Solución al juego de los detectives

Tras los siete días de rigor en estos casos, publicamos la respuesta al pequeño enigma del detective.

Como parte teórica de estos problemas, debemos recordar siempre que la mejor forma de resolverlos es extrayendo inferencias sencillas de cada enunciado en particular, descartando posibilidades al cotejar cada enunciado, y finalmente ponerlas todas en común del modo más organizado posible que encontremos.

Para principiar, el caso es bastante simple dada la pequeña cantidad de factores con los que contamos. Sería un buen momento, por lo tanto, de ponernos a resolver el curioso enigma que nos ha dejado el célebre detective británico.

1. El mayordomo fue interrogado antes de quien fuera interrogado en la biblioteca.




• 1-a. El mayordomo no fue interrogado en la biblioteca.




2. El jardinero y el ama de llaves fueron interrogados en el dormitorio y el jardín (no necesariamente en ese orden).




• 2-a. Ninguno de los dos (jardinero y ama de llaves) fue interrogado en la biblioteca o en la cocina.




3. El ama de llaves fue interrogada a las nueve de la mañana.


4. La cocinera no fue interrogada a las diez y treinta.




• 4-a. Fuera de las nueve de la mañana (véase enunciado y/o sentencia nº 3), la cocinera fue interrogada a cualquiera de los demás horarios disponibles (nueve y treinta o diez en punto).




5. El interrogatorio que sucedió en la cocina tuvo lugar después del interrogatorio de la persona culpable y antes del interrogatorio del jardín).

Hasta aquí no parecemos haber extraído más de lo que ya sabíamos, pero eso no es del todo cierto. Tal como el legendario Sherlock Holmes le dijo a Watson en El valle del terror, no hay ningún misterio mundano que prevalesca bajo la luz de la razón pura.

Del enunciado nº 1 y de la sentencia nº 2 podemos extraer algo en claro: el mayordomo fue interrogado antes de quien fuera interrogado en la biblioteca (es decir, el mayordomo no fue interrogado en la biblioteca), y el ama de llaves y el jardinero fueron interrogados en el jardín y el dormitorio (nadie más fue interrogado ni en el jardín ni en el dormitorio). Si el mayordomo no fue interrogado ni en la biblioteca, ni en el jardín ni en el dormitorio, el único lugar que nos queda es la cocina (cuando se han descartado todos los factores, lo que queda ha de ser la solución). Por el mismo proceso lógico, si el mayordomo fue interrogado en la cocina, el ama de llaves y el jardinero en el dormitorio y el jardín (el orden no importa por el momento), nos queda la cocinera, que tuvo que haber sido interrogada en la biblioteca.

Y aunque ahora esto nos recuerde al cluedo, sigamos los razonamientos indicados.

El ama de llaves fue interrogada a las nueve de la mañana. Es decir, fue la primera en ser interrogada.
La cocinera no fue la última en ser interrogada (la sentencia nº 4 dice que no fue interrogada a las diez y treinta).

Conjugando esto con lo que ya sabíamos (por ejemplo, que el mayordomo tiene que haber sido interrogado en la cocina antes que la cocinera en la biblioteca), podemos decir lo siguiente.

• El ama de llaves fue la primera en ser interrogada.
  
• La cocinera no pudo ser interrogada a las nueve y media (de lo contrario, antes debería haber sido interrogado el mayordomo a las nueve, y sabemos que esto no fue así).
  
• La cocinera puede haber sido interrogada a las diez en punto (no hay nada que objetar a esta afirmación.
  
• La cocinera no fue interrogada a las diez y treinta.
  

Como conclusión de este pequeño listado, siguiendo un orden lógico, el único horario en que la cocinera pudo ser interrogada fue a las diez en punto. Si el mayordomo fue interrogado antes que la cocinera, entonces le toca el turno de las nueve y treinta. Por descarte (si el ama de llaves tenía turno a las nueve, el mayordomo a las nueve y treinta y la cocinera a las diez en punto), el jardinero fue interrogado a las diez y media.

Atendiendo al último enunciado, la persona interrogada antes del interrogatorio de la cocina (en donde estaba el mayordomo) es culpable. A su vez, el interrogotario de la cocina acaeció antes del ardín.

El interrogatorio de la cocina tiene lugar a las nueve y treinta, una hora antes del interrogatorio del jardín (el enunciado no exige que el interrogatorio del jardín sea inmediatamente posterior al de la cocina, sólo dice que tiene que haber ocurrido luego del antedicho).
Y la persona que fue interrogada antes del mayordomo en la cocina fue el ama de llaves.

Caso cerrado.

A los que lo han resuelto, ¡felicitaciones! A los que lo pensaron, ¡congratulaciones! Y a todos en general, espero que lo hayáis disfrutado.

Un par de aclaraciones... Si el cronista de la historia fuera Arthur Hastings, el ama de llaves, y de esto estoy un noventa y cinco por ciento seguro, debería ser una pelirroja de metro ochenta y belleza deslumbrante, el mayordomo debía ser un ave rapaz personificada (con un sospechoso brillo de culpabilidad en su mirada), la cocinera una mujer gruesa y y el estereotipo de una madre de la campiña, y el jardinero un joven delgado y con muchas probabilidades de enamorarse de una rubia y encantadora bailarina de ballet enferma de tuberculosis. En fin, que nadie jamás podría superar a la dama del misterio en el sublime arte de hacer que el lector se sienta como un tonto (Conan Doyle es el del arte de hacer que el lector se sienta como un rábano, que conste).

¿Que quiénes son Adam Evans o Catherine Clathord? Unos viejos conocidos míos.

¡Matemática a la carga!

Solución al problema del hombre, el revólver y la cantina: La navaja de Okam

En nuestro episodio anterior...

¿Por qué dio las gracias si no recibió el vaso de agua?

Han pasado siete largos días desde la publicación de nuestro problemilla, así que juzgo conveniente dejar sentada aquí la solución. Ruego a todos los lectores que se hayan perdido el problema anterior que se pasen por la entrada en que lo consigno para intentar resolverlo por vosotros mismos antes de seguir leyendo aquí. A continuación consignaré la cadena de razonamiento que utilicé para arribar a la solución. Si les soy sincero, lo cierto es que con ese método de "sí", "no" o "es irrelevante" sólo conseguía marearme, así que me quedé calladito y comencé a reflexionar por cuenta propia, por lo que es más fácil resolver así el enunciado.

Partimos del punto de que el hombre se retira dando las gracias. Esto indica que el hombre sale de esa cantina habiendo conseguido lo que buscaba. Claro está, podía tratarse de que el hombre tenía más apego a su propia vida que al vaso de agua, y si se encontraba un chiflado maniático que entendía "revólver a la cabeza" por las palabras "vaso de agua", entonces habría que salir corriendo y dar las gracias (esperando que "gracias" no significara en su idioma temporada de patos ¡dispara!").
¿Qué buscaba el hombre? Si leemos atentamente el enunciado de cabo a rabo, observamos que el motivo de entrada del hombre a esa catina es un vaso de agua. Ahora bien, lo extraño es que el cantinero no le haya dado ese vaso, y aún así el hombre haya agradecido cordialmente.
Llegamos al punto cumbre de todo razonamiento: si el hombre no había ido a por un vaso de agua, y aunque no lo hubiera recibido dijo "gracias", ¿adónde está todo esto?
Si no le dieron el vaso de agua, al menos le dieron algo que pudiera suplir ese vaso de agua. En teoría, y casi siempre, suponemos que si alguien nos pide un vaso de agua será porque tiene sed, ¿verdad? Pero en este caso el hombre no sació su sed, sino que sin beber una sola gota agradeció al cantinero.
El problema se torna menos difuso: ¿qué otra utilidad puede tener un vaso de agua? Y la pregunta que va aparejada a esta: ¿cuál de todas esas posibilidades puede reemplazarse con un revólver a la cabeza?

Tenía ipo.

No me lancéis con tomates, mis queridos amigos, porque antes de publicar esto me cuidé de que fuera un problema de ingenio. Los problemas de ingenio se resuelven cuando hay ingenio, pero cuando el ingenio no llega, entonces ¿qué hacemos?Es lógica lateral (aunque es cierto que el problema deja muchos elementos fantásticos en el aire). Por ejemplo: ¿cómo demonios sabía el cantinero que este tipo tenía hipo? ¿El hipo se cura con un susto? ¿Si el hombrecito y el cantinero hubieran convenido antes en lo del arma, se habría llevado el hombre un verdadero susto? ¿No podía ser que diera las gracias por seguir vivo? ¿El cantinero estaba harto de que ese hombre lo fuera a molestar con un vaso de agua? Sin embargo (y rogando para que esta sea la satisfactoria solución que planteó Key en su comentario), esta termina siendo la respuesta a la que se puede arribar con este razonamiento.

Las preguntas que se podían formular estaban destinadas a limitar el campo de las posibilidades. Por ejemplo: ¿El hombre estaba contipado? ¿Era una pistola de agua? ¿El cantinero tenía intención verdadera de disparar? ¿El hombrecito tenía sed? De este modo se iban limitando posibilidades, y al final llegábamos al punto en que podíamos ejercitar nuestro razonamiento lateral.


Con todo, Fantasmas, quien ha sido el que ha propuesto otras soluciones (Key se ha abstenido de participar por principios morales), ha planteado respuestas interesantes y alternativas que son aplicables con los datos que tenía. Como siempre decimos aquí, lo importante no es acertar o errar, lo importante es usar la mente e intentar pensar. Y eso es muestra de valentía y temeridad, pues son pocos los que tratan de enfrentarse con los vagos pasillos de la mente humana.

Aquí expongo el porqué dije que lo de las preguntas me había llegado a confundir: porque después de preguntar cosas escenciales, terminé preguntando cosas como "¿el hombrecito era un espía?", "¿el cantinero había pactado hacer una cámara oculta?", "¿el lugar a donde entró el hombrecito, era de verdad una taberna?". Y he aquí uno de los más grandes errores de aquellos que se aventuran a conjeturar en casos policiales: irse por la tangente o comerse la banquina. Teniendo datos suficientes como para elaborar alguna teoría, lo que pretendemos es implicar variables desconocidas y que, si bien están sujetas a probabilidad, no están contempladas en la primera revisada de un problema o misterio.

Y aquí llegamos. El postulado de la navaja de Ockham refiere: "De dos teorías que tengan la misma consecuencia, hay una mayor probabilidad de que la más simple (para el señor de Ockham la simplicidad podía medirse de acuerdo a la menor cantidad de entes añadidos a una teoría o la menor cantidad de axiomas en la misma) sea la correcta". Sé que el postulado ha sido cuestionado grandemente a lo largo de la historia, pero quiero que recordemos que el mismo Ockham no propuso esto como una máxima que debiera considerarse siempre, y sólo podía emplearse en casos puntuales y empíricamente demostrables. Sherlock Holmes lo dice de la siguiente manera: "La solución más simple es casi siempre la correcta". Como he dicho, "casi" es una palabra muy poderosa. Tenienda las evidencias que respalden dos teorías distintas, e incluso habiendo demostrado que ambas son igualmente válidas, casi siempre la más sencilla (semánticamente puede ser la más compleja, lo importante es que la idea general que postule sea simple y llana) tiene mayor probabilidad (no toda la probabilidad) de ser la correcta. Tenemos casos que verdaderamente demuestran que la navaja de Ockham es perfectamente falible: toda la teoría de la física cuántica, de la relatividad, la teoría M... son demostraciones de que no siempre es una máxima aplicable, de que puede no estar sujeta a la verdad.

En el campo de lo penal, casi siempre es preferible contar con la mayor cantidad de evidencias para resolver misterios; pero evidencias no son entes postulados porque sí. Sabemos que siempre necesitaremos la mayor cantidad de evidencias posibles para desarrollar teorías que embonen con los hechos y pruebas que tenemos a disposición. Aún así, no siempre es recomendable sobrecargarse con evidencias, pues puede que la aglomeración nos impida disfrutar más de las pistas claves de un misterio. La música clásica y romántica, en contraposición a la barroca, genera aglomeración de sonidos; en cambio, Bach hace un alarde de simplicidad a la hora de escribir música, ya que cada voz puede distinguirse y apreciarse por sí sola (en la música del romanticismo sólo apreciamos un conjunto de notas musicales aglomeradas en acordes). Sin embargo, esa determinada cantidad de evidencias tiene que llevarnos a la creación de varias teorías que puedan embonar perfectamente en todas (saldríamos ya de la idea de pruebas ambiguas, ya que para la confección de dichas teorías se han usado el conjunto por entero de todas las pruebas a disposición). En este punto entraría la idea de lo "global", muy distinto a lo "aglomerado".

Una vez desarrolladas esas teorías, podemos tratar de encontrar la más sencillas (que postule menor cantidad de variables en tanto deducciones o razonamientos que se salgan del campo primo del primer análisis). Supongamos lo siguiente:

Pruebas y hechos (que son observados):

1. La carpeta de clase de mi hijo está incompleta.
   
2. Y en su cuaderno de comunicados hay una nota en la que su maestra advierte que el niño no ha estado asistiendo a clases con regularidad.
   

Conocimientos:

1. Yo sé que en los días que en la carpeta no se escribió nada mi hijo salió de casa.
   

Deducción:

1. Mi hijo no ha ido a clases.
   

Así de sencillo deberíamos poder referirlo cuando encontramos al fin la incoherencia que andábamos buscando. En este caso la incoherencia sería la siguiente: el niño ha dicho que él va al colegio (por lo menos no ha dicho lo contrario), cosa que se contradice con los hechos y pruebas que estoy observando ahora mismo. Aplicando la máxima de que las personas mienten y las pruebas no, mi hijo ha estado mintiendo, y he ahí la incoherencia. Ahora bien, podemos encontrar varias explicaciones al fenómeno.

Explicaciones o teorías:

1. Mi hijo no ha ido a clases.
   
2. Mi hijo no ha ido a clases porque se está drogando.
   
3. Mi hijo no ha ido a clases porque está frecuentando lugares de perdición.
   
4. Mi hijo no ha ido a clases porque se aburre debido a que tiene un alto coheficiente intelectual y se ha ido a la biblioteca pública en donde consulta cómics en conjunto con libros de astrofísica avanzada.
   

aplicando a este caso en concreto la navaja de Ockham —con la que sólo comulgo en ciertas cosas, ya que descree y afeita muchos escritos de Platón— la primera proposición, por ser la que menos conjeturas o subhipótesis (incluso podríamos hablar de riesgos corridos), resulta ser la más correcta (no descartando las otras posibilidades, sin embargo). Las otras posibilidades siguen siendo eso, aunque con un muy bajo nivel... ya que no tenemos ninguna otra prueba o evidencia que las respalde. Si las indagaciones sobre el caso nos dan más evidencias, terminaremos, al fin, pudiendo elaborar una teoría mucho más compleja, sin despegarnos de la primera y fundamental, que luego nos darán pie a una última conclusión. Por ejemplo, suponer que entre las pertenencias de mi hijo se encuentra un vale de descuento en una sala de videojuegos los días martes y jueves. Podríamos cotejar esa fecha con los días que no se consignan en su carpeta escolar, y podríamos decir que, entre las muchas posibilidades que tiene mi hijo de hacerse la chupina, la que ha elegido ha sido jugar en una sala de videojuegos.

El mismo postulado podemos utilizar en esta ocasión para nuestro razonamiento sobre el hipo. Havbiendo descartado otras evidencias o pruebas (eliminado variables) tenemos un determinado conjunto de hechos que nos deben servir para elaborar una deducción y una hipótesis de trabajo. Y, de nuevo con la proposición de la navaja, decimos que el "tenía hipo" resulta ser una respuesta tan buena como "estaban rodando una escena de una película de bajo presupuesto". Llegado el caso, podríamos preguntar si había alguna cámara tomando la escena, y al ser la respuesta no, no tendríamos mucho sustento para la segunda hipótesis (salvo que quisiéramos pensar que estaban ensayando, pero esto sí sería añadir conjeturas arriesgadas). La primera, por ser la más sencilla, y por no hallar respaldo en las evidencias la segunda, termina siendo, hasta que se demuestre lo contrario, la solución más correcta.

Con todo, como siempre decimos, lo importante aquí es pensar (el blog va de eso). Lo demás es algo secundario. Me han gustado las repuestas que este problema ha traído, y creo que eso debe ser rescatado. Damos por concluido, pues, el problema del hombrecillo, el revólver y la cantina (creo que ya he variado mucho el título, ¿no?). Será hasta que las matemáticas vuelvan a convocarnos.

¡Matemática a la carga!

Y a todos, mi más sincera enhorabuena.

Solución al problema de los cinco sombreros: Estudio de variables

Damas, caballeros...
... hem... esta es una situación un poco complicada de explicar, pero creo que se puede enseñar (utilizando la primera acepción del término, que indicaría algo así como "mostrar"). Creo que lo primordial es pedir una sentida disculpa a todos vosotros, amigos y amigas del salón del estudio, pero lo cierto es que esto es una lección para no confiarse demasiado en la memoria, que puede fallar, y tratar de llevar una agenda (o, al menos, de estar más pendiente de la publicación del blog). Creo que comienzo a liarme con los estudios, amigos, y por eso me he confundido, creyendo que hoy a las once hacía el plazo de una semana desde la publicación de nuestro anterior problema. Mal calculado, eso es todo... El problema es que también tenía la ilusoria idea de que ya había dejado todo perfectamente programado, cuando de repente caigo en la cuenta de que no era así la cosa. Ruego mil excusas por semejante acto de imprudencia e irresponsabilidad (y otra más porque, en cierto sentido, no he cumplido una promesa levemente vinculante que os había hecho). Desearía que esto se conssiderara como una lección de que todo el mundo puede fallar muchas veces, y tras esta nueva introducción... cito (y modifico) la primera.

Ha pasado una semana desde la publicación del problema de los cinco sombreros, amigos y amigas del salón del estudio; como ya lo sabéis, esto quiere decir que ha llegado el momento de publicar la solución a nuestro particular enigma de la semana pasada.

Ha pasado una semana, un día y ocho horas y media desde que se publicó el problema de los cinco sombreros, amigas y amigos del salón del estudio. Esto quiere decir que ha llegado la hora (llegó y se pasó, mejor dicho) de publicar la solución a nuestro particular problema de la semana pasada (pasada pasada).

En el capítulo anterior os decía que había encontrado ciertas dificultades con el siguiente problema. Y quisiera compartir mis razonamientos con vosotros, porque si bien no son demasiado aplicables, es un buen ejemplo de cómo analizar profundamente un problema para entender causa y efecto, razón de ser de las cosas... Pero antes, creo justo que os transcriba textualmente la respuesta del libro, y quiero que tengáis esto bien presente, que algo se diga en un libro no es justificativo para decir que ese algo está bien. Eso va en contra de la idea del conocimiento. Cuando percibimos el conocimiento no debemos ser dóciles, me temo. Al contrario, la tarea del alumno o del estudiante es ser sumo inquisidor con lo que está leyendo o aprendiendo: "¿Esto tiene lógica? ¿Hay causalidad en lo que se dice aquí? Vayamos a los conceptos primitivos, analicemos a fondo lo que dice aquí, no dejemos que la fuerza de la autoridad o de la inercia nos haga estudiar cualquier cosa". Es imprecindible que todo se perciba con una actitud crítica y de cuestionamiento, que no todo lo que aparezca en el libro de ciencia sea la verdad absoluta, porque puede haber errores, porque no es correcto dejar de pensar sobre lo que se lee, porque, en definitiva, si no se razona ni se interpela con la lógica lo que se estudia, estamos generando un montón de futuros hombres que serán fácilmente guiados de las pestañas.

He aquí la respuesta, y quiero que a) recordéis que no es la verdad absoluta (y no por no serlo Adrián Paenza o el alumno que le envió el problema dejan de ser los genios que son), y b) intentad encontrar alguna forma de mejorar esta solución antes de que yo siga avanzando.

El señor C tenía un sombrero blanco, y eso fue lo que dijo.
¿Cómo lo supo? C hizo el siguiente razonamiento.
Si él y B tuvieran sombreros negros, A habría deducido que
tenía puesto un sombrero blanco, ya que puede ver los sombreros de los otros dos. Pero A no dijo nada. O, mejor dicho, sí dijo
algo: que no sabía qué sombrero tenía. Eso implicaba que él estaba
viendo que o bien B o bien C tenían un sombrero blanco.
Cuando le tocó el turno a B, él sólo podía ver el sombrero
de C, pero tenía la misma información que C: B sabía que o bien
él o bien C tenían un sombrero blanco. Si hubiera visto que C
tenía un sombrero negro, B habría podido decir que su propio
sombrero era blanco. Pero como no dijo nada, o mejor dicho, dijo
que no podía decirlo, entonces le tocó el turno a C.
Como B no pudo decidir, quería decir que C no tenía el sombrero
negro. Por lo tanto, a C le quedó el camino allanado, y sin
poder ver ningún sombrero, pudo determinar que él tenía uno
blanco. Y acertó.

Adrián Paenza añade un comentario a esta solución...

... 16 En Matemática… ¿Estás ahí? publiqué (pp. 162 y 164) varios problemas
sobre sombreros. Varios amigos me enviaron nuevos. Elegí éste que me mandó
Gustavo Stolovitzky. Gustavo es licenciado en Física en la UBA, doctor en Física
en Yale y ahora trabaja en los Estados Unidos, más precisamente en IBM, en el
departamento de Genómica funcional y sistemas biológicos. Fue, sin ninguna duda,
uno de los alumnos de quienes más aprendí en mi trayectoria como docente, además
de ser una persona realmente deliciosa...

¿Véis en dónde está fallando la respuesta que nos da el señor Paenza? Muchos de vosotros habéis seguido el mismo razonamiento que yo seguí, que está mucho más completo que el aquí expuesto, y quizás no haya sido justo en plantear la proposición del problemilla que generaba esto... (sí, podrían haberse visto los sombreros al entrar, Fantasmas, pero no era el caso :P Con todo, algún día me gustaría que me contaras con más tranquilidad el problema de los cuatro sombreros.

Todos habéis expuesto una cadena de razonamiento mucho más lógica que la que aquí se propone. Paso a reproducirla...

1. A no puede decir cuál es el color de su sombrero. Esto nos lleva a que B y C piensen cómo tendrían que tener los sombreros para que A haya dicho eso. Ambos saben que no pueden tener ambos un sombrero negro, pues entonces, y por descartes, A habría sabido de qué color era su sombrero de forma inmediata. Ambos piensan en las siguientes posibilidades o combinaciones, que luego C analizará tras la declaración de B:.
   
   
   
   • O bien B y C tenían sombreros blancos,
     
   • o bien B tenía uno negro y C uno blanco,
     
   • o bien B tenía el blanco y C el nnegro.
     
   
   
2. Luego B dice que él tampoco puede saber de que color tiene el sombrero, por lo que C deduce que (y siempre estableciendo probabilidades)...
   
   
   
   • Si él y B tuvieran sombreros blancos, B no podría saber cuál es su color.
     
     
     
     1. B sabe que en su cabeza puede haber otro sombrero blanco o bien uno negro, dada a la distribución de variables anterior.
        
     
     
   • Si él tuviera el sombrero negro y B el blanco, B podría saber cuál es su sombrero.
     
     
     
     1. C piensa: "B sabe cuál tiene que ser la distribución necesaria para que A no pudiera saber cuál era su sombrero. Uno de los dos tiene que tener el sombrero negro, no podemos tenerlo los dos. Si yo tuviese el negro, B sabría de forma instantánea que él tiene el blanco".
        
     
     
   • Si él tiene el sombrero blanco y B el negro, B sigue sin poder saber cuál es el color de su sombrero.
     
     
     
     1. Se aplica aquí el razonamiento del punto 2.1. Si C tiene el sombrero blanco, B queda sujeto a la posibilidad de que el que esté en su cabeza sea otro blanco o uno negro.
        
     
     
   
   
3. Luego para que ni A ni B sepan cuál es el color de sus sombreros, C siempre tiene que tener el sombrero blanco.
   

El problema con la respuesta de Paenza es que se saltea una cadena de pensamiento... que luego tiene que usar para dar el siguiente paso. Aquí he expuesto todas, o todas las que a mí me parecían que no caían en la redundancia absoluta, para que se entienda cuál es la diferencia. Cabe destacar, sin embargo, que cuando pensaba en este particular, comencé a preguntarme de qué forma se podría hacer encajar la solución incompleta (Paenza no contempla la posibilidad de que los dos tengan un sombrero blanco, sólo se queda en que B tiene el negro y C tiene el blanco, por ejemplo), y llegué a proponerme algunos nuevos planteos del problema... pero que derivaban a soluciones muy distintas. Creo que encontré formas de embellecer el problema, pero ya no sería lo mismo que antaño. Caí en la cuenta de que, para no alterar el enunciado original, podía agregar los razonamientos y las posibilidades que a Adrián Paenza se le había olvidado poner en la respuesta (o las había puesto de formas muy implícitas, las había salteado o las había ignorado por completo). Es por eso que hice la lista de más arriba.

En todo caso, veo que estos problemas os han entrenado bien y habéis expuesto todos una solución con todos los pasos correctamente aplicados. ¡Buen trabajo a todos los que lo han pensado! A los que lo pensaron y no lo resolvieron en sus casas, ¡felicitaciones, el primer paso y el más importante es emprender el camino del pensar!

Cerramos, por fin, este simpático problemilla de lógica lateral. Damas, caballeros, felicitaciones y muchas gracias (por la paciencia que a veces me tenéis, por el ánimo que le dáis a estos problemas, por lo feliz que me hacéis sentir cuando veo que aún hay sitio en este mundo para la lógica lateral y la ciencia pura).

¡Matemática a la carga!