienen que estar en la otra orilla. Así es. La segunda clave de este problema está allí. En que las mujeres 1 y 2 deben estar antes que las mujeres 3 y 4, para poder pasarse la linterna y hacer que sólo tarden diecisiete minutos.

Moraleja

Fantasmas no se detuvo; a pesar de todo, siguió adelante tratando de razonar un sendero que antes no había explorado. ¡Hizo un dibujito y todo! ¡Eso es lógica lateral! Así es, la lógica lateral de este enigma se hallaba en el hecho de que tenía que pensarse una forma alterna para que las mujeres 1 y 2 pudieran estar al otro lado del puente, sin la necesidad de que la mujer 3 ó 4 volviera lo andado.


Contestación:
Fantasmas, ¿un dibujo? ¿Humo por la cabeza? Bueno, valió la pena ¿no?

Moraleja segunda:

«Cuando las cosas se quieren y se piensan, se logran».
«Hoy, somos más sabios que ayer».

Espero que este problema os haya gustado y mantenido entretenidos. ¡Será hasta que el universo disponga!

¡Elen sila lumen omentielmpo!

El puente, las cuatro mujeres y la linterna

No, no es el título de un cuento de “Las mil noches y una noche”. Es un problema de matemáticas, más bien, de lógica lateral. Sé que lo estaban extrañando, y he decidido volver a abrir esta sección. Antes que nada, amigos y amigas del salón, he de daros una noticia.
Debo rendir exámenes en diciembre.
La frase anterior lo resume todo, ¿verdad? Sí. En efecto, amigos, desde el veintiuno de diciembre tengo que dar mis exámenes de seis asignaturas. Como comprenderán, estoy al límite con deberes, tareas, estudios, repasos, resúmenes, ensayos, escuchas de material auditivo, búsqueda de información, etc. En fin, todo lo que se puede resumir en: “Estoy estudiando duro”. Así es, estoy estudiando duro.
Por esta causa, creo que —muy a mi pesar— tendré que dejar de publicar entradas, por el momento. Es necesario, porque cada entrada del salón es planificada meticulosamente antes de ser publicada. Es decir, no puedo poner cualquier cosa aquí y decir: “¿A ver cómo lo resolvéis?”. Eso es, en mi opinión, lo que caracteriza a un mal educador. Así que, como las entradas consumen mucho tiempo, y ese tiempo está ahora mismo siendo empleado para estudiar, no podré traerles muchas entradas más.
Pero para la despedida momentánea, creo que podré dejarles esta entrada, más una colaboración foránea (aunque ya hablaremos de eso a su debido tiempo).
En compensación, durante la única semana de vacaciones que tendré, me comprometo a escribir varias entradas sobre Física, muchos cuentos que me han venido a la cabeza, y un montón de entretenimientos más para seguir disfrutando. Dichas entradas, si no me equivoco, serán publicadas entre enero y febrero. Pero ojo, porque en la última semana de febrero también vuelvo a las andadas. Así que… notarán también, que no es muy regular la forma de publicación.
Vale, hecha ya las aclaraciones pertinentes, podemos comenzar.
Siempre se me presenta una duda a la hora de plantear un problema, y es: “¿Publico el problema original, o le doy mi propio estilo de planteamiento?”. Entenderán que, al elegir yo la segunda forma, todo se hace más complejo. [Nota: En el mundo de las matemáticas no existe plagio]. Ya que tengo que encontrar la forma de adaptar los contenidos, y de hacerlos entendibles. A decir verdad, me resultaría más fácil poner los problemas originales aquí, pero para eso daría lo mismo deciros: “Tomen este enlace, lean el problema, y dejen aquí la solución”. O: “Aquí podéis descargar el libro de problemas. Para el próximo martes quiero una solución a los problemas…”. Es decir, no tiene ningún chiste.
Así que… ¡A comenzar!
[Nota 2: Este problema es un capítulo del libro “¿Matemáticas… estás ahí? VOL3”, escrito por Adrián Paenza].
[Nota 3: Os recuerdo que esto es un problema de lógica lateral. Para más información podéis consultar la primera entrada al respecto. Como una breve síntesis diremos que es un problema que apunta a tomar rutas o caminos inexplorados, o que no se nos ocurrieron, para resolver determinadas situaciones. Este problema, por ejemplo, debe resolverse tratando de encontrar un camino alterno o una solución impensable. Es decir, pensar las cosas de otra forma a la que habitualmente se haría. Pensarlo desde otro ángulo, o punto de vista. Muchas veces, estos problemas sirven para agilizar la mente, encontrar soluciones alternas, y comprender que, si las cosas se piensan, tienen respuesta].

¡Vamos con el problema!

Hay cuatro mujeres. Las cuatro necesitan cruzar un puente. Las cuatro están del mismo lado, o sea, cruzarán desde la misma punta del puente, hacia la otra.

Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para cruzar el puente. Es de noche y sólo tienen una linterna. Como es un puente colgante, sólo pueden cruzar una o dos por vez (es decir, no más de dos) por vez. Y siempre, sin ninguna excepción, no se puede cruzar el puente sin linterna. La linterna tiene que ser transportada por cada grupo/persona siempre, no se puede arrojar desde un extremo al otro.

Las mujeres tienen distintas velocidades. Es decir, hay algunas que irán más rápido, y otras que irán más lentamente.
Esto es lo que tardan:
Mujer 1: tarda 1 minuto en cruzar.
Mujer 2: tarda 2 minutos en cruzar.
Mujer 3: tarda 5 minutos en cruzar.
Mujer 4: tarda 10 minutos en cruzar.
Estos son los tiempos que tardan cada una de las mujeres, en recorrer el puente de una punta a otra.

Como mencionamos anteriormente, se puede cruzar de a una o de a dos mujeres, pero no a más de eso. Es decir, no pueden estar cruzando al mismo tiempo tres mujeres. Sólo dos, o una. Ahora bien, cuando van dos mujeres, sólo se respeta la velocidad de la más lenta.
O sea:
Caso 1: Van la mujer uno y dos. La mujer uno tarda un minuto, la mujer dos tarda dos minutos. Siempre se respetará el tiempo que le toma a la mujer más lenta, en este caso, a la número dos. Entonces, ambas tardarán en cruzar el puente: dos minutos.
Caso 2: supongamos que van la mujer dos y la mujer tres. La dos tarda dos minutos, la tres tarda cinco minutos. Como siempre, se respetará el tiempo que le toma a la mujer más lenta. Es decir, tardarán en cruzar: cinco minutos.
Ejemplo: Van la mujer uno y tres. Tardan cinco minutos en cruzar el puente. Vuelve la mujer tres. En total usaron diez minutos.

Con todos estos elementos, ¿qué estrategia se os ocurre para que las mujeres pasen de un extremo a otro en diecisiete minutos? Recordad todos los factores del problema.
1. No pueden tardar más de diecisiete minutos.
2. Siempre deben cruzar con la linterna.
3. No pueden ir más de dos por cruce.
4. Todas tienen que estar del lado opuesto al que comenzaron. Es decir, transcurridos los diecisiete minutos, todas deben estar en el punto de llegada.
[Aclaración: Sí, las mujeres pueden cruzar el puente las veces que quieran. O sea, si alguna llega al punto de destino, puede volverse, siempre y cuando lleve consigo la linterna].

¡A pensar!

¡Elen sila lumenn omentielmpo!
Hasta que el universo disponga nuevamente.

[Nota 4: El problema. Para darles algunos detalles sobre el problema, os diré que no se resuelve con golpes bajos. Esto es: no tiene soluciones milagrosas. No es del estilo: “Hombre, se pasan la linterna por una cuerda y les sobra tiempo”, o: “Rompen las reglas y pasan de a tres”. Otra acotación para el problema es que debe planificarse, o sea, hallar una estrategia lógica, que se debe seguir, para lograr la solución. Por ejemplo: “¿Cuál debería ser el plan de las mujeres para…?”. Así que… ¡A pensar!].

[Nota 5: La solución será publicada dentro de siete días].

[Nota 6: Recordad: está prohibido ver las respuestas de vuestros compañeros. ¿Por qué? Porque aquí no hay premios. Nadie será mejor o peor por acertar o no, esto es un entretenimiento, y si alguien ve la respuesta de otro, se pierde el interés por pensar. Y… ¿¡Qué mejor que disfrutar pensando!? ¡A divertirse!].

Namarië.

Microcuentos

Así es, amigos del salón. “Microcuento” una técnica que, como los haikus, en los últimos tiempos, se ha expandido mucho y es bastante novedosa, relativamente hablando.
Los microcuentos, a pesar de ser una palabra que deriva de “cuento”, no tiene muchas similitudes con el cuento que conocemos nosotros.
La estructura básica de un cuento clásico es: principio, nudo y desenlace. Este orden puede variar, y de allí surgen los distintos tipos de estructuras de cuento, y ahí nos metemos en otros temas. Pero lo cierto es que, alterados o no, esos son siempre los momentos del cuento. Por el contrario, el microcuento es algo muy distinto. No presenta ni un principio, ni un conflicto, ni un desenlace. Presenta características propias y que lo definen como tal.
Entre ellas podemos citar:
1. Es de longitud muy breve. Los más cortos son de siete y seis palabras.
2. Presentan al lector situaciones extrañas, abstractas y absurdas que a simple vista parecen efímeras, pero son de una gran profundidad.
3. Dejan al lector una sensación de desconcierto. El lector sufre la necesidad de volver a leerlo para saber que no se le escapó nada.
4. Son de carácter muy variado y abordan distintos temas.
5. Presentan hechos ambiguos. Esto es, el lector debe, en muchas ocasiones, inferir el significado de las palabras a base de las pistas o sugerencias que deja el breve texto. Es decir, es algo sugerente y no explícito. Da mucho más lugar al lector a hacer especulaciones y usar la imaginación.
6. También son conocidos con el nombre de: microrrelato, minicuento, minificción, microficción, cuento brevísimo, etc.
7. Sus orígenes se remontan a tiempos muy antiguos. Ya en la edad media se podían encontrar breves escritos de características similares a los microcuentos. En la época de Jesús, por ejemplo, si vemos el Evangelio con atención. Notaremos que todas las parábolas que él usa, sacadas del contexto bíblico, son pequeñas historias con características parecidas a la del microrrelato.
Pero el microcuento nació como tal en la década del 1950, en Argentina, cuando Adolfo Bioy Casares junto con Jorge Luis Borges publicaron una antología de cuentos breves. Luego volverían a hacerlo, mezclando los microcuentos con poemas. Y luego, en la década de los ochenta, todo terminaría por expandirse. Lo que había comenzado en Buenos Aires, pasaría a Estados Unidos y luego al resto de América.

A continuación algunos ejemplos de microcuentos (pido perdón a los lectores porque no recuerdo ni los títulos, ni los autores de estos microcuentos):

«Cuando despertó, vio que el dinosaurio seguía allí».

«El último hombre sobre la tierra estaba sentado sólo en un dormitorio, cuando alguien tocó a la puerta».

«Cuando abrió el periódico, vio su propio obituario».

«Vendo zapatos de bebé, sin usar».

Como podemos apreciar más arriba, esto nos deja un perfecto campo para conjeturar. Y esto, queridos amigos, lo harán ustedes. ¿Por qué? OH, quiero que comencemos a hacer esto mucho más movible y que ustedes comiencen a aportar sus propias opiniones. Recuerden que las interpretaciones de los segundos sentidos pueden variar según el individuo, y no hay nada concreto y absoluto.
¿Qué les dice el primero?
¿Qué refleja el segundo?
¿Qué tristeza posee el cuarto?
¿Qué quiere decir el tercero?
Realidades paralelas, bromas, trágicos accidentes, mundos imaginarios, todo lo que vosotros creáis que pueden significar, decidlo. De este modo podremos disfrutar un buen rato para pensar, y nos llevaremos un montón de puntos de vista distintos.
Hay una anécdota que me gustaría contar aquí. Se trata de lo que dijo una amiga muy querida con respecto al segundo microrrelato…
… traduzco toda la conversación que mantuvimos, íntegramente, para que podáis pillar el chiste:

—¿Qué significa para vos el del último hombre sobre la tierra?
—Que quizá una nueva raza se formó en la tierra después de la destrucción del ser —responde vuestro servidor—. ¿Vos, qué pensás?
—Creo que podés tener razón… ¿y extraterrestres?
—Me gusta… pero también puede que el hombre crea (a causa de X motivo), que es el superviviente de una catástrofe nuclear.
—Muy bueno… aunque… ¿Te acordás del problema que voz me planteaste una vez sobre la eminencia?
—Sí, es mi problema favorito.
—Bueno, tal vez, el hombre era el último de la tierra… pero podía ser que aún quedaran mujeres.

Allí queda ese punto. Debo admitir que me estuve riendo un buen rato de su razonamiento que, después de todo, es bastante correcto. A ver, al final hay mil respuestas para este microcuento, pero la suya me gustó particularmente ya que, como pueden saber en entradas anteriores, utiliza el mismo razonamiento que mi problema favorito.

Al ser algo tan sutil, tan bello y tan breve, siempre están las ganas de probar a ver qué sale. Como escritor aficionado en etapa de prueba que soy, admito que he intentado entrar al noble mundo de los microcuentos. Hasta ahora he hecho cuatro, espero seguir haciéndolos ya que, como dije antes, son muy lindos y agradables. ¿Para qué sirven? Verán, tienen una gran utilidad. No, no es sólo pensar; también conlleva el arte de saber medir las palabras. Es decir, muchas veces en un cuento, es mejor no decir mucho ya que puede que la lectura se vuelva tediosa con muchas palabras. Ahora bien, al tener que hacer algo tan breve como un microcuento, el resultado es, inexorablemente, aprender a valorar el peso de cada palabra. De este modo, al tener en claro cuál es el inmenso valor de las palabras, se puede economizar su uso y hacer algo mucho más breve y ameno. Esto, en un cuento, es indispensable.
Así que, si me permiten mostrarles parte de mi creación, aquí van algunos microcuentos de mi inventiva:

reflejo

Se miró en el espejo y no se vio.

La investigación más extraña del mundo

Cuando terminó de investigar, supo quién era su propio asesino.

Tiempo…

Eran las once. Cuando miró el reloj, marcaba las doce.
Eran las doce. Cuando miró el reloj, marcaba las diez.
Era la una. Cuando miró el reloj, marcaba las siete.
Eran las siete. Cuando miró el reloj, marcaba las once.

Sir Nícolas Vásquez de Aragón.

OH, y faltó uno más. Este es una versión reducida de otro cuento un poco más largo, que podéis encontrar en ”Los Cuentos del Hada Jengibre”.

El padre despertó aturdido por el
timbre del teléfono, y cuando descolgó el auricular una voz severa y potente le dijo: -Hemos arrestado a su hija por contrabando de caramelos.

Este último aún no tiene título… así que si queréis sugerir uno, podéis hacerlo. Tenía pensado nombrarlo “Contrabando de caramelos”, ¿vosotros qué pensáis?

Y así, mis queridos amigos, volvemos a finalizar una entrada del salón.
Será pues, hasta que el universo nos vuelva a juntar… hasta que volvamos a buscar más conocimientos y saber.

El problema de las ocho monedas y las dos pesadas.

Os doy la bienvenida nuevamente, a este gran salón del conocimiento. Y ahora volvemos con un clásico del salón, así es damas y caballeros. Con una de las secciones más esperadas del salón del estudio, (al menos por mi y un caballero) ¡Matemática a la carga!
Hoy vengo dispuesto a darle vida a este blog. Pero antes, desearía decir a los posibles nuevos visitantes del salón del estudio, que seguís invitados a participar comentando, compartiendo experiencias, perlas de sabiduría, puntos de vista, y en fin, haciendo más amplio el salón y llenando un poco más la biblioteca retrospectiva. Así que ya sabéis, seguís estando invitados a formar parte del salón del estudio.
Ahora sin más dilación os presento un nuevo problema matemático. Aquí no deben implementar el pensamiento lateral, sino, la lógica y el raciocinio. Es decir: ¿qué haría con lógica para resolver esto? Se trata de un concepto muy sencillo, y a la vez, la práctica de la lógica también lo es. Claro está, es lamentable que no se pueda aplicar siempre en la vida cotidiana, ya que el positivismo científico, y la determinación filosófica son cosas que ya casi no existen hoy por hoy. Pero, a pesar de ello, no está de más aplicar un poco de lógica a nuestras vidas.
El problema que les presentaré a continuación tiene una muy fácil solución, si es que le prestan atención, y un buen rato lo piensan con determinación. Aquí lo que más importa es que ustedes piensen, o sea, que le den vueltas en la cabeza al planteo, para poder encontrarle una solución posible. Como dato de ayuda les diré, que este problema sí tiene solución. Ahora, sólo les queda a ustedes pensarla. El enunciado está sacado de ¿Matemática estás ahí? Número 3, de Adrián Paenza, y como todo lo que este gran caballero de los números hace, es sublime.
He aquí pues, el problema de las ocho monedas y las dos pesadas.
NOTA: en términos científicos, el peso de un cuerpo está determinado por la cantidad de masa de este cuerpo multiplicada por la fuerza de gravedad de la tierra, (algo así como 9,8) y eso nos dará el peso del cuerpo. Pero, vulgarmente, se le suele confundir con cantidad de materia que posee un cuerpo, y este error se ve más claramente en la compra. ¿Péseme dos kilos de pan? Bien, el término pesar está mal usado, debería de ser: Masar, (por favor no se rían) y en el peor de los casos debería decir: “Péseme dos kilogramos fuerza de pan.” Con lo cual, nos seguiría sonando raro. Bien, la gente tiende a confundir cantidad de materia en un cuerpo, con atracción que ejerce la tierra, (u otro cuerpo que produzca un campo gravitatorio) sobre dicho cuerpo. Y para los menos entendidos en esto, la gente suele confundir el dinamómetro con la balanza. Ahora…. Ustedes se estarán preguntando: “¿y para qué diablos este tipo me está contando esto?” bien, yo también haría lo mismo, pero cuando sepan de que va el problema lo entenderán. Como va a ser muchísimo más fácil que nos entendamos como hablamos habitualmente, para este problema se utilizará la expresión: “Pesar, o peso.” Para hacer alusión a saber cual es la cantidad de masa de un cuerpo. Sí, lo sé, el error es grave, y ya está muy arraigado en la costumbre popular, y que yo venga y lo ponga aquí no contribuye mucho a esclarecer la terminología, pero esto lo hago únicamente para que el problema puedan entenderlo todos, y sea más familiar el vocabulario. Otro día, vamos a hablar sobre los errores de terminología en la vida diaria. Pero por lo pronto aquí tenéis el problema.
Cita.
Supongamos que tenemos ocho monedas, que en apariencia son iguales, pero, que una de esas ocho monedas es más pesada, (que tiene más masa) que las otras. Entonces siete monedas idénticas, en peso y apariencia, y una moneda diferente en peso a las demás. queremos saber cuál de esas ocho monedas es la que pesa más, y decidimos que la mejor forma sería ir a la verdulería, (lugar en donde se expenden frutas y verduras, por si el dialecto cambia) cuando vamos a la verdulería y le explicamos al tendero la situación, este de buena gana accede a prestarnos la balanza. La balanza del tendero es de esas antiguas que constan de dos platillos suspendidos en una cruz de metal. El platillo en donde se pone un cuerpo más pesado se va hacia abajo, y el platillo en donde no hay ningún cuerpo, o el cuerpo es más liviano que el otro, se eleva. Y cuando en cada platillo hay la misma cantidad de materia, estos se equilibran perfectamente. El verdulero nos dice que podemos usar la balanza, pero, que sólo podemos efectuar dos pesadas.
Nosotros, como somos tan curiosos, y queremos saber cual de las ocho monedas es la más pesada aceptamos de buen grado, y nos ponemos en frente de la balanza. Y sabemos que:
Tenemos ocho monedas, una de esas es más pesada que las otras, y sólo podemos encontrar la moneda más pesada efectuando dos pesadas en una balanza de platillos.
¿Cuál es la forma en que deberíamos hacerlo?
Final de cita.
El problema se resuelve fácilmente, siempre usando la lógica y la cabeza, no hay juegos de palabras ni nada por el estilo, no hay nada oculto, como la vez anterior. Aquí sólo hay lógica pura, y claro, algo de matemáticas. Recordadlo, debéis pensar bien antes de exponer la solución, y seguid pensando. Aquí lo importante es pensar, con un lápiz y un papel a mano, y unas buenas horas pensando puede que el enigma se solucione. Aquí os adelanto, el problema es, como se diría en mi país, una verdadera pavada. Se puede solucionar con gran facilidad, y es muestra de que el ser humano puede usar lógica para resolver muchas situaciones problemáticas.
Ah… y ya estáis avisados, el problema no se resuelve con golpes bajos, esto es: la solución no es que le vamos a contrariar al verdulero, y lo engañamos para hacer las pesadas que queremos, o cosas por el estilo. Damas, caballeros, lógica.
Bien, esta vez tenéis cinco días para resolver este enunciado, y luego nos tomamos vacaciones hablando sobre los libros de nuestra infancia, y algunos temas de literatura. Para agosto, bueno, para agosto hay sorpresas.
Ya sabéis, cinco días, prohibido leer las respuestas de los demás miembros del salón, y… ¡a pensad!
Hasta que el océano del conocimiento, vuelva a reunirnos…. Mas o menos… en cinco días.

P. S. Como me ha parecido que tenéis demasiado poco, y como estoy algo aburrido, quiero reírme un rato. No a vuestra costa, sino, con vosotros. Y aquí les dejo un pequeño anexo. El cual no es obligatorio contestar, pero sería interesante que lo hicieras para acompañar al conocimiento con un poco de risa y felicidad. ¿Qué os parece? Bien, a mi me gusta la idea, y allí va:
Cita.
Un hombre vive en un edificio de doce pisos. El hombre vive en el piso número 10, y todas las mañanas baja por el ascensor hasta la planta baja y se va a su trabajo. Al volver a su edificio, entra, sube al ascensor, llega hasta el piso número 7, se baja allí, y luego sigue hacia el piso 10 por las escaleras.
Final de cita.
¿Por qué no sube directamente en el ascensor hasta el piso número 10?
Ahora sí, no les limitaré el campo, tienen oportunidad para divagar si lo desean, y quiero ver que sale. Por supuesto, yo tengo la solución, y la publicaré en cinco días junto con la otra, pero hasta entonces, me gustaría ver algunas posibles soluciones de mis lectores.