Solución al pequeño desafío mental

Damas, caballeros, ha transcurrido una semana exacta desde la publicación del pequeño desafío mental. Antes de proseguir leyendo, recomiendo a los lectores que no han hecho el problema que le den una leída e intenten resolverlo, pues así podrán mantener la mente despierta y disfrutar de pensar (una actividad mucho más sana de lo que parece).

Con ustedes la solución...

... 2+3=10

7+2=63

6+5=66

8+4=96

9+7=144

¿Por qué es así? Ahora daré unas breves explicaciones del porqué y de la existencia de más de un camino para llegar al resultado, y luego haremos unas breves reflexiones personales sobre esto. Próximamente, si no me falla la memoria, haremos unas revisiones sobre un par de problemas anteriores. Por ahora, prosigamos.

El problema era sencillo, tan sólo algo esquivo. Se principia por encontrar un patrón que valga para todos. Obviamente, la suma entre dos y tres no es diez, así que el resultado debe de estar relacionado con esos números (de alguna u otra forma). Uno se pregunta entonces: "¿Qué relación hay?". Por medio de algún extraño movimiento cerebral que no alcanzaríamos a entender ni en mil años, relacioné primero el dos y el tres al hecho de que junto dan cinco, y que cinco es la mitad de diez. Luego vi que el dos del principio era la quinta parte del diez y ¡boila! Pero no debía cantar victoria, porque podría ser que ese patrón fuera una coincidencia en este ejemplo, y que fuera otro el patrón común a todos los demás. Se prueba con los otros... y ¡se encuentra que es el patrón! Luego de esto, no resulta difícil inferir que el número faltante es ciento cuarenta y cuatro.

El anterior es sólo uno de los caminos que se nos presentan; no obstante, existe otro camino, del que me percaté una vez hube terminado el otro. Suele ocurrir que justo cuando llegamos a la cabaña, encontramos un mapa indicando otra ruta de acceso hasta ese lugar y uno dice "¡pero claro!"... El otro camino, como iba diciendo, consiste en elevar al cuadrado al primer número y sumar el producto de los factores. En términos sencillos. Elevar al cuadrado el primero de los números, y luego sumarle el resultado de la multiplicación entre el primero y el segundo. Así: 2²+2*3=10
Y lo mismo con el resto de los ejemplos hasta toparnos con la incógnita.
92+(9*7)=144
81+63=144

Y se puede apreciar, con este ejemplo, que ambos caminos dan el mismo resultado:

(9+7)*9=144
16*9=144

9²+(9*7)=144
81+63=144


La pregunta del millón es: ¿cuál de los dos caminos es el correcto? A este interrogante hay que darle otra pregunta como respuesta: ¿llegan al mismo lugar los dos? En efecto, ambos son igualmente válidos, porque ambos llegan igualmente a un mismo destino. Como en nuestros ejemplos de cabañas perdidas en el bosque (¿se nota mucho que no he tenido vacaciones en medio de la montaña?) siempre hay otra salida u otra ruta por la que llegar al lugar indicado. Muchas veces, no obstante, no existe un lugar indicado, y sólo queremos gozar del paisaje.

A Fantasmas, PresteJuan, Jengibre y Key: ¡Felicitaciones! Habéis resuelto correctamente el problema. Aún si no lo hubieráis resuelto, lo más importante es haberlo pensado. No digo esto porque sí, sino que hay una perfecta justificación desde detrás.

Como decíamos en uno de los ítems de un antiguo epílogo que ya hemos publicado por aquí, si los estudiantes de cualquier asignatura sólo damos respuestas, nuestro rendimiento no termina de ser satisfactorio. Como se plantea en el método científico, si las conclusiones sólo dejan cerrado el problema original, la investigación deja de tener su gustito, porque lo que de verdad importa es que estas conclusiones arrojen nuevas preguntas para seguir teniendo más y más problemas. El hecho de pensar un problema como el que se ha planteado esta semana, deriva por fuerza en la interacción con el susodicho. Esta interacción, a su vez, genera que nosotros y el problema tengamos cierto grado de intimidad, y nos vayamos conociendo. Conocer y explorar el problema es un principio clave para hacer mejores a los problemas. En este caso el problema se basaba en hallar un patrón y saber cuál era el número, y eso todos lo hemos logrado.El punto radica en que, cuando estudiamos a fondo un problema, tendemos a dar más de una solución. Como Fantasmas dice en su comentario, él hizo muchos otros cálculos y probó con diferentes soluciones o caminos. Es decir, fue un caminante, porque buscaba respuesta. Cuando tratamos de buscar el hilo que desteje la madeja, se nos presentan muchas ideas y muchas teorías. En estas ideas y en estas teorías radica la verdadera belleza. No sólo en intentar y probar, sino en pensar y descubrir todas las cosas en las que podemos pensar cuando intentamos resolver. Con esas mismas ideas podemos convertir los problemas a nuestro antojo.

Quizás el problema se resolvía con el ciento cuarenta y cuatro, y es evidente que hay más de un camino para llegar a él. La resolución del problema es el primer paso para hacerlo más rico y delicioso, más seductor y atractivo. Quizás, al saber ya la solución del problema, el problema deja de serlo y se convierte en un ejercicio o enunciado ya resuelto. Pierde esa aura de misterio que lo envolvía cuando nosotros no sabíamos su respuesta. Entonces, ¿por qué no hacerlo más interesante? Cambiar todo el problema, cambiar los patrones y cambiar el resultado final, sólo para jugar un rato más. Podemos alterar el patrón numérico común a todos los casos de aplicación por uno en particular, y ¡presto! Tenemos un nuevo problema. Podemos trabajar, como dijo Fantasmas, pensando en qué resultado debería dar uno de los casos si contabilizamos las rectas o las intercecciones de los números. De este modo, alteraríamos todos los resultados y terminaríamos con un nuevo problema. Podemos trabajar con progresiones, con escalas musicales, con curiosidades matemáticas, con lo que sea imaginativo y que embellezca más al problema.

Daré un ejemplo único, en parte porque no he trabajdo sobre todos los casos y en parte porque esto servirá como motivación para seguir trabajando. Supongamos el primer caso (2+3=10). Yo podría decir que el patrón numérico que rige aquí es la suma de los dos números por dos. Es decir: el doble de la suma de los dos números. Y ahora aplicaremos este patrón numérico a los subsiguientes casos. 7+2=63
En caso de que aplicáramos el patrón numérico que hallamos en el primer caso, el resultado debería ser dieciocho, no sesenta y tres. Así se podrían cambiar todos los resultados y ¡plam! Tenemos un nuevo problema recién horneado, y horneado por nosotros mismos.

El mundo de las matemáticas no se limita a exponer resultados, si bien este es el primer paso. Hay que ir más allá y aplicar la imaginación para conseguir nuevas fuentes de agua para la mente.

La matemática es algo dinámico, no estático. Podemos modelarlas a nuestro antojo y a nuestro gusto, porque son como letras que crean nuevas cosas. Tienen una frescura que no caducará a lo largo de los años, y muy pocas cosas se les asemejan. Ayudan a pensar, y pensar es algo muy, muy, muy, pero muy sano.

Damas, caballeros... felicitaciones, porqe lo habéis hehcho excelente. Felicitaciones, porque si habéis pensado, ya es motivo suficiente para decir que lo habéis hecho de fábula. Felicitaciones, amigos y amigas del salón, y muchas gracias por haber enriquecido tanto el blog con vuestros comentarios, reflexiones y aportaciones.

¡Matemática a la carga!
¡Elen síla lumenn'omentielvo!